NÚMEROS IRRACIONALES (I)

FUNDACIÓN EDUCATIVA DE MONTELÍBANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROFESOR: Fernando Sandoval C.
NÚMEROS IRRACIONALES (I)
Un número irracional es un número que no se puede escribir en
forma de fracción, la parte decimal sigue indefinidamente sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es:
3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir
ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como
22
/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no
son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma
de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!
RACIONAL O IRRACIONAL
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le
llama número racional:
Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así
19
/2 = 9.5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí se citan más ejemplos:
Números
En fracción
¿Racional o
irracional?
5
5/1
Racional
1.75
7/4
Racional
0.001
1/1000
Racional
√
(raíz cuadrada de 2)
?
¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
La calculadora dice que la raíz de 2 es:
1.4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De
hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional.
La diagonal del cuadrado de lado 1 es √
- Si p no es cuadrado perfecto, √
es irracional.
- En general, si p es un número entero y √ no es un número entero (es
decir, p no es una potencia n-ésima), entonces √ es irracional.
NÚMEROS IRRACIONALES FAMOSOS
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más
de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los
primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
Se obtiene a partir de la relación entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro.
El símbolo fué adoptado inicialmente en 1706 por William
Jones y popularizado por Euler.
El número e (el número de Euler) es otro número
irracional famoso. Se han calculado muchas cifras
decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los
primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros
dígitos son:
1.61803398874989484820... (y más...)
El número designado con letra griega (Fi), llamado
número de oro y que es la inicial del nombre del escultor
griego Fidias.
La sección áurea es la división armónica de una
segmento en media y extrema razón. Es decir, que el
segmento menor es al segmento mayor, como este es a
la totalidad. De esta manera se establece una relación de
tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo
dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de
seleccionar proporcionalmente una línea se llama
proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el
la siguiente división
Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente
ecuación que tendremos que resolver:
Una de las soluciones de esta ecuación es:
√
RECTÁNGULO ÁUREO
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de
uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del
lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado
inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del
rectángulo.
Esta divina geometría se ha utilizado en arquitectura
(Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de
crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son
irracionales. Ejemplos:
√
1.7320508075688772935274463415059 (etc)
√
9.9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √
,y√
irracionales.
, así que no todas las raíces son