Antena lineal de media onda

Antena lineal de media onda
ω
Se desea emitir una onda de frecuencia f = 2π
mediante una antena lineal, de longitud
2a dispuesta a lo largo del eje z en el segmento (−a ≤ ζ ≤ a), siendo ζ la abscisa de un
punto genérico de dicha antena. La distribución de corriente obedece a la expresión:
I(t, ζ) = I0 cos ωt cos νζ
π
donde ν = 2a
. Sabiendo que el campo eléctrico radiado por un elemento de corriente
lineal obedece a la expresión
dẼ = j
˜ exp (−jkr)
µ0 ω I(ζ)
sen θuθ dζ
4πr
con la interpretación habitual de los símbolos anteriores.
˜
1.- Encuentre la amplitud compleja que define la intensidad I(ζ)
I(ζ, t) = I0
cos(ωt + νζ) + cos(ωt − νζ)
2
por lo que
˜ = I0 exp(jνζ) + exp(−jνζ)
I(ζ)
2
2.- Aproxime la distancia r por rP − ζ cos θ, siendo rP la distancia del punto P al
origen, e integre la intensidad del campo eléctrico.
µ0 ωI0 exp (−jkrP )
Ẽ = j
sen θuθ
4πrP
Z
Sea
F =
1
a
−a
exp[j(k 0 + ν)ζ] + exp[(k 0 − ν)ζ]
dζ
2
F+ + F−
2
donde
Z
F± =
integrando:
a
exp [j(k 0 ± ν)ζ]dζ
−a
F±
sen[(k 0 ± ν)a]
=j
2
j(k 0 ± ν)
o bien
F±
sen[(k 0 ± ν)a]
=
2
k0 ± ν
con lo que
F =
(k 0 + ν) sen[(k 0 − ν)a] + (k 0 − ν) sen[(k 0 + ν)a]
k 02 − ν 2
F =
−(k 0 + ν) cos[k 0 a] + (k 0 − ν) cos[k 0 a]
k 02 − ν 2
que queda
F =−
k 02
2ν
cos(k 0 a)
− ν2
lo que hace
Ẽ = j
2ν
µ0 ωI0 exp (−jkrP )
sen θ 2
cos(k 0 a)uθ
4πrP
ν − k 2 cos2 θ2
3.- Obtenga el mínimo valor de a que produce una onda estacionaria, superposición
de dos que se desplazan con velocidad c en la antena.
a=
π
λ
=
2k
4
4.- Asumiendo para a el valor anterior, ontenga el
lı́m Ẽ
θ→ π2
Ẽ = j
π
µ0 cI0 exp (−jkrP )
cos( cos θ)uθ
2πrP sen θ
2
con lo que el límite queda
j
µ0 cI0 exp (−jkrP )
uθ
2πrP
5.- Obtenga el
lı́m Ẽ
θ→0
Ẽ = 0
2
Si no puede visualizar la animación anterior, pulse en el espacio anterior a estas
líneas; si sigue sin verla, pulse aquí
6.- Deduzca el valor de la induccón magnética B̃
Con el modelo de onda plana
B̃ = c−1 ur × Ẽ
B̃ = j
µ0 I0 exp (−jkrP )
π
cos( cos θ)uϕ
2πrP sen θ
2
7.- Calcule la densidad de energía en función del tiempo
u = 0 E · E
u=
µ0 I02
π
cos2 ( cos θ) cos2 (ωt − krP )
2
2
2
2
4π crP sen θ
3