EjerciciosI3

Problema 30
Ejercicio 1. Calcule el campo magnético sobre el eje de un solenoide de largo L y radio R, que es recorrido
por una corriente I que le da N vueltas
~ = µ0 IR2(R2 + x2) −3/2 x̂
El campo de un anillo es: B
2
Z L
µ0 N
~ =
dB
IR2(R2 + (x − x ′)2) −3/2dx ′ x̂
2 L
0
!
x
~ = µ0NI p (L − x)
B
x̂
+ √
2L
R 2 + x2
R2 + (x − L)2
Ejercicio 2. Un cilindro macizo de largo L y radio R está cargado uniformemente con densidad de carga ρ.
Se hace rotar en torno a su eje con velocidad angular constante ω. Calcule el campo magnético sobre su eje.
~ = µ0 IR2(R2 + x2)−3/2
El campo de un anillo es:B
x̂
2
dq = ρdV dV = dx ′ drrdθ
ω
dI = dq
2π
µ0 2 2
−3/2 ω
′
2
′
dB =
r (r + (x − x) )
ρdx drrdθ =
2π
2
!
Z
µ
(L − x)
x
=
B(x) = 0 ωρ drr p
+ √
2
r 2 + x2
r2 + (x − L)2
R
p
p
µ0
2
2
2
2
ωρ (L − x) r + (x − L) + x r + x
=
0
2
p
p
µ0
ωρ (L − x) R2 + (x − L)2 + x R2 + x2 −
2
µ0
ωρ(−(L − x)2 + x2)
2
Ejercicio 3. Un electrón se mueve en un campo eléctrico que depende del tiempo(pero es uniforme en todo
~ 0 = 104 V y la frecuencia de oscilación
~ = E0sen ωtx̂, E
el espacio en un instante dado), de la forma E
m
ω
~ = B0ẑ Calcular
es ν = 2π = 100 Megaciclos por segundo. También hay un campo magnético constante B
el movimiento del electrón.
∇×B=
m
1 ~
ωE0cos ωt + µ0J
c2
∇ × E + ∂tB = 0, ∂tB = 0
dvx
= −eE0sen ωt − ev yB0
dt
dv
m y = evxB0
dt
m v̇ y
vx =
eB0
m2
v̈ y = −eE0sen ωt − ev yB0
eB0
e2 B02
e 2E0B0
sen ωt −
vy
v̈ y = −
m2
m2
v y = A sen ωt
e2 E0B0 e2 B02
2
−Aω = −
−
A
m2
m2
e2 E0B0
−
2
A = eE0B0m
− ω2
m2
Para t muy grande, suponiendo un roce pequeño
Ejercicio 4. Considere el circuito de la figura 1. Encuentre 1) La carga del condensador como función
del tiempo. 2) El voltaje en el condensador como función del tiempo. 3) La corriente en el circuito como
función del tiempo.
2
1
Figura 1.
Sol:En t=0 en condensador está descargado. Se conecta el interruptor, con lo cual se establece una
corriente i que carga el condensador:
V+ − V1 =
Q
C
V1 − V2 = iR, V+ − V2 = V0
Q
Q
+ iR,
i = Q̇
+ Q̇ R = V0
C
C
V
Q
t
+B
Q̇ = 0 −
Q = A exp −
RC RC
R
V0
t
1
t
1
=
A exp −
+B
B = CV0,
−
A exp −
−
RC
R
RC
RC
RC
Q(0) = 0 = A + B ,
A = −CV0
t
Q = CV0 1 − exp −
RC t
V0
t
Q(t)
= V0 1 − exp −
i(t) = exp −
V (t) =
RC
RC
C
R
V0 =
Ejercicio 5. Calcule ε(t)producida por la rotación de una espira circular de radio R en un campo magnético
uniforme B ẑ .
Sol:
Φ = BπR2cos ωt ε = BπR2ω sen ωt
Ejercicio 6. Para medir el campo magnético terrestre se dispone de un solenoide de 1000 espiras y 11.3
cm. de diámetro, que se hace rotar en torno a un eje paralelo a un plano de las espiras, con una velocidad
angular ω = 100 rad/s. El eje de giro del solenoide se coloca en horizontal en la dirección Este-Oeste.
Mediante un osciloscopio, conectado a los extremos del solenoide, se determina una f.e.m. inducida
ε = 50 sen(ωt + φ) mV
en donde el tiempo se mide a partir de la horizontal. Encuentre
i. La magnitud del campo magnético en ese punto de la Tierra.
ii. La dirección del campo con respecto a la horizontal.
iii. Cuánto vale φ en el Ecuador y en los polos magnéticos terrestres?
Sol:
~ = B(ŷ cos θB + ẑ sen θB )
B
dS = dS(ŷ cos ωt + ẑ sen ωt)
~ .dS = BdS(cos θB cos ωt + sen θB sen ωt) = BdS cos (ωt − θB )
B
Φ = BπR2N cos (ωt − θB )
ε = BπR2Nω sen(ωt − θB )
Weber
B = 0.5 × 10−4
m2
θB = −φ
En el Ecuador B es horizontal: θB = −φ = 0
π
En el polo magnético norte, B es vertical y apunta hacia arriba:
φ=−
2
π
En el polo magnético sur, B es vertical y apunta hacia abajo:
φ=
2