α θ θ θ θ θ θ θ ξ ξ θ

Conducción no estacionaria 1-D
Placa plana
∂ 2T 1 ∂T
=
∂x 2 α ∂t
T = Ti
,t = 0
∂T
=0,x =0
∂x
∂T
−
= h(T − T∞ ) , x = L
∂x
Introduciendo el siguiente conjunto de variables adimensionales:
θ* =
T − T∞
x
*
, x =
L
Ti − T∞
Bi =
hL
k
, Fo =
αt
L2
La ecuación de la energía adquiere la forma:
∂ 2θ * ∂θ *
=
∂F0
∂x 2
θ = 1i
, Fo = 0
*
∂θ
= 0 , x* = 0
*
∂x
∂θ
= − Biθ , x * = 1
∂x
La solución viene expresada de la siguiente manera
∞
2
θ * = ∑ C n cos(ξ n x * ) exp( −ξ n Fo )
n =1
donde ξ n corresponden a los autovalores del problema, los cuales vienen dados por: la solución de la
siguiente ecuación trascendental:
ξ n tan (ξ n ) = Bi
La evaluación de la solución analítica es laboriosa porque requiere en primer lugar la determinación de los
autovalores para después proceder a la evaluación de los coeficientes C n ,
Los cuales se determinan mediante,
Cn =
2 sen(ξ n )
ξ n + sen( ξ n ) cos(ξ n )
Para tiempos prolongados , la solución en serie converge muy rapidamente. De manera que con la evaluación
de el primer término de la serie se logra buena exactitud.
Diagramas de Heissler
Precisamente, Heissler se dio a la tarea de graficar dichas soluciones con la evaluación del primer término,
este análisis es válido para Fo ≥ 0.2 , el cual determina:
θ ≈ C1 cos(ξ 1 x * ) exp( −ξ 1 2 Fo )
la temperatura en el centro de la placa,
θ 0 * = C1 exp( −ξ 1 2 Fo)
La expresión anterior depende del número de Fourier, Fo y del número de Biot, Bi .
Para efectos de cálculo las constantes C1 yξ 1 se encuentran tabuladas en la Tabla 5.1 del libro de Incropera
Cálculo del calor total
Grober siguiendo la misma aproximación de Heiisler presentó en forma de diagrama las soluciones para el
calor total, el cual viene dado por:
sen(ξ 1 ) *
Q
= 1−
θ0
Q∞
ξ1
Soluciones aproximadas para cilindro infinito y esfera
Cilindro infinito
θ ≈ C1 exp( −ξ 1 2 Fo) Jo(ξ 1 r * )
Q
2
= 1 − θ 0* J 1 (ξ 1 )
Q∞
ξ1
Esfera
θ ≈ C1 exp( −ξ 1 2 Fo )
1
sen(ξ 1 r * )
*
ξ1 r
Q
3
= 1 − 3 θ 0* [sin(ξ 1 ) − (ξ cos(ξ 1 )]
Q∞
ξ1