Esfera abierta en Rn

Derivada direccional
n
Dada una función f: R
R , un punto interior del dominio de la
función X0, y un vector unitario U
en una dirección cualquiera. Se
denomina derivada direccional de f con respecto a U en el punto X0,
al número:
f
U
(X0)

lim
f( X0 + hU ) - f( X0 )
h0
h
De la condición de diferenciabilidad de f en X0
lim
X  X0
Si hacemos
f(X) - f(X0 ) - JX0f (X-X0)
||X-X0||
X-X0 = hU ,
donde U
= Θ (vector nulo)
es un vector unitario y h un
escalar. Entonces ||X-X0|| = h y X tiende a X0 sí y solo sí h tiende a 0.
Por lo tanto, una manera equivalente de enunciar la condición de
diferenciabilidad de f en X0 tomando en cuenta que f es una función real.
Es:
lim
f(X0 + hU) - f(X0 ) - JX0f (hU )
h  0
h
lim f(X0 + hU ) - f(X0 )
h  0
h
f
U
f
U
(X0)
(X0)
=
=
=
= 0
lim JX0f (hU )
h  0
h
lim JX0f (hU )
h  0
h
JX0f (U )
Forma operativa de obtener la derivada direccional de f en el punto Xo y
en la dirección del vector unitario U. . Cuando f es diferenciable en Xo.
El Gradiente
f: Rn
Dada una función real
R,
diferenciable
en
X0,
llamaremos Gradiente de f en X0 al vector:
f(X0) =
f(X0) , f(X0) , . . . , f(X0)
x1
x2
xn
Visto como una matriz fila, este vector se identifica con la matriz del
diferencial de f en X0.
JX0f
Por esta razón, la derivada direccional también puede escribirse como:
f
U
f
U
(X0)
(X0)
=
=
JX0f(U )
f(X0).(U )
Forma práctica de obtener la derivada direccional de f en el punto Xo y en
la dirección del vector unitario U. Cuando f es diferenciable en Xo.
El vector Gradiente (cuando es diferente de cero), tiene la dirección
de máximo incremento (positivo o negativo) para la función f en el
punto
X0.
En la dirección del Gradiente la función siempre crece, ya que la
derivada direccional es positiva.
n
Sea una función real f: R
diferenciable en X0, entonces la
R,
superficie implícita definida como f(X) = f(X0)
X0 definido por
tiene plano tangente en
f(X0).(X - X0) = 0 , lo que implica lo siguiente:
“El vector gradiente de f en X0,
f(X0),
es normal a la
superficie implícita f(X) = f(X0) en el punto X0”
El máximo valor absoluto que puede tomar la derivada direccional
en un punto X0, es la norma del Gradiente de la función en el punto.
Esto es:
f
 U (X0) 
||f(X0)||