40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y . Determinar

40
Derivadas Parciales (parte 2)
Ejercicio:
Si
donde
y
. Determinar
Solución:
Consideraremos ahora la situación en la que
, pero cada una de las
variables e es función de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema
de determinar
TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean
funciones que
admiten primeras derivadas parciales en
y sea
diferenciable en
. Entonces
tiene primeras derivadas parciales dadas
por :
i)
ii)
EJEMPLO
Si
, en donde
y
Usando la Regla de la Cadena , se tiene :
determinar
41
z
s
s
s
Análogamente :
Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del
OBSERVACION
árbol
Ejercicio
Demuestre que
si
(
z 2
r)
+
1
(
r2
z
con
e
Solución
Entonces
¡ Justifique !
La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de
variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada
parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización.
TEOREMA (Regla
de
la
Cadena Caso General) Supóngase que
es una función diferenciable y que cada una
de las variables
, ... ,
es una función de variables ,
......,
de tal manera que todas las derivadas parciales
existen (
de
cada
,
,.....
, ,....
y
y
. Entonces
es función
para
42
EJEMPLO
Escribir la regla de la cadena para el caso en que
y
Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la
correspondiente derivada parcial. En este caso
Entonces
EJEMPLO
Escribir la regla de la cadena para el caso en que
)
y
En este caso el diagrama de árbol está dado por
La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada
parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de
un argumento. Por ejemplo :
Sea
probar que
43
Aquí el diagrama de árbol corresponde a :
Lo importante de distinguir aquí es que
puede ser cualquier función
diferenciable :
etc
Se probará que
independiente de la selección de , se mantiene el resultado
En efecto :
2
Por lo tanto :
El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta
matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales
de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene
aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas
parciales.
EJEMPLO 4.8
Si
demostrar que
Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables
y que
puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer
explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución,
esto es :
, donde
,
,
Por consiguiente el diagrama de árbol que queda
44
Entonces :
Análogamente :
(
1)
Finalmente :
EJEMPLO
La ecuación diferencial parcial
constante
es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios
de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y . Demostrar que
cualquier función diferenciable de la forma
satisface la ecuación de la
onda.
Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos
diagrama de árbol queda
de modo que el
45
Entonces :
En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones
compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado
Recordemos que
pero
, tomándose
como una función de
y .
Entonces :
En este caso el diagrama de árbol queda :
Entonces
Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente
reemplazando
por
en la expresión
obtenida anteriormente. En
efecto
Luego :
Para calcular
expresión
recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar
Entonces
por
en la
46
Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que
2
Se propone al alumno verificar que
de la onda , de modo que
también es solución de la ecuación
sigue siendo solución
DERIVACION IMPLICITA
Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones
( ) definidas implícitamente por la ecuación
, ahora es posible describir
más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto,
definamos la función compuesta por
con
entonces
De la definición de función implícita, se tiene que
de modo que
. Además como
entonces
para todo
Por lo tanto :
Si
entonces
Este análisis se puede resumir en
TEOREMA
Si una ecuación
función derivable ( ) tal que
define implícitamente a una
, entonces
47
EJEMPLO
Encontrar
suponiendo que
satisface la ecuación
Supongamos
, entonces
Aplicando el Teorema se tiene :
En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de
la forma
que define implícitamente a una función, por ejemplo,
. Esto significa que
para todo (
)
. Si es
diferenciable y las derivadas parciales
y
existen entonces es posible usar la regla
de la cadena para determinar las derivadas parciales
y
, sin que sea necesario
despejar de la ecuación
TEOREMA
EJEMPLO
. El siguiente teorema garantiza tal situación :
Si una ecuación
función diferenciable
de entonces :
Encontrar
y
define implícitamente a una
tal que
en el dominio
suponiendo que
Supongamos
, entonces
Aplicando el Teorema se tiene :
y
DERIVADA DIRECCIONAL
satisface la ecuación
48
Recuérdese que si
como :
entonces las derivadas parciales
y
, se definen
lim
lim
y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados
e , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j . Interesa ahora
estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto
de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente.
Usando la notación p
y algebra de vectores se pueden escribir las
derivadas parciales anteriores del siguiente modo
p
lim
p
i
p
p
lim
p
j
p
Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores i y j por un
vector unitario arbitrario u de dirección arbitraria . Se tiene entonces.
DEFINICION 6.1
Sea
una función y u un vector unitario
arbitrario contenido en
. Se llama DERIVADA
DIRECCIONAL de en p
en la dirección de u , que
se denota por
p
,
al
límite
u
p
u
p
p
lim
si es que este límite existe
En la Figura
se presenta la interpretación geométrica de
p
p
49
Notar que el vector u determina una recta en el plano
que pasa por ( , ). El
plano que contiene a
y es perpendicular al plano
intersecta a la
superficie
en una curva . Entonces la pendiente de la tangente a
en el
punto (
coincide con
.
OBSERVACION
p
j p
i) Se confirma facilmente que
i
p
p
y que
ii La definición se puede generalizar en forma directa para una
función de 3 o más variables.
El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante
el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general.
TEOREMA Sea
una función con derivadas parciales continuas en una vecindad
de p . Entonces
tiene una derivada direccional en p en la
dirección de un vector unitario u dada por
p
p u
El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables.
En efecto
a) Si
entonces
p
mientras que si la dirección de u está
dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje
(Ver Figura
6.2) entonces u
es un vector unitario en la dirección de (también es
posible obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo
tanto
50
EJEMPLO Dado
hallar la derivada direccional de
en
¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)?
Calculamos primero
Enseguida calculamos el vector unitario
u
Por lo tanto
u
En particular si (
)
u
(2,
) , se tiene :
u
EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de
en la dirección del vector a i j
En este caso :
,
en el punto ( , )
entonces
Además el vector unitario u en la dirección de a está dado por u
u
a
a
, esto es :
i j
Por lo tanto :
1,4
u
,
b) Si
entonces
p
mientras que si la dirección de u
está dada por la de una recta
cuyos ángulos directores son
y
entonces el
vector unitario u en la dirección de
está dado por u
analogamente al caso
se puede obtener el vector unitario u dividiendo por la
correspondiente norma) Por lo tanto
u
EJEMPLO Dada la función
direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a
hallar la derivada
(5,3,3)
51
En este caso , como
se tiene que
,
Entonces
Por otra parte la dirección
u
está dada por a
luego
a
a
Por lo tanto :
u
(1
En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función
aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente
Teorema proporciona esta información :
TEOREMA
Sea una función diferenciable en un punto p entonces
i) El valor máximo de la derivada direccional
en p es
p
el valor mínimo es
p
ii) La razón de cambio máxima de
en p se alcanza en la
dirección de
p ( la tasa mínima en
p
EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto (
) del espacio
tridimensional está dada por
en donde se mide
en °C y
en metros ¿En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en
el punto (1,1, 2)? ¿Cuál es el valor de la máxima razón de aumento?
Como
entonces
,
52
Por lo tanto, la temperatura
gradiente
(1,1, 2)
(
.
aumenta más rapidamente en la dirección del vector
, lo que equivale a la dirección del vector
Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por :
MAXIMOS Y MÍNIMOS
TEOREMA
(CRITERIO
DE
LAS
SEGUNDAS
DERIVADAS
PARCIALES) Supóngase que
(
) tiene segundas
derivadas parciales continuas en una vecindad de ( , ) y que
(
)
Sea
i) Si
> y
relativo
ii) Si
> y
relativo
iii) Si
<
iv) Si
EJEMPLO
(
)
Determinar
los
(
,
)<
(
,
) es un valor máximo
(
,
)>
(
,
) es un valor mínimo
( , ) es un punto de silla de
el criterio no proporciona información
valores
extremos
relativos
Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto
(
)
(
O sea :
(
)
de
la
función
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De la segunda ecuación
o
Reemplazando en la primera se tiene :
(
)
o
+
o
Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son :
(
), (
, (
) y (
)
Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de
,
y
(
). En efecto :
,
,
Luego :
Por lo tanto :
Para ( ) :
relativo
(
)
>
,
(
)
Para ( ) :
relativo.
(
)
>
,
(
)
Para (
(
)
Para (
) :
) :
(
<
)
(
<
<
>
(
) es un valor máximo
(
) es un valor mínimo
) es un punto de silla
(
) es un punto de silla
METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En el ejemplo anterior se resolvió el problema de maximizar la función de distancia
desde el plano
al origen. En los problemas de
aplicación de máximos y mínimos para funciones de una variable también aparecieron
situaciones similares, esto es, optimizar una función (función objetivo) sujeta a una
condición (ecuación de restricción ).
En lo sucesivo centraremos nuestra atención en la resolución de problemas de valores
extremos restringidos, esto es, determinar el valor extremo de una función sujeta a cierta
restricción . Es conveniente considerar que este tipo de problemas fue manejado
anteriormente despejando la variable adecuada de la ecuación de restricción y
reemplazándola en la función a optimizar , esta situación es aplicable para funciones de
54
una o dos variables , sin embargo, existe un método más práctico, conocido como el
método de los Multiplicadores de Lagrange, cuya fortaleza radica en el hecho que se
puede aplicar a funciones de dos, tres o más variables sujetas a una o más condiciones
restrictivas .
Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de
Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver
es :
Determinar los valores extremos de la función
(
)
(
) sujeto a la condición
El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico
para determinar los puntos
( , ) y
( , ). En efecto como en estos
puntos la curva de nivel de y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una
recta tangente común, entonces las curvas también tienen una recta normal común. Pero
( ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de que pasa por
. Por otra parte
( ) es siempre normal a . (Debiera ser claro que este análisis también es válido
para .)
Por lo tanto, los vectores
(
)
y
(
) y
son paralelos en
(
)
(
y
, esto es :
) para algún
Aunque es posible desarrollar una demostración formal solamente entregaremos el
enfoque intuitivo anterior como fundamento de este método.
55
TEOREMA
(Método de los multiplicadores de Lagrange) Para maximizar o
minimizar (p) sujeta a la restricción (p)
debe resolver el
sistema de ecuaciones
(p)
(p)
(p
Cada punto p es un punto crítico estacionario del problema de
valor extremo restringido y el correspondiente
se llama
Multiplicador de Lagrange.
EJEMPLO Encontrar los valores extremos de la función
restringidos a la circunferencia
En este caso la ecuación de restricción es (
Calculamos entonces
efecto :
( ) y
(
(
)
)
( ) , siendo p
(p)
(p)
(
(
) el punto crítico a precisar. En
, )
, )
Formamos el sistema de ecuaciones contemplado en el Teorema
(p)
(p)
(p)
(
, )
(
,
)
Se obtiene entonces
i)
ii)
iii)
De
Si
i) (
)
o
entonces de
iii) resulta
Si
entonces
+
entonces de
ii) resulta
1/2
y reemplazando este valor en iii) se obtiene
Por lo tanto los puntos críticos son
(
+
(
),
(
),
y
56
Evaluando
(
)
en estos cuatro puntos se tiene :
,
(
)
,
(
)
5/4 ,
Por lo tanto el valor máximo de en los puntos de la circunferencia
(
) 5/4 y el valor mínimo es (
)
)
5/4
es