n - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Prueba Integral
Lapso 2010-1
747 –1/4
Universidad Nacional Abierta
Int. a la Probabilidad (747)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 508
Área De Matemática
Fecha: 19 – 06 – 2010
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 8.
OBJ 1 PTA 1
Se quiere sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares.¿De cuantas
formas pueden sentarse?
Solución:
Los hombres pueden sentarse de P5 = 5! = 120 formas y las mujeres de P4 = 4! = 24 formas. Cada ordenación de
los hombres puede asociarse con cada ordenación de las mujeres. Así pues:
El número de ordenaciones pedido es: P5. P4 = 5!.4!=2880
OBJ 2 PTA 2
Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo
suposiciones adecuadas,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, exactamente, dos de los hijos tenga el mismo sexo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de tener hijos del mismo sexo?
Sugerencia: Puede suponer que todos los resultados son igualmente probables.
Nota: Para el logro de este objetivo debe responder correctamente ambas partes.
Solución:
Determinar todas las posibles permutaciones es determinar el espacio muestral, es decir, Ω , por lo tanto:
Ω = {(v, v, v ); (v, v, h ); (v, h, v ); (h, v, v ); (h, h, v ); (h, v, h ); (v, h, h ); (h, h, h )}
Como no se dice lo contrario, podemos suponer que todos los resultados son igualmente probables. Así:
a) la probabilidad de tener exactamente dos de los hijos que tengan el mismo sexo es
b) la probabilidad de tener hijos del mismo sexo es
6
8
2
8
OBJ 3 PTA 3
En una cierta población de electores 40% son Republicanos y 60% son Demócratas. Se reporta que 30% de los
Republicanos y 70% de los Demócratas están a favor de cierta propuesta. Una persona es elegida de forma
aleatoria de esta población y está a favor de la propuesta. Encontrar la probabilidad de que esta persona sea un
Demócrata.
Elaborado por: Richard Rico.
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2010-1
747 –2/4
Solución:
Sean los eventos:
A1: el elector es republicano
A2: el elector es Demócrata
B: el elector elegido esta a favor de la propuesta.
(
)
Queremos calcular P A2 B . De la información suministrada por el problema, tenemos:
P(A1)=0,4
P(A2)=0,6
P(B|A1)=0,3
P(B|A2)=0,7
En virtud del teorema de Bayes tenemos:
P(A2 | B) =
=
P( A2 ) P( B | A2 )
P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P ( B | A2 )
(0,6)(0,7)
0,42 42 6 x7 7
=
=
=
= ≈ 0,777.
(0,4)(0,3) + (0,6).(0,7) 0,54 54 6 x9 9
OBJ 4 PTA 4
¿Cuál es la probabilidad de obtener tres 6 al lanzar ocho dados?
Solución:
Ver Texto UNA (737), el ejercicio 2, Págs. 116 y117.
OBJ 5 PTA 5
Quince personas por hora, como promedio, utilizan un telecajero durante las horas de mayor actividad. El tiempo
entre la llegada de un usuario y el inmediato siguiente es una variable aleatoria real distribuida
exponencialmente, dada por:
⎧ − 4x
⎪⎪ e
f ( x) = ⎨ 4 si x ≥ 0
⎪
⎪⎩0 en otro caso
¿Cuál es la probabilidad de que pasen por lo menos 17 minutos entre la llegada de dos usuarios?
Solución:
Lo que se pide calcular es P ( X ≥ 17 ) , esta es:
Elaborado por: Richard Rico.
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2010-1
P( X ≥ 17 ) =
A
+∞
747 –3/4
x
1 −
∫17 4 e 4 dx
x
1 −
= lim ∫ e 4 dx
A→ +∞ 4
17
A
⎡
x ⎤
−
⎢
⎥
= lim ⎢−e 4 ⎥
A→ +∞
⎢
⎥
⎢⎣
⎥
17 ⎦
17
17
− ⎤
−
⎡ − A4
4
= lim ⎢− e + e ⎥ = e 4 .
A→ +∞
⎣
⎦
OBJ 6 PTA 6
Considere las variables aleatorias independientes X e Y con distribución normal de parámetros 0 y 1, calcule la
densidad de
V=
Y
X
Solución:
Ver libro texto UNA (737) módulo 3, secciones 74 y 75, ejercicio propuesto 6, páginas 241 y 246.
OBJ 7 PTA 7
La variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades respectivas
a)
b)
1 12 48
64
y
.
,
,
125 125 125 125
Determine: E (X) y E (X2).
Utilice los resultados obtenidos en la parte a) para obtener E [(3X2 + 2)].
Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes.
Solución:
a)
Por definición tenemos que:
⎛ 1 ⎞
⎛ 12 ⎞
⎛ 48 ⎞
⎛ 64 ⎞
⎟ + 1. ⎜
⎟ + 2. ⎜
⎟ + 3. ⎜
⎟
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
12
96
192
300
+
+
=
= 2,4.
=
125 125 125
125
E (X) = 0. ⎜
⎛ 1 ⎞
⎛ 12 ⎞
⎛ 48 ⎞
⎛ 64 ⎞
⎟ + 1. ⎜
⎟ + 4. ⎜
⎟ + 9. ⎜
⎟
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
⎝ 125 ⎠
12
192 576
780
=
+
+
=
= 6, 24.
125 125 125
125
E (X2) = 0. ⎜
Elaborado por: Richard Rico.
Área de Matemática
Prueba Integral
b)
Lapso 2010-1
747 –4/4
E [(3X2 + 2)] = E [9 X2 + 12 X + 4] = 9 E(X2) + 12 E(X) + 4
= 9(6,24) + 12(2,4) + 4 = 56,16 + 28,8 +4
= 88,96.
OBJ 8 PTA 8
Un antropólogo desea estimar la estatura media de los hombres de cierto grupo étnico (se supone que la altura se
distribuye normalmente). Si la desviación estándar es de σ =2,5 pulgadas y se escoge al azar 100 hombres.
Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y la media real de la población no
exceda a 0,5 pulgadas. (Se supone que cada individuo se elige de manera independiente).
Sugerencia: Suponga que μ es la media real de la población y
Sn
es la media de la muestra, para calcular la
n
⎛S
⎞
P⎜ n − μ ≤ 0,5 ⎟
⎝ n
⎠
Solución:
Si μ es la media real de la población y
Sn
es la media de la muestra, lo que se quiere calcular es
n
⎛S
⎞
P⎜ n − μ ≤ 0,5 ⎟
⎝ n
⎠
Ahora bien, S n tiene distribución N (nμ , σ n ) , con σ n2 = n.σ 2
La variable
Sn
⎛ σ ⎞
tiene distribución N ⎜⎜ μ ,
⎟⎟ , por lo tanto la variable
n
n⎠
⎝
Sn
−μ
S − nμ
n
= n
σ
σ n
n
Esta última expresión tiene distribución Normal Estándar, por lo tanto:
⎛S
⎞
S
⎛
⎞
P⎜⎜ n − μ ≤ 0,5 ⎟⎟ = P⎜ − 0,5 ≤ n − μ ≤ 0,5 ⎟
n
⎝
⎠
⎝ n
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
S n − nμ
S − nμ
⎞
⎛
0,5
0,5 ⎟
⎜
=P −
≤
≤
= P⎜⎜ − 2 ≤ n
≤ 2 ⎟⎟ ≅ 0,8544
⎜
2,5
2,5 ⎟
σ n
σ n
⎠
⎝
⎜
⎟
100
100 ⎠
⎝
FIN DEL MODELO
Elaborado por: Richard Rico.
Área de Matemática