GUIA 9 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.
1
DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL [email protected]
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
Si f( x , y ) es una función de dos variables, al derivar la función parcialmente con respecto a
una de las variables x o y , se obtiene otra función de estas dos variables, la cual se puede
derivar parcialmente con respecto a x o y, con lo que se las derivadas parciales segundas de
f. siguiendo el mismo proceso se pueden obtener las terceras derivadas, y así
sucesivamente.
Ahora, si f( x , y ) es una función de las variables x , y, entonces:
f x;
fy
, representan las primeras derivadas parciales. A partir de ellas se pueden
obtener las cuatro segundas derivadas parciales, las cuales se obtienen al derivar
parcialmente
f x;
fy
con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y.
siendo estas segundas derivadas las siguientes:
f xx;
f yx
f xy;
f yy
Cuantas son las terceras derivadas parciales?
f xx
2 f
  f 
 2   
x  x 
x
lo cual nos indica que la funciones a la función se le debe
encontrar la segunda derivada parcial con respecto a la variable x.
2 f
  f 
f xy 
  
yx y  x 
lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la
derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la
variable y.
2 f
  f 
f yx 
  
xy x  y 
lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la
derivada parcial con respecto a la variable y y luego derivarla parcialmente con respecto a la
variable x.
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2
3 f
  2 f
f xxy 
 
yx 2 y  x 2



lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar
la segunda derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con
respecto a la variable y.
En el siguiente esquema se ilustra las tres primeras derivadas parciales de una función de
dos variables.
F(x,y)
Fx
Fy
Fxx
Fxxx
Fxy
Fxxy
Fxyx
Fyx
Fxyy
Fyxx
Fyy
Fyxy
Fyyx
f ( x, y )  5 x3 y 2  x 2 Seny2
EJEMPLO: DADA LA FUNCION
Fyyy
encontrar:
a) las primeras derivadas parciales.
f y  10x3 y  2 yx2Cosy 2
f x  15 x 2 y 2  2 xSeny2
b) Las segundas derivadas parciales:
f xx  30 xy 2  2Seny2
f xy  30x2 y  4 yxCosy 2
f yx  30x2 y  4xyCosy 2
f yy  10x3  2x2Cosy 2  4 y 2 x2 Seny2
TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS.
f ;f ;f ;f
x
y
xy
yx están definidas en toda una
Si f( x , y ) y sus derivadas parciales
región abierta que contenga a un punto ( a , b ) y son todas continuas en ( a , b ) , entonces
f xy a, b   f yx a, b  .
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3
ACTIVIDAD.
2
2
1. El plano x = 1 interseca el paraboloide z = x + y en una parábola. Encuentre la
pendiente de la tangente a la parábola en ( 1 , 2 , 5 ).
2
2
2
2. Encuentre la pendiente a la curva de intersección de la superficie x + y + z = 9
con el plano y = 2 en el punto ( 1 , 2 , 2 ).
3. La temperatura en cualquier punto ( x , y ) de una placa es T y T = 54 – 2/3 x2 – 4y2
. si la distancia se mide en pies, encuentre la rapidez de cambio de la temperatura con
respecto a la distancia recorrida a lo largo de los ejes x , y en el punto ( 3 , 1 ).
4. Determinar
A)
f x ; f y ; f xx ; f yy ; f xy ; f yx
y2  x2
f ( x, y ) 
xy
f ( x, y )  5 x3 y 4  x3 Seny2
E)
f ( x, y)  4x  y 2


f ( x, y )  5 x3 y 2  Sen x 2 y 2
B)
C)

para las siguientes funciones.
f ( x, y)  3 3x 2  y 2
D)
4

f ( x, y )  2 x3 y 2  y 2 Senx2
F)
5. Comprobar el teorema de las derivadas cruzadas para las siguientes funciones:
A)
f ( x, y )  2 x 3 y 2  x 3 y 5
C)
f ( x, y)  x3  y 2


B)
2
D)
f ( x, y )  3e 2 xCosy
f ( x, y )  5 x 3Cosy 2  y 2 Senx2
6. Si se dijera que existe una función f( x , y ) que tiene como primeras derivadas parciales
las funciones
fx  x  4
y
f y  3 x  y ¿usted lo creería?
7. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por
ejemplo, la ecuación diferencial parcial
2 f 2 f

0
x 2 y 2
se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones
de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las
aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.
Compruebe que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace.
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4
A)
f ( x, y )  e 2 y Cos 2 x
C)
f ( x, y )  e x Seny
B)
f ( x, y)  Ln x 2  y 2
D)
f ( x, y) 


1 y
e  e y Senx
2
DIFERENCIALES.
DEFINICION: Sea z = f ( x , y ) una función de dos variables, si
x ,
y son los
incrementos de x y de y, el incremento de z es:
z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )
Ejemplo: Si z = xy – 3 , encuentre el incremento de z para incrementos de x y de y .
Sean x , y son los incrementos de x y de y, luego el incremento de z es:
z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )
z = ( x + x )( y + y ) – 3 – ( xy – 3 )
z = xy + x y + yx + x y – 3 - xy + 3
z = x y + yx + x y
DEFINICION: Si z = f( x , y ) y
x , y son los incrementos de x y de y, entonces las
diferenciales de las variables x e y son : dx = x , dy =
define como:
dz 
z
z
dx  dy
x
y
o
y y la diferencial total de z se
dz  f x x, y dx  f y x, y dy .
3 3
Ejemplo: si z = x y + 5xy – 3x +2 , encuentre la diferencial total:
La diferencial total se define como:
dz  f x x, y dx  f y x, y dy , luego
dz  f x x, y dx  f y x, y dy
dz  3x 2 y 3  5 y  3dx  3x 3 y 2  5 x dy
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5
ACTIVIDAD
1. Encuentre la diferencial total de las siguientes funciones:
z  e x Sen( y 3 )
z  3x 2 y 3
w  2 z 3 y 3 Senx
z  xCosy  ySenx
w  x 2 yz 2  sen ( xy )
2. Evaluar f(1,2) y f( 1.05 , 2.1) para calcular z , luego aplicar la diferencial total
para aproximar z.
f ( x, y )  9  x 2  y 2
f ( x, y)  2 x  3 y
f ( x, y)  x 2  y 2
f ( x, y )  x 2 y 3
3. Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: la
longitud 3 pies/min. La anchura 2 pies/min y la altura a ½ pies/min. Hallar las razones
de cambio del volumen y del área de la superficie de esa caja cuando la longitud, la
anchura y la altura son 10, 6 y 4 pies.
4. El radio de un cilindro circular recto esta creciendo a razón de 6 cm/min , mientras que
la altura decrece a razón de 4 cm/ min. Cual es la razón de cambio del volumen
cuando el radio es 12 cm y la altura de 36.
5. La gravedad especifica de un objeto esta dado por la formula s 
A
, donde A es el
A W
numero de libras de peso del objeto en el aire y W es el numero de libras de peso del
objeto en el agua. Si el peso del objeto en el aire es de 20 libras con un posible error
del 0,01 libras y el peso en el agua es 12 libras con un posible error del 0,02 libras.
Encontrar el máximo error posible al calcular S a parir de las medidas.
6. Dos objetos viajan siguiendo trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones
parametricas:
x1  4Cost
y1  2Sent
;
x2  2Sen2t
, a que ritmo varia la distancia entre los dos objetos cuando
y2  3Cos2t
t  .
DEFINICION: Una función f dada por z = f( x , y ) es diferenciable en el punto ( x0 , y0 ) si
fx ( x0 , y0 ) y fy ( x0 , y0 ) existen y z se puede expresar en la forma
z = fx ( x0 , y0 ) x + fy ( x0 , y0 )y + 1 x + 2 y
donde ambos 1 y 2 tienden a cero cuando (x , y ) tiendan a ( 0 , 0 ).
Ejemplo: probar que la función z = xy+3x+5y es diferenciable en el punto ( 1 , 2 )
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6
dz  f  x  x, y  y   f  x, y 
dz   x  x  y  y   3 x  x   5 y  y   xy  3 x  5 y
dz  xy  xy  yx  xy  3 x  3x  5 y  5y  xy  3 x  5 y
dz  xy  yx  xy  3x  5y
dz   y  3x   x  5y  xy
dz  2  3x  1  5y  xy
dz  5x  6y  xy
Llamado 1 = x y 2 = 0 , se tiene:
dz  f x 1,2 x  f y 1,2 y   1y   2 x
DEFINICION: La linealización de una función f ( x , y ) en un punto ( x0 , y0 ) donde f es
diferenciable es la función:
L( x, y )  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0 
La aproximación
f x, y   L( x, y)
es la aproximación lineal estándar de f en ( x0 , y0 ).
Ejemplo: encuentre la aproximación lineal de
f x, y   x 2  xy  y 2  3
en el
punto ( 2 , 3 ) .
La
linealización
de
una
función
de
dos
variables
define
como:
L( x, y )  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  que
para el
punto indicado es:
L( x, y )  f 2,3  f x 2,3x  2  f y 2,3 y  3
Pero:
f 2,3  2 2  2 * 3  32  3  10
f x 2,3 2 x  y 2,3   2 * 2  3  1
f y 2,3   x  2 y 2,3   2  2 * 3  4
Con lo cual la linealización nos queda:
L( x, y )  10  1 x  2   4 y  3
L  x, y   x  4 y  4
EL ERROR EN LA APROXIMACION LINEAL ESTANDAR:
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se
7
Si f tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en todo un conjunto abierto que
contenga un rectángulo R con centro en ( x0 , y0 ), y si M es cualquier cota superior para los
valores de
f xx;
f xy; , f yy
,
sobre R, entonces el error E( x , y ) en el que se
incurre al reemplazar f(x,y) sobre R por su linealización
L( x, y )  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  satisf
ace la desigualdad:
E ( x, y ) 
1
2
M  x  x0  y  y0 
2
EJEMPLO: La linealización de la función
punto ( 2 , 3 ) es
f x, y   x 2  xy  y 2  3
en el
Lx, y   x  4 y  4 , encuentre una cota superior para el errar en la
f x, y   L( x, y)
aproximación
sobre
el
rectángulo
R : x  2  0,1 ; y  3  0,1 .
Para encontrar la cota , buscamos las derivadas parciales:
f x  2x  y : f y   x  2 y
f xx  2;
Con lo que:
f xy  1;
f yy  2
f xx  2  2;
f xy   1  1;
f yy  2  2 ,
ellas es 2, por lo que podemos escoger M = 2 .
Con ( x0 , y0 ) = ( 2 , 3 ), sabemos que ,en toda R:
1
M  x  x0  y  y 0
2
1
2
E (2,3)  2 x  2  y  3 
2
E ( x, y ) 

2
E (2,3)  1 x  2  y  3 
2
E (2,3)  0,1  0,1
2
E (2,3)  0,04
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la mayor de
8
En tanto que el punto ( x , y ) permanezca dentro de la regio R, la aproximación
f x, y   L( x, y)
tendrá un error de no mas de 0,04.
REGLA DE LA CADENA: Si w = f ( x , y , z ) es diferenciable y
x , y , z son funciones
diferenciables de t, entonces w es una función diferenciable de t y:
dw f dx f dy f dz



dt x dt y dt z dt
Si w = f ( x , y , z ) y
x = g( r , s ) , y = h( r , s ) , z = m( r , s ) son funciones
diferenciables de t, entonces w tiene derivadas parciales respecto a r y s , dadas por las
formulas:
w w x w y w z



r x r y r z r
w w x w y w z



s x s y s z s
DERIVADAS DIRECCIONALES, VECTORES GRADIENTE.
Suponga que deseamos calcular la tasa de
cambio de
en el punto ( x0 , y0 ) en la
dirección de un vector unitario arbitrario

u  a, b  .
superficie
Para esto consideramos
la
con ecuación z = f ( x , y ) (la
gráfica de f ) y sea z0 = f ( x0 , y0 ). Entonces el
punto P= ( x0 , y0 , z0 ) está sobre
. El plano
vertical que pasa por el punto
en la

dirección del vector
en la curva
u interseca a la superficie
. La pendiente de la recta tangente
a la curva

de cambio de
Z en la dirección de u .
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en el punto
es la tasa
9
Si Q( x , y , z ) es otro punto sobre la curva , y
si
y Q/ son las proyecciones sobre el plano
de los vectores
y Q, entonces el vector
es paralelo al vector

/ /
, y por consiguiente

P Q  h u  (ha, hb)
para algún escalar
. Así pues,
x  x0  ha;
y  y 0  hb
y la razón de cambio está dada por
f x0  ha, y 0  hb  f x, y 
z z  z 0


h
h
h
y al tomar el límite cunado
obtenemos la tasa de cambio instantánea de
respecto a la distancia) en la dirección de
dirección de .
, la cual se llama derivada direccional de
(con
en la
CONCEPTO: Sea f: D  R2  R una función escalar y sean P = ( x0 , y0 )  D y
un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en P = ( x0 , y0 )en la dirección del
vector
, está dada por :
Ejemplo: encuentre la derivada de f(x , y ) = x2 + xy en P( 1 , 2 ) en la dirección del vector
unitario
 1   1 
u   i  
j.
 1  2 
La derivada direccional se define como:
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10
f x0  ha, y0  hb  f x0 , y0 
h0
h
1
1 

f 1 
h,2 
h   f 1.2
2
2

 Lim 
h0
h
Du , P0  Lim
2

1  
1 
1 

h   1 
h  2 
h   12  1 * 2
1 
2  
2 
2 
 Lim 
h0
h
5h
 h2
5
 Lim 2

h0
h
2
Si f es una función

diferenciable en x e y, entonces la derivada direccional de f en la
dirección del vector unitario u = Cos i + Sen j es:
Du f  x, y   f x ( x, y )Cos  f y ( x, y ) Sen
Ejemplo: encuentre la derivada direccional de
f x, y   x 2  xy  y 2  3
en la
dirección del vector U = < 3 , 4 >.
Las derivadas parciales de la función son:
f x  x, y   2 x  y
El
vector
y
unitaria
f y  x, y    x  2 y
en
la
dirección
U
 3,4 
 3,4 
3 4
u


 , 
2
2
U
5
5 5
3 4
3 4
u  i j
5 5
Con lo que la derivada direccional es:
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de
U
es:
11
Du f  x, y   f x ( x, y )Cos  f y ( x, y ) Sen
3
4
 2 x  y    x  2 y 
5
5
6
3
4
8
 x y x y
5
5
5
5
2
 x y
5
ACTIVIDAD:
1. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO INDICADO Y EN LA
DIRECCION DEL VECTOR DADO.
1
3
f ( x, y )  3 x  4 xy  5 y; P(1,2); v  i 
j
2
2
f ( x, y )  x 2  y 2  5 y; P (4,3); v 
2
2
i
j
2
2
f ( x, y, z)  3xy  4 zy  5xz; P(1,1,1);v  2i  j  k
f ( x, y)  xyz; P(4,1,1);v  i  2 j  k
2. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO P Y EN LA DIRECCION
DE Q.
f ( x, y )  x 2  4 y 2 ; P(3,1); Q  (1,1)

f ( x, y)  Cos( x 2  4 y 2 ); P(0,  );Q  ( ,0)
2
f ( x, y, z )  Ln( x  y  z ); P(1,0,0);Q  (4,3,1)
f ( x, y, z )  xye z ; P(2,4,0); Q  (0,0,0)
DEFINICION: El vector gradiente ( gradiente ) de f( x , y ) en un punto P 0 ( x0 , y0 ) es el
vector definido como:
f 
f
f
i
j
x
y
obtenido al evaluar las derivadas parciales de
f en el punto P0.
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12
PROPIEDADES DEL GRADIENTE.
Sea f una función diferenciable en el punto ( x , y ).
1. Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección
del vector unitario u es :
Du f ( x, y )  f ( x, y )  u
2. Si f ( x, y)  0 entonces la derivada direccional de f en la dirección de cualquier
vector unitario es igual a cero.
3. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f ( x, y ) , y el valor máximo
de
Du f ( x, y )
es f ( x, y) .
4. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por
de
Du f ( x, y )
es
 f ( x, y)
 f ( x, y) , el valor mínimo
.
DEFINICION DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL:
Sea F diferenciable en el punto P= ( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0,
con
 f ( x0 , y 0 , z 0 )  0 .
1. El plano que pasa por P y es normal a
 f ( x0 , y 0 , z 0 )  0
se conoce como el
plano tangente a la superficie S en P.
2. La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta Normal a la
superficie S en P.
ECUACION DEL PLANO TANGENTE:
Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del plano tangente a la superficie
S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) es:
f ( x0 , y0 , z0 )  f x ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  f z ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0
ECUACION DE LA RECTA NORMAL:
Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) las ecuaciones simétricas de La recta normal
a la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) son:
Como la recta tiene la dirección del vector gradiente
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13
f ( x, y, z )  f x ( x, y, z )i  f y ( x, y, z ) j  f z ( x, y, z )k
, se tiene las derivadas
parciales evaluadas en el punto ( x0 , y0 , z0 ) corresponden a los números directores de la
recta. Con lo que las ecuaciones buscadas son:
( x  x0 )
( y  y0 )
( z  z0 )


f x ( x0 , y0 , z0 ) f y ( x0 , y0 , z0 ) f z ( x0 , y0 , z0 )
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