ayudantia 4

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingenierı́a
Instituto de ciencias básicas
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Algebra
y Geometrı́a
Ayudantia N°4
1. Una cuerda de la parábola P : y 2 − 4x = 0 es un segmento de la recta L : x − 2y + 3 = 0.
¿ Cual es la longitud de la cuerda ?
2. Encuentre el área del triangulo ABC donde A es el vértice de la parábola de foco F = (1, 3) y directriz
y = 1, el punto B tiene coordenadas (7, 2) y C es el centro de la circunferencia
x2 + y 2 − 8x − 12y + 48 = 0
Ademas encuentre la ecuación de la parábola.
3. Una parábola de ecuación (y − k)2 = 4p(x − h) tiene su vértice en el centro de la circunferencia
x2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0
determine :
(a) centro y radio de la circunferencia
(b) Ecuación general de la parábola si se sabe que su directriz es tangente a la circunferencia.
4. Una circunferencia cuyo centro es el punto C = (4, −1) pasa por el foco de la parábola
x2 + 16y = 0
demostrar que es tangente a la directriz de la parábola
5. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
4x2 + y 2 –16x + 2y + 13 = 0
1
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Algebra
y Geometrı́a
Desarrollo Ayudantia N°4
1. Interceptamos L con P .
Primero despejamos x de la ecuación de la parábola
y 2 = 4x =⇒ x =
y2
4
luego reemplazamos x en L
y2
− 2y + 3 = 0
4
=⇒ y 2 − 8y + 12 = 0
=⇒ (y − 6)(y − 2) = 0
=⇒ y = 6 ∨ y = 2
Si y = 6 =⇒ x = 9 y si y = 2 =⇒ x = 1
A = (1, 2), B = (9, 6)
Finalmente el largo de la cuerda es igual distancia d entre A y B
q
Largo = d =
√
√
(9 − 1)2 + (6 − 2)2 = 64 + 16 = 4 5
2. Como d(A, F) = d(A, directriz)
el vértice A sera el punto medio entre F y la directriz
2
=⇒ A = (1, 2)
buscamos el centro C de la circunferencia
x2 + y 2 − 8x − 12y + 48 = 0
=⇒ x2 − 8x + 16 + y 2 − 12y + 36 = 16 + 36 − 48
=⇒ (x − 4)2 + (y − 6)2 = 4
∴ C = (4, 6)
Como podemos observar gráficamente la base b del triangulo y la altura h, tiene los siguientes valores.
b=6,h=4
1
(4)(6) = 12 unidades
2
Buscamos la ecuación de la parábola, basándonos en la expresión
Por lo que el área del triangulo area =
(x − h)2 = 4p(y − k)
como sabemos que p = 1 y conocemos el vértice A = (1, 2), la ecuación de la parábola es la siguiente
(x − 1)2 = 4(y − 2)
3. (a) Buscamos el centro y radio de la circunferencia
x2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0
=⇒ x2 − 2x + 1 + y 2 − 2y + 1 = 9
3
=⇒ (x − 1)2 + (y − 1)2 = 9
centro v = (1, 1) y radio r = 3
(b) Sabemos que |p| = d(v, directriz) = r = 3 y sabemos que su vértice es v = (1, 1)
Si p > 0 la ecuación de la parábola nos queda
(y − 1)2 = 4(3)(x − 1)
=⇒ y 2 − 12x − 2y + 13 = 0
Si p < 0 la ecuación de la parábola nos queda
(y − 1)2 = 4(−3)(x − 1)
y 2 + 12x − 2y − 11 = 0
4. Buscamos el foco de la parábola
x2 = 4(−4)y
p = −4, por lo que el foco f esta en f = (0, −4)
calculamos el radio r que es igual a la distancia entre el foco de la parábola y el centro de la circunferencia
√
√
r = d(f , C) = 42 + 32 = 25 = 5
la ecuación de la circunferencia es
(x − 4)2 + (y + 1)2 = 25
Como se puede apreciar el angulo de intersección es de 90°, por lo que la directriz es tangente a la
circunferencia.
4
5. Buscamos en centro y los vértices de la elipse
4x2 + y 2 –16x + 2y + 13 = 0
4(x2 − 4x + 4 − 4) + y 2 + 2y + 1 = −13 + 1
4(x − 2)2 − 16 + (y + 1)2 = −12
4(x − 2)2 + (y + 1)2 = 4
(x − 2)2 (y + 1)2
+
=1
12
22
centro en C = (2, −1), vértices v1 = (2, 1) , v2 = (2, −3) , v3 = (3, −1) y v4 = (1, −1)
√
como c = b2 − a2
√
√
c = 22 − 12 = 3
√
√
por lo que los focos están en F = (2, −1 + 3) y F 0 = (2, −1 − 3)
5
6