Entre dos reales existe un racional (27.11.2012) Entre dos reales

Entre dos reales existe un racional (27.11.2012)
Entonces, como todo racional es real, entre cada uno de los dos reales y el racional
(que también es real), existen dos nuevos números racionales. Reiterando el razonamiento, concluimos que entre dos reales existen infinitos racionales. Esta propiedad
puede expresarse también diciendo que Q es denso en R (J. Burgos, pg. 58).
D: Sean x, y ∈ R, x < y.
• Como x < y =⇒ y−x > 0. Tomamos
1
. Como el conjunto N no está acotado,
y−x
podemos asegurar que
∃n ∈ N / n >
1
1
; es decir, y − x > .
y−x
| {z n}
(1)
• Sea p ∈ Z la parte entera de nx. Entonces
p ≤ nx < p + 1 =⇒
p
p+1
≤x y x<
.
|n {z }
| {z n }
(2)
(3)
• Aplicando las relaciones (1), (2) y (3) se cumple
1
p+1
p
y = x + (y − x) |{z}
>
+ =
> x
n n
n |{z}
(1) y (2)
(3)
Es decir,
x<
p+1
p+1
< y, siendo
un número racional.
n
n
Entre dos reales existe un irracional
Entonces, como todo irracional es real, entre cada uno de los dos reales y el irracional (que también es real), existen dos nuevos números irracionales. Reiterando el
razonamiento, concluimos que entre dos reales existen infinitos irracionales. Esta propiedad puede expresarse también diciendo que R \ Q es denso en R (J. Burgos,
pg. 58).
D: Sean x, y ∈ R, x < y.
• Por las propiedades de la relación de orden se cumplirá
y
x
√ <√ .
2
2
• Por la demostración anterior
x
y
∃r ∈ Q / √ < r < √
2
2
de donde
x<
√
√
2 r < y, siendo 2 r un número irracional.