Algo de teoría sobre emisión y recepción de ondas

Emisión y recepción
de ondas de radio
Contents
1 Introducción
2
2 Potenciales electromagnéticos
2
3 Condiciones de contraste
3
4 Solución de la ecuación de ondas
3
5 Campos de variación lenta
5
6 Componentes monocromáticas
6
7 Descomposición en ondas planas
6
8 Notación compleja
7
9 Emisión por un dipolo magnético
9.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
11
10 Emisión por un dipolo eléctrico
11
1
1
Introducción
Este documento corresponde a unas notas que resumen algunos temas de campos
electromagnéticos y dada su provisionalidad pueden contener erratas. No son
en modo alguno un texto de ninguna asignatura.
2
Potenciales electromagnéticos
Los fenómenos eléctricos y magnéticos originan el campo electromagnético.
Las ecuaciones de Maxwell que rigen su comportamiento en medios lineales
e isótropos son

∇ · E = ρ




∂B


∇×E = −
∂t
(1)
∇·B = 0



∂E 


∇ × B = µj + µ
∂t
La tercera ecuación indica que puede definirse un potencial vector A del que
derive B, de forma que
B =∇×A
(2)
con lo que la segunda ecuación de Maxwell puede escribirse
∂A
∇× E+
=0
∂t
lo que implica la existencia de un potencial escalar φ tal que
E = −∇φ −
∂A
∂t
(3)
Nótese que si se considera una función f (x, y, z, t), entonces los potenciales
∂f
A = A + ∇f, φ0 = φ −
también satisfacen las condiciones anteriores.
∂t
Enseguida se retomará esta indeterminación.
Si se utiliza ahora la cuarta ecuación de Maxwell, se tiene
0
∇ × (∇ × A) = µj − µ∇
es decir
A = −µj + µ∇
∂2A
∂φ
− µ 2
∂t
∂t
∂φ
+ ∇(∇ · A)
∂t
(4)
y para φ
ρ
∂A
∆φ = − + ∇ ·
∂t
2
(5)
3
Condiciones de contraste
Dado que los potenciales quedan indeterminados, se pueden imponer condiciones
adicionales, denominadas condiciones de contraste o, en la literatura inglesa,
condiciones gauge.
• La condición de contraste de Coulomb
∇·A=0
(6)
hace que el potencial escalar satisfaga la ecuación de Poisson
∆φ = −
ρ
mientras que el potencial vector satisface
A = −µj + µ∇
∂φ
∂t
Rt
• Es posible hacer φ0 = 0,A0 = A + t0 ∇φdt en los campos anteriores,
obteniendo la condición de contraste de la radiación, utilizada en Mecánica
Cuántica. En este caso
∂A0
E=−
∂t
B = ∇ × A0
• Si se hace
∂φ
+∇·A=0
(7)
∂t
se tiene la condición de Lorentz que hace que los potenciales verifiquen
µ
A = −µj
φ = −
4
ρ
(8)
(9)
Solución de la ecuación de ondas
La solución para la ecuación de ondas completa, en el gauge de Lorentz y supuestas verificadas condiciones de radiación en el infinito, es
ZZZ
ρ(ξ, η, ζ, t − rc )
1
φ(x, y, z, t) =
dτ
(10)
4π
r
ZZZ
j(ξ, η, ζ, t − rc )
µ
A(x, y, z, t) =
dτ
(11)
4π
r
donde
1/2
r = (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
3
y la integración se realiza sobre las variablas (ξ, η, ζ).
Es interesante verificar el carácter de esta solución en el caso de una carga
puntual situada en el origen de coordenadas Q(t) variable en el tiempo1 . Entonces
r
1
Q(t − )
φ(r, t) =
4πr
c
es decir, un potencial que disminuye de forma inversamente proporcional a la
distancia a la fuente y que se encuentra retardado respecto a la fuente en un
tiempo igual al necesario para viajar desde la fuente hasta el punto en el que se
calcula el potencial.
Las ecuaciones 10,11, junto con 2,3 determinan el campo electromagnético
en medios homogéneos en función de las fuentes y pueden considerarse una
alternativa a las ecuaciones de Maxwell en numerosas ocasiones.
Si se desean calcular los campos, se tiene
∂A
E(x, y, z, t) = −∇φ −
∂t
ZZZ 1
∂ [ρ] ur
[ρ]
∂ [j] 1
E(x, y, z, t) =
+ 2 ur +
dτ
(12)
4π
∂t cr
r
∂t c2 r
denotando el corchete que la dependencia temporal está retardada. Para la
inducción magnética
B =∇×A
ZZZ ∂ [j] ur
[j]
µ
×
+ 2 × ur dτ
B(x, y, z, t) =
(13)
4π
∂t
cr
r
Las ecuaciones 12,13 relacionan directamente los campos con las fuentes y
también pueden constituir una alternativa a las ecuaciones de Maxwell en medios
homogéneos.
A continuación se deduce la ecuación de ondas satisfecha por los campos
E, B sin cargas. De la segunda ecuación de Maxwell
∂2E
∂t2
que teniendo en cuenta la primera ecuación de Maxwell resulta
∇ × (∇ × E) = −µ0 0
E = 0
Igualmente, el campo B satisface la ecuación de ondas
B = 0
En una zona libre de cargas, según lo anterior, las componentes catesianas de los
campos E, B y, en el gauge de Lorentz, de A y la propia función φ, satisfacen
la ecuación de ondas
U = 0
(14)
La solución de 14 cuando c es constante, como es bien sabido, es siempre
una superposición de funciones viajeras cuya velocidad de propagación es c.
1 tómese sólo como ilustración del carácter del retardo en la expresión anterior.
situación no es fı́sicamente posible, ya que viola la ecuación de continuidad.
4
Esta
5
Campos de variación lenta
Las expresiones 10,11 pueden aproximarse de diferente forma, según el problema
que se trate. Para ello, supondremos que la variación temporal de las corrientes
y cargas presenta una pulsación ω y que el recinto en el que calculamos el campo
y están situadas las fuentes tiene un diámetro D En este caso, el retardo
r
c
vale siempre menos que
D
c
y su contribución en términos del tipo
ωr cos ωt −
c
es despreciable cuando
ωD
1
c
como suele ser habitual a frecuencias industriales (ω = 100π rad s−1 ), con
dimensiones D del orden del metro
ωD
100π
=
= 1, 04710−6 1
c
300000000
En este caso se dice que los campos son de variación lenta y el retardo en los
potenciales se ignora, con lo cual quedan las expresiones
ZZZ
1
ρ(ξ, η, ζ, t)
φ(x, y, z, t) =
dξdηdζ
4π
r
ZZZ
µ
j(ξ, η, ζ, t)
A ==
dξdηdζ
4π
r
que obedecen a las ecuaciones diferenciales de Poisson
∆φ = −ρ
∆A = −j
lo cual equivale a trabajar en el gauge
simplificadas

∇·E




∇×E


∇·B


∇×B
∇ · A = 0 con las ecuaciones de Maxwell
=
ρ
= −
∂B
∂t
= 0
= µj
En este caso, la determinación de los potenciales se realiza atendiendo bien a
las corrientes ,bien a las cargas desacopladamente.
El problema de la determinación de φ es el problema fundamental de la
Electrostática; el de la determinación de A es el problema fundamental de la
Magnetostática
5
6
Componentes monocromáticas
Frecuentemente el estudio de la propagación de una onda se realiza desglosando
ésta en sus componentes monocromáticas.
Z +∞
U (x, y, z, t) =
u(x, y, z, ω) exp iωtdω
−∞
y sustituyendo esta expresión en 14, haciendo k 2 = ω 2 /c2 , se tiene
Z +∞
(∆u + k 2 u) exp iωtdω = 0
−∞
que implica, si se consideran soluciones ∀t, que cada componente monocromática
verifique la ecuación de Helmholtz
∆u + k 2 u = 0
7
(15)
Descomposición en ondas planas
Cualquier función u(x, y, z) define una transformada tridimensional de Fourier
Z
V (m, v, w) =
exp (−imx − ivy − iwz) ψ(x, y, z)dxdydz
E3
de forma que puede escribirse mediante
Z
1
u(x, y, z) =
exp (imx + ivy + iwz) V (m, v, w)dmdvdw
8π 3 Ω3
si u satisface la ecuación de Helmholtz
∇2 u + k 2 u = 0
entonces, dada la biyectividad (matizada) de la transformación de Fourier, se
debe verificar que
Z
1
2
2
∇ u+k u = − 3
(m2 +v 2 +w2 −k 2 )exp (imx + ivy + iwz) V (m, v, w)dmdvdw = 0
8π Ω3
lo que implica que
V (m, v, w) = 0
(m2 + v 2 + w2 − k 2 ) 6= 0
cuando
y por lo tanto la transformada de Fourier tridimensional sólo toma valores en
la superficie esférica
m2 + v 2 + w2 = k 2
lo que implica que la función u(x, y, z) se puede descomponer en todo el espacio
de forma unı́voca en un conjunto de ondas planas cuyo vector de propagación
tiene por módulo k.
6
Existen métodos ópticos (difracción Fraunhofer, plano focal de una lente
convergente ancha, etc) para descomponer cada una de las componentes de la
función u en funciones de onda de las anteriores. Dado que se trata de una distribución bidimensional, sólo se necesita conocer la distribución de u en una superficie más el sentido de propagación para establecer la descomposición. Suele
tomarse un plano z = z0 como superficie de referencia y obtener la transformada
de Fourier de la función ψ(x, y, z0 ), lo que añadido al sentido de propagación
(w = kz > 0 o w = kz < 0) determina la función en todo el espacio.
8
Notación compleja
En lo que sigue, se supondrá que las fuentes del campo son monocromáticas.
Esta situación no rebaja la generalidad del tratamiento, pues cualquier dependencia temporal de las fuentes puede expresarse mediante una superposición de
funciones armónicas.
Cuando se tienen funciones cuya dependencia temporal es del tipo
f (t) = a cos (ωt + ϕ)
compartiendo todas ellas el mismo ω, podemos expresarlas de la forma
f (t) = Re {a exp (jϕ) exp (jωt)}
siendo evidente que lo que diferencia unas funciones de otras es la amplitud
compleja
A = a exp (jϕ)
siendo ésta amplitud suficiente para representar la función.
Una onda plana U puede escribirse como
U (x, y, z, t) = Re(Aexp (iωt − imx − ivy − iwz))
Si se tiene un campo electromagnético, una onda plana verifica
E = Re(eexp (iωt − imx − ivy − iwz)) H = Re(hexp (iωt − imx − ivy − iwz))
entonces las ecuaciones de Maxwell 1 en el vacı́o y sin fuentes se escriben

∇·E =0⇒e·k =0




∂B

⇒ e × k = µωh 
∇×E =−
∂t
(16)
∇·B =0⇒h·k =0




∂E

∇ × B = µ
⇒ h × k = −ωe 
∂t
que indica el carácter transversal de las ondas electromagnéticas.
7
9
Emisión por un dipolo magnético
Sea un circuito C recorrido por una corriente i(t) = Re {I exp (jωt)} en uno de
cuyos puntos se sitúa el origen de coordenadas O de una referencia cartesiana
Oxyz con el tercer eje según la dirección y sentido del momento magnético m
de la espira. Se denominará A a un punto genérico de C y r A = ξi + ηj + ζk
a su vector de posición. Se procede a calcular el campo electromagnético en un
punto P , de coordenadas x, y, z y distancia al origen r. Supondremos, además,
que se verifica la hipótesis ∀A rA λ r. Llamaremos r P = xi + yj + zk
al vector de posición de P y r = (x − ξ)i + (y − η)j + (z − ζ)k al vector AP .
La hipótesis anterior permite aproximar
p
r = (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2
p
r = x2 + y 2 + z 2 − 2(xξ + yη + zζ) + ξ 2 + η 2 + ζ 2
r ≈ rP −
xξ + yη + zζ
rA · rP
= rP −
rP
rP
Dado que la densidad de carga es nula, la aplicación de la ecuación 10 conduce
a la nulidad del potencial escalar. El potencial vector se calcula a partir de la
ecuación 11
I
µ0 I
exp (−jkr)
A=
dr A
4π C
r
Al integrar sobre el circuito C, el factor 1/r prácticamente no variará significativamente, pues nos encontramos integrando en una zona pequeña y lejana de
P.
I
µ0 I
A≈
exp (−jkr) dr A
4πrP C
y utilizando la aproximación para r, se tiene
I
rA · rP
µ0 Iexp (−jkrP )
exp jk
A≈
dr A
4πrP
rP
C
I µ0 Iexp (−jkrP )
rA · rP
A≈
1 + jk
dr A
4πrP
rP
C
I
jµ0 kIexp (−jkrP )
A≈
(r A · r P )dr A
4πrP2
C
Pero
−r P × (r A × dr A ) = (r A · r P )dr A − (r P · dr A )r A
d{(r A · r P )r A } = (r P · dr A )r A + (r A · r P )dr A
de donde
(r A · r P )dr A = −
r P × (r A × dr A ) + d{(r A · r P )r A }
2
8
y al sustituir y anular la integral en un circuito del diferencial, se tiene
I
1
jµ0 kexp (−jkrP )
rP ×
A≈−
Ir A × dr A
4πrP2
2 C
A=−
jµ0 kexp (−jkrP )
rP × m
4πrP2
De donde
E=−
∂A
µ0 kωexp (−jkrP )
rP × m
=−
∂t
4πrP2
y teniendo en cuenta que ω = kc
E=−
µ0 ω 2 exp (−jkrP )
rP × m
4πcrP2
µ0 ω 2 m sen θexp (−jkrP )
uϕ
4πcrP
Para el campo de inducción magnética se escribe
E=
B =∇×A
donde
jµ0 m sen θωexp (−jkrP )
uϕ
4πcrP
Se plantea el rotacional en esféricas
ur
rP uθ rP sen θuϕ
∂
∂
∂
1
B= 2
∂θ
∂ϕ
rP sen θ ∂rP
A
r A r sen θA
A=
r
P
θ
P
ϕ
teniendo en cuenta que las variaciones significativas son las de la
con lo que
ur r P uθ
rP sen θuϕ
∂
∂
jµ0 mω sen θ ∂
B=
∂θ
∂ϕ
4πcrP3 sen θ ∂rP
0
0
r sen θexp (−jkr )
P
B=−
µ0 m sen θω 2
uθ
4πc2 rP
m sen θω 2
uθ
4πc2 rP
y el valor medio del vector de Poynting queda
H=−
< P >=
µ0 m2 ω 4 sen2 θ
ur
32π 2 rP2
9
P
exponencial,
que integrado origina
Z
2π
Z
π
< P > rP2 sen θdθdϕ =
W =
0
0
µ0 m2 ω 4
12πc3
y una resistencia
Rr =
2W
µ0 S 2 ω 4
=
2
|I|
6πc3
donde S = m/I.
Una vez radiada, la onda llega a otro circuito C 0 (receptor) produciendo
una fuerza electromotriz. Sea S 0 = S 0 k0 el momento magnético por unidad de
0
0
intensidad m
I 0 de C . Por la ley de Faraday-Henry, se tiene
E0 = −
dΦ0
dt
Si las dimensiones de C 0 son pequeñas comparadas con la longitud de onda,
entonces la inducción magnética en C 0 es prácticamente uniforme y se puede
aproximar
Φ0 = B · S 0
por lo que
E 0 = −jωS 0 B · k0
E0 =
jISS 0 ω 3
(sen θuθ · k0 )
4πc2 rP
pero
k = cos θur − sen θuθ ⇒ ur × (k × ur ) = − sen θuθ
que permite escribir
E0 = −
jIω 3
{ur × (S × ur )} · S 0
4πc2 rP
y
E0
jIω 3 =−
S · S 0 − (ur · S)(ur · S 0 )
(17)
2
I
4πc rP
m0
Téngase en cuenta que los vectores S, S 0 son m
I , I 0 respectivamente. En el caso
de circuitos planos (en xy, x0 y 0 de N, N 0 vueltas, equivaldrı́an a N Ak, N 0 A0 k0 ,
donde A, A0 serı́an las áreas encerradas por cada vuelta). La expresión (17)
es simétrica por lo que permite enunciar el teorema de reciprocidad para las
antenas emisoras/receptoras:
la fuerza electromotriz producida por una intensidad I circulando por C en
un circuito C 0 es igual a generada en C por una intensidad I que circulase por
C0
10
9.1
Problema
Una antena circular de área S = 1m2 y N = 1000 vueltas es recorrida por una
corriente de 9A con una frecuencia de 10/(2π) MHz (λ = 188.5 m).
Campo eléctrico máximo y eficaz, magnético máximo y eficaz, flujo medio de
energı́a por unidad de superficie, potencia media emitida en su plano ecuatorial
a una distancia de 10km.
E=
El el S.I.
10−7
µ0
N IS sen θω 2
4πcr
10−8 −4 3
10 10 91014 = 3 10−2
3
V/m.
B = E/c = 10−10
H = B/µ0 = 10−10
< P >=
W =
107
=≈ 8 10−5 A/m
4π
1
EH ≈ 4 10−7 W m−2
2
1 −7 10−24 28
10
10 81106 = 103
3
27
R = 24.7Ω
Determine la fem producida por la radiación en otra bobina idéntica paralela
a la primera, situada en su plano ecuatorial a una distancia de 10km.
|E| =
µ0 ωk 2 N N 0 SS 0 k · k0 − (k · ur )(k0 · ur ) I
4πr
En el S.I.
10−16 21 6
10 10 910−4 = 1
9
por lo tanto se tiene una señal de 1V
E = 10−7
10
Emisión por un dipolo eléctrico
A continuación se procede a calcular la radiación generada por un dipolo eléctrico
oscilante, de pulsación ω y longitud d cuyo momento dipolar viene expresado
en notación compleja por
p = Qdk
con una carga en cada extremo z = ± d2 de valor máximo Q y una intensidad en
el segmento − d2 ≤ z ≤ d2
I = jωQ
11
Según (11) y suponiendo que d r, d λ
µ0 Id exp (j − kr)
k
4πr
A=
jµ0 ωp exp (j − kr)
4πr
jµ0 ωp exp (j − kr)
A=
(cos θur − sen θuθ )
4πr
Para Φ, utilizando (10) se tiene
p · ur exp (j − kr) 2
+ jk
Φ=
4π0 r
r
A=
La inducción magnética B es
B =∇×A
B=
jωµ0 p sen θ exp (j − kr) ωµ0 pk sen θ exp (j − kr)
−
4πr2
4πr
y
jωp sen θ exp (j − kr) ωpk sen θ exp (j − kr)
−
4πr2
4πr
cuya componente más significativa lejos de la fuente es
H · uϕ =
pck 2 sen θ exp (j − kr)
uϕ
4πr
Hr = −
El campo eléctrico es
E=−
∂A
− ∇Φ
∂t
y su componente de radiación es
Er =
µ0 ω 2 p exp (j − kr)
pk 2 cos θ exp (j − kr)
(cos θur − sen θuθ ) −
ur
4πr
4π0 r
Er = −
µ0 ω 2 p exp (j − kr)
sen θuθ
4πr
El vector de Poynting queda
P =E×H =
o bien
P =
µ0 c 2 2 2 2
p ω k sen θur
16π 2 r2
µ0
2
p2 ω 4 sen θur
16π 2 cr2
que determina un valor medio
µ0
2
p2 ω 4 sen θur
32π 2 cr2
que integrado para una esfera queda para unidades del S.I.
< P >=
W = 9 1017 p2 k 4
12