Raíz de dos es irracional

El número
√
2 es irracional.
La demostración se realiza por reducción al absurdo, esto es suponer lo contrario a lo que
se quiere demostrar y llegar (por pasos lógicamente
válidos) a una contradicción o absurdo.
√
Empezamos entonces suponiendo que 2 no es irracional. Será entonces racional y existen
dos números enteros p y q tales que
√
p
2= .
q
Podemos suponer que p y q no son pares ambos ya que en otro caso, reducimos la fracción
dividiendo entre dos (las veces que haga falta) hasta obtener una fracción equivalente en la
que el numerador o el denominador no sean pares.
2
Elevando la expresión anterior al cuadrado tenemos 2 = pq2 y de ahí 2q 2 = p2 .
Es evidente entonces que p2 es un número par. Además p también debe ser un numero par
ya que el cuadrado de un impar es impar. Escribimos p = 2n para algún n. Tenemos ahora
2q 2 = p2 = 4n2
con lo cual
q 2 = 2n2 .
Razonando del mismo modo que para p, tenemos que tanto q como q 2 serán pares. Hemos
√
partido de una fracción con números que no son pares y llegamos a que si esa fracción es 2
los números serán pares. Esa contradicción
nos permite concluir que no existe una fracción
√
con tales propiedades y entonces que 2 es irracional.