Respuestas del segundo parcial de GAL 2. 01 de diciembre de 2006

Respuestas del segundo parcial de GAL 2.
01 de diciembre de 2006
Versión 1: En R3 con el producto interno usual...
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
A
E
A
X
C
B
Versión 2: Se sabe que cierta magnitud fı́sica...
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
B
B
E
B
X
Versión 3: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita...
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
D
X
D
D
E
Versión 4: Sean (1, 2, 0) y 0, −2, 1) vectores propios...
1
2
3
4
5
6
7
8
D
X
A
E
D
B
D
C
La X significa que se anula la pregunta y se da a cada uno los 5 puntos correspondientes.
Ejercicios de desarrollo.
Ejercicio 1.
a) Un operador T : V → V es autodadjunto si hT (v1 ), v2 i = hv1 , T (v2 )i para todo v1 , v2 ∈ V .
b) Supongamos que T es autoadjunto.
(i) Como T es autoadjunta entonces hT (v), vi = hv, T (v)i para todo v ∈ V , es decir
hT (v), vi = hT (v), vi para todo v ∈ V , luego hT (v), vi ∈ R.
En particular sea v un vector propio de T asociado al valor propio λ, entonces
hT (v), vi = hλv, vi = λhv, vi ∈ R.
Como hv, vi > 0, entonces λ ∈ R.
(ii) Sean λ y µ dos valores propios distintos y v y w vectores propios asociados respectivamente, es decir T (v) = λv y T (w) = µw.
Entonces, como T es autoadjunta, se tiene que:
hT (v), wi = hv, T (w)i
⇒ hλv, wi = hv, µwi;
⇒ (λ − µ)hv, wi = 0.
Como λ y µ son distintos, entonces hv, wi = 0, es decir los vectores v y w son
ortogonales.
Es claro entonces que Sλ y Sµ son ortogonales.
1
c) Consideremos la base {v1 , v2 , v3 } de R3 con hv2 , v3 i = 0, y definir T tal que T (v1 ) =
v1 + v2 , T (v2 ) = v2 y T (v3 ) = 2v3 , .


1 0 0
Entonces en esta base B ((T ))B =  1 1 0 .
0 0 2
B ((T ))B
es la forma canónica de Jordan de T y B es una base de Jordan.
Los valores propios de T son 1 y 2 (reales) y dim S1 = dim S2 = 1 con S1 y S2 ortogonales.
T no es diagonalizable y por lo tanto no puede ser autoadjunta.
Ejercicio 2.


x
  y , es ortogonal ya que las columnas de su matriz
a) T (x, y, z) = 
z
asociada forman una base ortonormal de R3 .
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
− 23
2
3
− 23
− 13

b) El determinante de T vale −1 y la traza de T vale 1, entonces T es una simetrı́a respecto
de un plano.
Hallemos la ecuación del plano.
 2

1
2
3 +1
3
3
£
¤
2
− 23  = (−1, 1, 2) . Entonces el plano tiene por ecuación
S−1 = N  13
3 +1
2
− 23
− 13 + 1
3
−x + y + 2z = 0.
1
2
+
3 (2x


2
3
− 23  
− 13
2y 2− z 2 + 4xz + 2xy − 4yz) se escribe como
x
3
3
2
y , donde la matriz simétrica es la matriz
Q(x, y, z) = (x y z)  13
3
2
2
z
−3
3
asociada a T en la base canónica. Como T tiene como valores propios de signo opuesto (1
y -1), Q es entonces indefinida.
Q(x, y, z) =
c) La forma cuadrática 
2
1
2