Práctica - Unican.es

Evaluación de funciones trascendentes.
Desarrollo en serie de Taylor (Maclaurin) de las funciones exponencial, seno y coseno.
exp(x) =
∞
xj
j=0
sen(x) =
∞
j!
,
(−1)j
x2j+1
, (−∞ < x < +∞)
(2j + 1)!
(−1)j
x2j
,
(2j)!
j=0
cos(x) =
∞
j=0
(−∞ < x < +∞)
(−∞ < x < +∞)
En estos ejercicios se trata de calcular valores aproximados de las funciones mencionadas
usando los correspondientes desarrollos en series de potencias, truncadas módulo un ideal
(xm ) para un entero positivo m.
Ejercicios.
Definir procedimientos expo, seno y coseno que admitan, cada uno de ellos, como
argumento un número real x y devuelvan, respectivamente,
(expo x)
la suma
n
xj
j=0
(seno x)
la suma
n
j!
,
(−1)j
x2j+1
,
(2j + 1)!
(−1)j
x2j
,
(2j)!
j=0
(coseno x)
la suma
n
j=0
para un n adecuado, dependiente de la precisión.
Notas:
• Para el procedimiento expo exprésese el número real x en la forma
x = E(x) + D(x), con E(x) ∈ Z (un entero) y 0 ≤ D(x) < 1
y téngase en cuenta que
exp(x) = exp(E(x) + D(x)) = eE(x) exp(D(x))
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 4 de marzo de 2005
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El factor eE(x) se calcula como una potencia de exponente entero (positivo,
negativo o nulo) tomando como valores aproximados, e = 2.71828182845905
y e−1 = 0.367879441171442; úsese para calcular eE(x) la versión iterativa del
procedimiento potencia rapida convenientemente modificada a fin de que admita exponentes negativos. El factor eD(x) se calcula mediante la correspondiente serie de potencias truncada. Defı́nanse, consecuentemente, procedimientos
parte entera y parte decimal que computen, respectivamente, E(x) y D(x).
• Para los procedimientos seno y coseno téngase en cuenta:
– La periodicidad de las funciones sen y cos: Si x es un número real,
0 ≤ x < 2π, entonces
sen(x + 2kπ) = sen(x), para todo entero k
cos(x + 2kπ) = cos(x), para todo entero k
Defı́nase un procedimiento auxiliar, digamos primer giro, que reduzca su
argumento al primer giro en el sentido comentado.
– Las reducciones al primer cuadrante de las funciones sen y cos con los signos
adecuados.
• Deberán exponerse todas las consideraciones teóricas, algorı́tmicas y de programación pertinentes.
• Comparar los resultados obtenidos con los correspodientes a las primitivas exp,
sin y cos de Scheme.
¿Cómo podrı́an calcularse las respectivas “funciones inversas” logaritmo neperiano,
arcoseno y arcocoseno?
Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 4 de marzo de 2005
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