Algunas preguntas propuestas en exámenes (Derivadas parciales y

ANALISIS MATEMÁTICO II
Derivadas parciales y direccionales
HOJA 7
1. (Sydsaeter, prob. 1, p. 405) Hallar z´x y z´y para las funciones siguientes:
a) z  x 2  3y 2
b) z  xy
c) z  5x 4 y 2  2xy5
d) z  e x y
e) z  e xy
f) z  e x / y
g) z  ln(x  y)
h) z  ln(xy)
2. (Sydsaeter, prob. 3, p. 405) Hallar todas las derivadas parciales de primero y segundo orden
de las funciones siguientes:
a) z  3x  4 y
b) z  x 3 y 2
c) z  x 5  3x 2 y  y 5
d) z  x / y
f) z  x 2  y 2
e) z  ( x  y) /( x  y)
3. (Sydsaeter, prob. 7, p. 406) Sea f ( x, y)  x ln y  y 2 2 xy . Hallar todas las derivadas
parciales primeras y segundas en (x, y) = (1, 1).
4. (Sydsaeter, prob. 1, p. 412) Hallar todas las parciales primeras de las funciones siguientes:
a) f ( x, y, z)  x 2  y 3  z 4

e) f ( x, y, z )  x 2  y 3  z 4

6
f) f ( x, y, z)  e xyz
5. Calcular los gradientes y Hessianas de los campos:
a) f(x,y,z) = (3x  y + 5z2)2 en P(0, 1, 2)
2
b) g(x,y,z) = e x y + (x3y)/z en Q(0, 1, 1)
c) h(x,y) = x2 + y2 sen x en R(, 1)
d) k(x,y) = (xy) / (x2 + y2) en S(1, 2)
6. Dada la función de producción de Cobb Douglas ( q  Ak  l  ). ¿Cual sería,
aproximadamente, la producción suplementaria que se obtendría si se aumentase en una
unidad cada uno de los inputs manteniendo constante la cantidad utilizada del otro?
7. Dadas las funciones: (a) f(x, y) = x + y; (b) g(x, y) = x2 –2y; (c) h(x, y) = (x – y)2, calcular,
para cada una de ellas y en el punto P(2, 3), la derivada según la dirección que va de P a
Q(5, 7).
8. En un punto de la superficie del mar hay una fuente de sangre. Tomando este punto como
origen de coordenadas, la concentración de sangre en un punto (x, y) de su proximidad
viene dada por C(x, y)= Exp((x2 + 2y2)/10). Un tiburón detecta la presencia de sangre en
el agua y se dirige hacia su fuente moviéndose, en cada instante, en la dirección de máxima
variación de la concentración de sangre en el agua. Si inicialmente estaba en el punto (x,
y), ¿qué trayectoria seguirá?
Soluciones
  2 0 0


 2  2

5. g(Q) = (0, 0, 0); Hg(Q) =  0 0 0  ; h(R) = (2  1, 0); Hh(R) = 
 2 0 
 0 0 0


1 

6. Si se aumenta k: A k l
Si se aumenta l: A k l 1
8. La del gradiente de C en (x, y).
Algunas preguntas propuestas en exámenes (Derivadas parciales y direccionales)
2 xy 2  3 y
9. (J05) El gradiente de f ( x, y)  2
, en el punto (1, 1) vale:
x  y3
a) (6, 5)
b) (6/4, 5/4)
c) Ninguna de las anteriores
x
. La
x2  y2
dirección de mayor crecimiento del calor en el punto (3, 4), viene dada por el vector:
a) (24, 7)
b) (1, 0)
c) Ninguna de las anteriores.
10. La temperatura en el punto (x, y) de una placa viene dada por T ( x, y) 
11. La derivada direccional de f(x, y) = x2 sen 2y en (1, /4) en la dirección del vector (3, –4),
vale:
a) –8/5
b) 6/5
c) –2/5
12. (J03) La derivada direccional del campo f ( x, y)  (2 x  y) 3 según la dirección del vector (p,
3), en el punto (3, 5), es 3:
a) Si p = 0
b) Si p = 4
c) Ninguna de las anteriores.
13. (J02) La dirección de crecimiento nulo del campo f ( x, y)  x 2 e x py , en el punto (1, 0),
viene dada por el vector:
a) (0, 1) sólo si p = 0 b) (0, 1) para todo p c) (1, 0) para todo p.
2
14. (J01) La dirección de crecimiento cero del campo f ( x, y)  x 2 e xy en el punto (1, 0)
viene dada por el vector:
a) u = (3, 1)
b) v = (2, 1)
c) Ninguna de las anteriores.
15. (J04) La derivada direccional de f ( x, y) 
vector (1, 1), vale:
 17
a)
625 2
b)
17 2
25
x
en el punto (3, 4) en la dirección del
x  y2
2
c) Ninguna de las anteriores.
16. (J06) La derivada direccional del campo f ( x, y) 
del vector (1, 1), vale:
a)  5 / 4 2
b) 2
x
, en el punto (4, 2), en la dirección
y2
c) Ninguna de las anteriores
17. (J07) La derivada direccional de f ( x, y)  3x 2  2 y 2 , en el punto (1, 3), en la dirección
del vector (2, 5), vale:
a) 36 / 10
b) 48 / 29
c) Ninguna de las anteriores