Solución

SOLUCIONES
Primer Parcial de Geometrı́a y Álgebra Lineal 2
Lunes 3 de octubre de 2005, 08:00 hs.
PARTE MULTIPLE OPCIÓN. Total: 28 puntos
Respuesta correcta:
Respuesta incorrecta:
No responde:


12
1
3
VERSIÓN 1: Sea A =  1/2 −1 0 
1
1 19
4 puntos.
-1 punto.
0 punto.
VERSIÓN 2: Sea S = [(3, 5, 1)] ∪ (0, 1, 1) un subconjunto de R3
VERSIÓN 3: La tabla de valores que se muestra a continuación
VERSIÓN 4: Sea A ∈ M2×2 (K) con valores propios 1 y -1
Número de pregunta
Versión 1
Versión 2
Versión 3
Versión 4
1
A
D
B
D
2
B
B
C
C
3
C
C
A
A
4
E
C
B
B
5
C
E
D
A
6
D
A
E
E
7
D
B
D
A
PARTE DE DESARROLLO. Total: 12 puntos
Problema 1 ( 5 puntos)
Sea T : V → V operador lineal tal que:
• χT (λ) = λ2 (1 − λ)3 es su polinomio caracterı́stico.
• dim N (T − I)2 6= dim N (T − I)3 .
• dim N (T ) = dim N (T 2 ).
Hallar la forma canónica de Jordan de T . Justifique su respuesta!
El polinomio caracterı́stico de T es χT (λ) = λ2 (1 − λ)3 . Por lo tanto λ1 = 0 y λ2 = 1 son los valores propios de T con
ma(λ1 ) = 2 y ma(λ2 ) = 3 (de donde dim(V)=5).
Entonces la forma de Jordan va a tener dos bloques de Jordan, J(0) y J(1) correspondientes a lo vap’s 0 y 1 respectivamente. Además J(0) ∈ M2×2 y J(1) ∈ M3×3 .
Por otro lado, sabemos que para cada vap λi , existe ni tal que N (T −λi I)ni −1 N (T −λi I)ni = N (T −λi I)k ∀ k > ni
y tal que V = N (T − λ1 I)n1 ⊕ N (T − λ2 I)n2 (de donde dimN (T − λi I)ni = ma(λi )).
Por hipótesis dim N (T ) = dim N (T 2 ), esto implica que n1 = 1 de donde dimN (T ) = dimN (T )n1 = ma(λ1 ) = 2 y
por lo tanto el bloque J(0) es diagonal, esto es:
µ
¶
0 0
J(0) =
0 0
También sabemos por hipótesis que dim N (T − I)2 6= dim N (T − I)3 , esto implica que n2 ≥ 3. Usando que por ser
subespacio propio dim N (T − I) ≥ 1 , y que dimN (T − λi I)ni = ma(λi )) = 3, resulta que la única posibilidad es que
dim N (T − I) = 1, dim N (T − I)2 = 2 y dim N (T − I)3 = 3. Por lo tanto existe un único subloque de dimensión
3 × 3, en el bloque asociado al vap λ2 = 1, esto es:


1 0 0
J(1) =  1 1 0 
0 1 1
1
Por lo tanto la forma canónica de Jordan es:



J =


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1






Problema 2 ( 7 puntos)
Sea V un espacio vectorial sobre C con producto interno.
1. (2 puntos) Sea B = {v1 , · · · , vn } conjunto ortonormal. Probar que B es un conjunto linealmente independiente.
2. (5 puntos) Sea B = {v1 , · · · , vn } base ortonormal de V . Probar que
a) Para todo v ∈ V , se cumple que v = hv, v1 iv1 + · · · + hv, vn ivn .
n
n
n
P
P
P
b) Si v =
αi vi y w =
βi vi , entonces hv, wi =
αi βi .
i=1
i=1
i=1
−
→
1. Sea α1 v1 + · · · + αn vn = 0 . Hay que probar que αj = 0 ∀ j = 1, · · · , n. Para todo j = 1, · · · , n se tiene:
−
→
hα1 v1 + · · · + αn vn , vj i = h 0 , vj i = 0
Por otro lado
hα1 v1 + · · · + αn vn , vj i =
n
X
(1)
αi hvi , vj i
i=1
Por ser B conjunto ortonormal de V ,hvi , vj i = 0 si i 6= j y hvi , vj i = 1 si i = j. Entonces
hα1 v1 + · · · + αn vn , vj i =
n
X
αi hvi , vj i = αj
i=1
de donde, usando 1, resulta que αj = 0 ∀ j = 1, · · · , n y por lo tanto B es un conjunto linealmente independiente.
2.
a) Por ser B base de V , se tiene que v = α1 v1 + · · · + αn vn para todo v ∈ V . Por lo tanto hay que probar que
αj = hv, vj i ∀ j = 1, · · · , n. Entonces:
hv, vj i = hα1 v1 + · · · + αn vn , vj i =
n
X
αi hvi , vj i = αj
i=1
ya que por ser B base ortonormal de V ,hvi , vj i = 0 si i 6= j y hvi , vj i = 1 si i = j.
b)
n
n
n X
n
X
X
X
hv, wi = h
αi vi ,
βj vj i =
αi βj hvi , vj i
i=1
j=1
i=1 j=1
Como antes, usando que B es ortonormal, resulta que hvj , vi i = 1 si y solo si i = j y cero en otro caso, se
prueba el resultado:
n X
n
n
X
X
hv, wi =
αi βj hvi , vj i =
αi βi
i=1 j=1
2
i=1