UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS PROYECTO CURRICULAR INGENIERÍA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES GRUPO: PERIODO: 2021-2 Nombre: ID: Indicaciones 1. Dispone de 120 minutos como máximo para resolver el examen y 15 minutos adicionales para escanear su justificación junto con esta hoja que debe estar en primer lugar. Al nombre de su archivo debe ponerle sus apellidos y nombres unicamente y guardar en .pdf 2. Resuelva de forma ordenada y con letra legible, no es necesario copiar los enunciados. Todos los puntos tienen el mismo porcentaje. 3. Todas las respuestas deben estar justificadas adecuadamente o no serán tenidas en cuenta, incluso aquellas de falso y verdadero. 4. La prueba es individual calquier sospecha de copia en sus justificaciones será causal de anulación. Códigos que terminan en cifra Impar 1 La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto cambia a una razón proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto mismo y la temperatura de sus alrededores. Supóngase que la temperatura ambiente es de 70◦ F y que la constante de cambio es k = 0,5(min)−1 . Escriba una ecuación diferencial para la temperatura del objeto en cualquier instante. Resuelva la ecuación. 5 Un peso de 4 libras estira un resorte dos pies. El peso se libera del reposo a 23 pies por encima de la posición de equilibrio y el movimiento resultante se presenta en un medio que ofrece una fuerza amortiguadora numéricamente igual a 78 veces la velocidad instantánea. Use la transformada de Lapalace para encontar la ecuación de movimiento. 6 Resuelva el siguiente problema de valor inicial usando Transformada de Laplace 2 Demuestre que si a y λ son constantes positivas y b es cualquier número real, entonces toda solución de la ecuación y (t) − 6y(t) + 9 t Z 0 y0 + ay = be−λt y(τ)dτ = t, y(0) = 0 0 tiene la propiedad de que y → 0 cuando t → ∞ 7 Escriba si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: La matriz ! 1 sin(t) sin(t) 1 3 Encuentre el factor que hace que de integración la ecuación dx + yx − sin(y) dy = 0 sea exacta. - Es matriz fundamental de un sistema 2 × 2 X 0 = AX para todo t con A(t) una matriz continua y definida en R. - 4 Suponga que el sistema x0 = x + y y0 = 4x + y describe una partı́cula que en el tiempo t = 0 se encuentra en la posición (0, 4), encuentre la posición (x(t), y(t)) de la partı́cula para todo tiempo t. Tenga en cuenta que los valores propios asosiados ! son r =! 3 y r = −1, con eigenvectores 1 −1 y respectivamente. 2 2 8 Escriba una ecuación diferencial lineal homogenea de segundo orden n cuyoo conjunto fundamental de solución es e−3t , e3t . - 1
