Derivación implícita, vector gradiente y derivadas direccionales

Tema 06:
Derivación implícita, vector gradiente y derivadas
direccionales
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2014
MA-1003 Cálculo III (UCR)
Derivadas implícitas y direccionales
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Derivadas direccionales
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Introducción
Ejemplo
Se ha estudiado la derivación hasta el momento para funciones
explícitamente dependientes de dos o tres variables (por ejemplo:
z = f (x, y) = y2 ex+y .
Considerar el caso de una superficie cuádrica como la esfera:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
Geométricamente, tiene sentido interpretar la razón de cambio de z
respecto a x y y. Pero no puede calcularse con los métodos estudiados
hasta el momento.
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Introducción (2)
No se puede despejar la variable z como
función inequívoca en términos de x y y.
Pero sí podríamos intuir que z varía conforme
cambian estas otras variables.
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Metodología
Método
Se redefine la expresión de la esfera con una
función auxiliar F(x, y, z), la cual se obtiene de
mover todos los términos de la misma a un
lado de la igualdad:
2
2
2
2
F(x, y, z) = (x − a) + (y − b) + (z − c) − R
=
F
0
x
Podemos estudiar la dependencia de las
funciones y variables con el método del árbol
de dependencias.
y
z
x
y
Derivando a ambos lados la expresión
F(x, y, z) = 0, se pueden obtener las
expresiones buscadas para las derivadas
parciales de z.
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Metodología
Respecto a x
Respecto a y
F(x, y, z)
∂z
∂x
∂z
2(x − a) + 2(z − c)
∂x
∂F
∂F
=
+
∂x
∂x
∂F
∂z
=
0
=
0
=
0
F(x, y, z)
∂z
∂y
∂z
2(y − b) + 2(z − c)
∂y
∂F
∂F
=
+
∂y
∂y
∂F
∂z
=
0
=
0
=
0
De las expresiones finales, es fácil despejar las expresiones requeridas
∂z
∂z
para las derivadas ∂x
y ∂y
.
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Definición formal
Derivación implícita
Sea F(x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ) = 0 una expresión que define implícitamente a la
variable xi como función de otras variables cualesquiera
xi = g(y1 , y2 , ..., yi , ..., yn ). La derivada parcial de xi respecto a yi se define
como
∂xi
∂yi
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= −
∂F
∂yi
∂F
∂xi
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Trucos y observaciones
Debe entenderse bien la diferencia entre la cantidad de argumentos de
una función, y la cantidad de variables de la que depende.
Ejemplo: sea F(xz2 , y + log(z)) = 0 la expresión que define
implícitamente a z como función de x y y. Entonces, la función F
depende de dos argumentos y de tres variables.
Para crear el árbol de dependencias en estos casos, se sugiere dar un
nombre auxiliar a cada uno de estos argumentos. En el caso del ejemplo,
F(u, v) = 0, con u = xz2 , v = y + log(z), y z = f (x, y).
Tener precaución cuando se combinan expresiones de funciones no
especificadas y expresiones algebraicas conocidas. Ejemplo:
F(xz, yez , xyz) + 3xy2 z = 0. Dar un nombre de función auxiliar a toda la
expresión que se encuentra a un mismo lado de la igualdad:
G(x, y, z, F) = F(xz, yez , xyz) + 3xy2 z.
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Motivación
En la analogía de la altitud como función de la latitud y longitud, vimos
como las derivadas parciales corresponden al cambio en la altitud
conforme se avanza en dirección sur-norte o oeste-este.
¿Qué sucede si se decide avanzar en dirección sureste, o alguna otra
dirección completamente arbitraria?
La derivada direccional permite calcular la razón de cambio de un campo
escalar respecto a una dirección arbitraria en el subespacio de las
variables independientes.
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Formulación
Se desea conocer la razón de cambio de la
función z = f (x, y) para el punto
P0 = (x0 , y0 , z0 ) en la dirección del vector
arbitrario ~v = (vx , vy ).
Definamos la ecuación de la línea recta, en el
plano de dos dimensiones, que pasa por el
punto (x0 , y0 ) y lleva la dirección del vector ~v:
(x, y) = (x0 , y0 ) + t(vx , vy ).
Re-definamos esta recta normalizando el
vector ~v, para que variaciones en el parámetro
t no estén ligadas a la magnitud del vector
director de la recta: (x, y) = (x0 , y0 ) + t(ux , uy )
v
con ~u = |~~v|
.
z
x
y
t
t
Ahora se puede estudiar la variación de la
función z respecto al parámetro t, utilizando la
teoría de derivación implícita.
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Definición
De acuerdo con las consideraciones anteriores, podemos definir la derivada
direccional de la siguiente forma:
Definición
Se define la derivada direccional de la función z en la dirección del vector ~v
como
∂z
dx
∂z
dy
D~u z(x, y) =
+
∂x
dt
∂y
dt
∂z
∂z
=
ux +
uy
∂x
∂y
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Vector Gradiente
Reacomodando la definición anterior, podemos escribir:
∂z
∂z
ux +
uy
D~u z(x, y) =
∂x
∂y
∂z ∂z
,
· ~u
=
∂x ∂y
El vector gradiente para campos de dos variables
−
→ ∂z ∂z Se define como vector gradiente al vector ∇z = ∂x
, ∂y
Entonces resumimos así la definición de derivada direccional
−
→
D~u z(x, y) = ∇z · ~u
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Vector Gradiente: utilización
De la definición de la derivada direccional, y re-expresando el producto punto,
se obtiene:
−
→
D~u f (x, y) = ∇f · ~u
−
→
D~u f (x, y) = k∇f k cos θ
−
→
Por lo tanto, el máximo valor de la derivada direccional se da cuando ∇f k ~u,
−
→
y su valor es nulo cuando ∇f ⊥ ~u.
Vector gradiente y razón de cambio
El vector gradiente indica la dirección en la cual la función posee la
derivada máxima (creciente).
La dirección opuesta al vector gradiente indica, por lo tanto, hacia dónde
la función tiene el valor mínimo (decreciente).
En las direcciones perpendiculares al vector gradiente, la función no
presenta variación (derivada direccional nula).
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Vector gradiente y curvas de nivel
Los corolarios anteriores nos llevan inmediatamente a la siguiente conclusión:
−
→ ∂z ∂z Para un campo escalar z = f (x, y), el vector gradiente ∇z = ∂x
, ∂y
evaluado en un punto P, será perpendicular a la curva de nivel que pasa por P.
Ejemplo: demostrar que los corolarios también implican que los ríos siempre
descienden de las montañas en la dirección opuesta al vector gradiente (y
perpendiculares a las curvas de nivel).
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Vector gradiente y superficies de nivel
Siguiendo el mismo razonamiento, se puede demostrar que el vector gradiente
de un campo escalar de tres variables independientes es perpendicular a sus
superficies de nivel:
Teorema
−→ ∂f ∂f ∂f Para un campo escalar w = f (x, y, z), el vector gradiente ∇w = ∂x
, ∂y , ∂z
evaluado en un punto P = (x0 , y0 , z0 ) es perpendicular a la superficie de nivel
que pasa por P.
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Vector normal a una superficie
El resultado anterior se puede utilizar para obtener el vector normal a una
superficie en R3 :
Gradiente y vector normal
Sea S : f (x, y, z) = 0 la ecuación de una superficie en R3 y P un punto
ubicado en dicha superficie. Entonces,
−
→
∇f P ⊥ S
será el vector normal a la superficie que pasa por P.
Esta derivación se basa en interpretar a la superficie S como una superficie de
nivel particular de un campo escalar (auxiliar y desconocido) w = f (x, y, z).
De esta forma puede obtenerse el plano normal a una superficie dada
cualquiera.
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