dim(U) + dim(W) ¡ dim(U \ W)
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Teorema. Si V es un K-espacio vectorial ¯nitamente generado y U; W · V entonces dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) ¡ dim(U \ W ): Demostraci¶ on. Por una proposici¶on de Teor¶³a, dado que V es ¯nitamente generado, se tiene que U + W , U, W y U \ W son ¯nitamente generados. Sea B = fv1 ; : : : ; vr g base de U \ W . Entonces: B es un sistema libre y B µ U luego existe B1 base de U tal que B µ B1 y entonces B1 = fv1 ; : : : ; vr ; ur+1 ; : : : ; u sg. B es un sistema libre y B µ W luego existe B2 base de W tal que B µ B2 y entonces B2 = fv1 ; : : : ; vr ; wr+1 ; : : : ; wt g. ~ = B1 [ (B2 n B) = fv1 ; : : : ; vr ; ur+1 ; : : : ; us ; wr +1 ; : : : ; wt g y si probamos Consideramos B ~ es una base de U + W se tendr¶a demostrado el Teorema. que B ~ es sistema generador de U + W . 1. B Si v 2 U + W entonces existen u 2 U y w 2 W tales que v = u + w. Como u 2 U , existen ® 1 ; : : : ; ®r ; ®r+1 ; : : : ; ® s 2 K tales que u = ®1 v1 + : : : + ®r vr + ®r+1 u r+1 + : : : + ®s us . Como w 2 U , existen ¯1 ; : : : ; ¯r ; ¯r+1 ; : : : ; ¯t 2 K tales que u = ¯1 v1 + : : : + ¯r vr + ¯r+1 w r+1 + : : : + ¯t wt . Entonces v = u + w = ® 1 v1 + : : : + ®r vr + ® r+1 ur+1 + : : : + ®s us + ¯1 v1 + : : : + ¯r vr + ¯r+1 w r+1 + : : : + ¯t wt = (®1 + ¯1 )v1 + : : : + (®r + ¯r )vr + ® r+1 ur+1 + : : : + ® sus + ~ ¯r+1 w r+1 + : : : + ¯t wt 2 hBi. 2. B es sistema libre. 1
