EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS PARCIALES (Hoja 2) 1) Hallar

EJERCICIOS SOBRE DERIVADAS PARCIALES (Hoja 2)
1) Hallar las derivadas parciales (primeras y segundas) de las funciones:
f ( x, y )  x 4  y 4  4 x 2 y 2 ,
a)
d)
f ( x, y ) 
1
2
x  y2
b)
f ( x, y )  x sin( x  y ),
e)
x2
f ( x, y )  tan
y
c)
f ( x, y )  ln( x 2  y 2 ),
f)
f ( x, y )  x sin y
2) Hallar las derivadas (respecto x y respecto y) para la función compuesta z=f(u(x,y),
v(x,y)) en los siguientes casos:
a) z  u .v, u  e x  y , v  sin( x  y ).
b) z  u 2  v 2 , u  x cos y , v  x sin y.
c)
z  2 u .v, x  u  v 3 , y  u 2  v.
3) Hallar los máximos y mínimos locales de las funciones siguientes:
1 1

x y
a)
z ( x, y )  x 3  y 3  3xy ,
d)
z ( x, y )  x 2  xy  y 2 
b)
f ( x, y )  x 3 y 2 (2  x  y ),
e)
f ( x, y )  sin x  sin y  sin( x  y )
c)
f ( x, y )  xy ln( x 2  y 2 ),
4) Demostrar que la función z(x, y) = ln (x2 + xy + y2) satisface a la ecuación:
z
z
y
2
x
y
5) Demostrar que cualquier función de la forma z(x, y) = f(x2+y2) satisface la ecuación:
x
y
z
z
x
0
x
y
5) Demostrar que toda función de la forma z(x, y) = f(u,v) con u = x + a.t, v = y + b.t
(siendo a, b constantes) satisface la ecuación:
z
z
z
 a b
t
x
y