Vector Gradiente y Derivada Direccional

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Unidad 4 : DERIVADAS PARCIALES
Tema 4.5 : Vector Gradiente y Derivada Direccional
(Estudiar la Sección 14.6 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 16)
Definición del Vector Gradiente de una función de dos variables
Si
z = f ( x, y ) → ∇ f ( x , y ) =
∂f ˆ ∂f ˆ
i+
j = fx , f y
∂x
∂y
Definición del Vector Gradiente de una función de tres variables
Si
w = f ( x , y , z ) → ∇f ( x , y , z ) =
∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ
i+
j + k = fx , f y , fz
∂x
∂y
∂z
Ejemplo
Calcule ∇f ( x, y ) y ∇f (1,2 ) si f ( x, y ) = x 3 − 3 xy + 4 y 2
∂f
∂f
= 3x 2 − 3 y ;
= −3 x + 8 y ; ∇f ( x, y ) = (3 x 2 − 3 y )iˆ + (− 3 x + 8 y ) ˆj
∂x
∂y
f x (1,2 ) = 3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = −3 ; f y (1,2 ) = −3 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 = 13 ; ∇f (1,2 ) = −3iˆ + 13 ˆj
Definición de Derivada Direccional
 ∂f
∂f ˆ ∂f ˆ  ∂f
iˆ ⋅ ∇f = iˆ ⋅  iˆ +
j + k  =
razón de cambio en dirección iˆ
∂y
∂z  ∂x
 ∂x
ˆj ⋅ ∇f = ˆj ⋅  ∂f iˆ + ∂f ˆj + ∂f kˆ  = ∂f razón de cambio en dirección ˆj
 ∂x
∂y
∂z  ∂y

 ∂f
∂f
kˆ ⋅ ∇f = kˆ ⋅  iˆ +
∂y
 ∂x
 ∂f
∂f
uˆ ⋅ ∇f = uˆ ⋅  iˆ +
∂y
 ∂x
ˆj + ∂f kˆ  = ∂f
∂z  ∂z
razón de cambio en dirección kˆ
ˆj + ∂f kˆ  = Duˆ f ( x, y, z ) razón de cambio en dirección uˆ
∂z 
Derivada Direccional
Duˆ f ( x, y, z ) ≡ ∇f ⋅ uˆ
es la razón de cambio de f en dirección del vector unitario u
62
Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en una dirección a
30° con el eje X, en el punto especificado:
f ( x, y ) = x 3 − 3 xy + 4 y 2
; P(1,2 ) ; Duˆ f (1,2) = ?
∇f ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y , − 3 x + 8 y
; ∇f (1,2 ) = − 3 , 13
uˆ = r cosθ , rsenθ = cos 30 , sen30 =
Duˆ f (1,2 ) = ∇f (1,2 ) ⋅ uˆ = − 3 , 13 ⋅
3 1
,
2 2
3 1
− 3 3 13 13 − 3 3
,
=
+ =
2 2
2
2
2
Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en la dirección del
vector dado, en el punto especificado:
r
f ( x, y ) = x 2 y 3 − 4 y ; P(2,−1) ; v = 2iˆ + 5 ˆj , Duˆ f (2,−1) = ?
∇f ( x, y ) = 2 xy 3 , 3 x 2 y 2 − 4 ; ∇f (2,−1) = − 4 , 8
r
2,5
v
2
5
uˆ = r =
=
,
v
4 + 25
29
29
Duˆ f (2,−1) = ∇f (2,−1) ⋅ uˆ = − 4 , 8 ⋅
2
5
−8
40
32
,
=
+
=
29
29
29
29
29
Ejemplo: calcule la razón de cambio de la función dada, en la dirección del
vector dado, en el punto especificado:
r
x
; P(4,1,1, ) ; v = 1,2,3
y+z
−x
−4
−x
−4
1
1
=
=
=
−
=
=
= −1
fx =
; fy =
1
;
f
z
y+z 2
( y + z )2 4
( y + z )2 4
r
1,2,3
1
v
1
2
3
∇f = ,−1,−1 ; vˆ = r =
;
,
,
2
v
1+ 4 + 9
14 14 14
f ( x, y , z ) =
Duˆ f = ∇f ⋅ vˆ =
1
,−1,−1 ⋅
2
1
2
3
1
2
3
9
,
,
=
−
−
=−
14 14 14
2 14
14
14
2 14
63
Magnitud y Dirección de la Máxima Razón de Cambio
La razón de cambio de una función en una dirección definida está dada por la
derivada direccional: Duˆ f = ∇f ⋅ uˆ = ∇f ⋅ uˆ cosθ = ∇f cosθ , si variamos el
ángulo θ para detectar el valor máximo de la derivada direccional encontramos que
para θ = 0° obtenemos el valor máximo de cosθ = 1 , por lo tanto:
1) El valor máximo de la derivada direccional es igual a: ∇f ,
2) Este valor máximo está en la dirección del vector: ∇f
Ejemplo. Encuentre la máxima razón de cambio de f en el punto dado y la
dirección en la que ésta se verifica.
f ( x, y , z ) = x 2 y 3 z 4
(1,1,1)
;
∇f ( x, y, z ) = 2 xy 3 z 4 , 3 x 2 y 2 z 4 , 4 x 2 y 3 z 3
; ∇f (1,1,1) = 2,3,4
∇f (1,1,1) = 4 + 9 + 16 = 29
la máxima razón de cambio es 29 y ocurre en la dirección 2,3,4
Ejemplo. La temperatura en un punto ( x, y , z ) está dada por:
T ( x, y, z ) = 200e − x
2
− 3 y 2 −9 z 2
donde T se mide en °C y x,y,z en metros. (a) Encuentre
la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2,−1,2 ) en dirección hacia el
punto Q(3,−3,3) . (b) ¿En que dirección aumenta más rápido la temperatura en P?
(c) Encuentre la mayor razón de incremento en P.
∇T ( x, y, z ) = 200e − x
2
−3 y 2 −9 z 2
− 2 x,−6 y,−18 z
; PQ = 1,−2,1 ; uˆ =
∇T (2,−1,2 ) = 200e −4−3−36 − 4,6,−36 = 400e −43 − 2,3,−18 ; uˆ =
(a ) Duˆ f = ∇T ⋅ uˆ = 400e −43 − 2,3,−18 ⋅
= 400e
− 43
 − 26  − 10,400e

=
6
 6 
1,−2,1
6
1 −2 1
,
,
6 6 6
1 −2 1
 − 2 − 6 − 18 
,
,
= 400e −43 

6 6 6
6


− 43
°C / m
(b )
− 2,3,−18
(c )
∇T (2,−1,2 ) = 400e −43 4 + 9 + 324 = 400 × 337 × e −43 °C / m
64
El Vector Gradiente y las Superficies de Nivel.
Si tenemos una familia de superficies de nivel f ( x, y , z ) = k , y el vector de
posición rˆ(t ) = x(t ), y (t ), z (t ) describe una curva sobre esa superficie, tenemos
que:
∂f
∂f
∂f
dx + dy + dz = f x , f y , f z ⋅ dx, dy, dz ; df = ∇f ⋅ drˆ
∂x
∂y
∂z
r
Sobre la familia de curvas de nivel df = 0 , y como el vector dr es tangente a la
r
curva, tenemos que ∇f ⋅ dr = 0 , por lo tanto el vector gradiente es perpendicular
a las superficies de nivel f ( x, y , z ) = k
df =
Por esta razón el vector gradiente nos sirve para construir la ecuación del plano
tangente y de la recta normal.
Si aplicamos este mismo argumento a una familia de curvas de nivel
f ( x, y ) = k , obtenemos que vector gradiente es perpendicular a las curvas de
nivel f ( x, y ) = k
Ejemplo: Halle las ecuaciones de (a) el plano tangente y (b) la recta normal a la
superficie dada en el punto especificado.
x 2 − 2 y 2 − 3 z 2 + xyz = 4 ; P(3,−2,−1)
∇f ( x, y, z ) = 2 x + yz ,−4 y + xz,−6 z + xy
∇f (3,−2,−1) = 8,5,0
; ∇f (3,−2,−1) = 6 + 2,8 − 3,6 − 6
; 8( x − 3) + 5( y + 2 ) + 0( z + 1) = 0
la ecuación del plano tan gente es 8 x + 5 y = 14
las ecuaciones de la recta normal son
x = 3 + 8t ;
y = −2 + 5t ; z = −1
65
Propiedades Importantes del Vector Gradiente
1) ∇f = f x , f y , f z
2 ) Duˆ f = ∇f ⋅ uˆ
3) ∇f = valor máximo de Duˆ f
4 ) ∇f es la dirección del valor máximo de Duˆ f
r
5) df = ∇f ⋅ dr
6 ) ∇f ( x, y ) es perpendicular a las curvas de nivel f ( x, y ) = k
7 ) ∇f ( x, y, z ) es perpendicular a las sup erficies de nivel f ( x, y, x ) = k
8) ∇f nos ayuda a encontrar el plano tan gente y la recta normal
9 ) los procesos naturales ocurren en la dirección de ∇f
r
r
r
10) Divergencia del campo vectorial F = div F = ∇ ⋅ F
r
r
r
11) Rotacional del campo vectorial F = rot F = ∇ × F
Para la próxima clase estudiar las secciones
14.6 Vector Gradiente y Derivada Direccional
14.7 Valores Máximos y Mínimos
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 16 Derivada Direccional
66
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 16 : Derivada Direccional
(Sección 14.6 del Stewart 5ª Edición)
Encuentre la derivada direccional de f en el punto dado, en la dirección indicada por el
ángulo θ .
1
f ( x, y ) = 5 x − 4 y
,
(4 , 1)
, θ=
−π
6
a) Encuentre el gradiente de f, b) evalúe el gradiente en el punto P, c) encuentre la razón
de cambio de f en P, en la dirección del vector û
2
f ( x, y ) = 5 xy 2 − 4 x 3 y , P(1 , 2 ) , uˆ =
3
f ( x, y, z ) = xy 2 z 3
, P (1 , − 2 , 1) , uˆ =
5 12
,
13 13
1 −1 1
,
,
3 3 3
r
Halle la derivada de la función en el punto dado en la dirección del vector v
4
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2
5
 y
g ( x, y, z ) = x tan −1   ,
z
,
(1,2,−2)
(1,2,−2)
r
, v = − 6,6,−3
r
, v = iˆ + ˆj − kˆ
Encuentre la máxima razón de cambio de f en el punto dado y la dirección en la que ésta
acontece.
6
f ( x, y ) = sen( xy ) ,
7
f ( x, y , z ) = x +
y
z
,
(1,0)
(4,3,−1)
Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por:
V ( x, y, z ) = 5 x 2 − 3 xy + xyz . (a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el
8
r
punto P (3,4,5) , en la dirección del vector v = iˆ + ˆj − kˆ . (b) ¿En que dirección
cambia V más rápidamente en P? (c)¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?
67
Halle las ecuaciones de (a) el plano tangente y (b) la recta normal a la superficie dada en
el punto especificado.
9
x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 ; P(4,−1,1)
10
x 2 + y 2 − z 2 − 2 xy + 4 xz = 4 ; P (1,0,1)
Respuestas
R1 :
5
1
3+
16
4
R2 :
(a ) ∇f (x, y ) =
R3 :
(a ) ∇f (x, y, z ) =
4
9
−π
R5 :
4 3
R6 : 1 ;
5 y 2 − 12 x 2 y , 10 xy − 4 x 3
y 2 z 3 , 2 xyz 3 , 3 xy 2 z 2
,
,
(b )
(b )
4 , − 4 , 12
R4 :
0 ,1
11 ; 1 , − 1 , − 3
32
R8 : (a )
; (b ) 38 , 6 , 12
3
R7 :
R9 :
(a ) 4 x − 2 y + 3z = 21
;
;
(c ) 2
406
(b ) x − 4 = y + 1 = z − 1
8
−4
6
x −1
R10 : (a ) 3 x − y + z = 4 ; (b )
= −y = z −1
3
− 4 , 16
,
(c ) 172
13
20
, (c )
3