Números irracionales - Universidad del Cauca

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS GENERALES
Ejercicios
Números irracionales
√ √
1. Recorderis. Ejemplos básicos de números irracionales son 2, 3,  y . (Las demostraciones de que estos números son irracionales no son sencillas. Para entenderlas
es necesario conocer previamente algunos resultados sobre divisibilidad y cálculo diferencial e integral.) Además, los siguientes son algunos resultados que sirven para
encontrar nuevos números racionales:
a) Si  es racional y  es irracional entonces  +  es irracional
b) Si  es racional y  es irracional entonces  −  y  −  son irracionales
c) Si  es racional,  6= 0, y  es irracional entonces  es irracional
d) Si  es racional,  6= 0, y  es irracional entonces  y  son irracionales
2. Mediante un ejemplo, demuestre que la diferencia entre dos irracionales puede ser
racional.
3. Mediante un ejemplo, demuestre que la diferencia entre dos irracionales puede ser
irracional
4. Mediante un contraejemplo, demuestre que la afirmación:

Si  y  son irracionales entonces es irracional

es falsa.
5. Explique por qué los números siguientes son irracionales:
√
a)
3+3
b)
31

29
c)
−
e)
√
(1 . 4142) 2
d)
f)
11 − 
3 . 1416

√
3
1 . 7321
Ejercicios
6. Explique por qué los números siguientes son irracionales:
√
8
b)
a)
√
12
c)
√
√
√
2· 3· 2
d)
1
√
18
e)
√ √
2 2
√ √
 3 3
f)
p
2 + (52 )
7. Otros ejemplos de números irracionales. Es posible demostrar el siguiente enunciado (no intente demostrarlo, no es fácil, simplemente tómelo como información):
√
 es irracional si y solo si  no es un cuadrado perfecto
con el cual podemos obtener nuevos ejemplos de números irracionales como
√
√
√
√
√
5
6
7
8
10
etc.
8. Mediante un ejemplo, demuestre que el producto de dos irracionales puede ser irracional.
9. Mediante un contraejemplo, demuestre que el enunciado
Si  es irracional entonces 2 es irracional
es falso.
10. [Opcional. Reto. Prueba difícil de ingenio. Si no lo logra, no hay problema. Y tranquilo(a), nunca pregunto algo así en exámenes.] Demuestre que el número
√
√
2+ 3
es irracional.
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Números irracionales
Respuestas
2.  −  = 0
3. 2 −  = 
4.  =  = 
5. a) Es la suma de irracional con un racional.
b) Es la diferencia entre un racional y un irracional.
c) Es el producto de un racional, diferente de cero, y un irracional.
d) Es el cociente de un racional, diferente de cero, y un irracional.
e) Es el producto de un racional, diferente de cero, y un irracional.
f ) Es el cociente de un irracional y un racional diferente de cero.
6. a)
√
√
8=2 2
b)
√ √
2 2
2
e) √ √ =
3
 3 3
√
√
√
8. 2 · 3 = 6
9. Contraejemplo:  =
√
√
12 = 2 3
f)
c)
√
√
√
√
2 · 3 · 2=2 3
p
√
2 + (52 ) = 3 3
√
2
10. Si le digo cómo se hace la demostración, deja de ser un reto.
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d) √ = √
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