Universidad Nacional Abierta INT A LA PROB Y LA EST I ( 764

PRUEBA INTEGRAL
LAPSO 2 009 - 1
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
764 - 1/8
INT A LA PROB Y LA EST I ( 764 )
Fecha: 20/06/2 009
Cód. Carrera: 106 - 120 - 508
PRUEBA DE DESARROLLO / CORRECCIÓN MANUAL
Tiempo de Prueba: Tres horas
INSTRUCCIONES
1. Con esta prueba se evalúan los objetivos 1 al 9 de la asignatura
Introducción a la Probabilidad y la Estadística I ( 764 ).
2. Debe responder las preguntas en la HOJA DE RESPUESTA que se anexa.
Si es necesario solicite hojas adicionales al Supervisor de la Prueba, las
cuales debe firmar y colocar su número de cédula de identidad.
3. El trabajo es estrictamente individual y cualquier actitud sospechosa por
parte del estudiante que pueda alterar los resultados de la prueba será
penalizada con la anulación de la misma.
4. Se permite el uso de calculadoras NO PROGRAMABLES.
OBJ 1 PTA 1
Las observaciones siguientes representan las velocidades en millas (mph), de 30
carros registradas por el radar de la guardia nacional en una autopista muy
transitada:
57
60
66
53
67
69
63
67
73
48
65
73
70
79
71
80
62
72
53
64
78
54
55
66
61
62
84
60
52
58
Calcule: media, mediana, moda, varianza muestral y desviación típica.
Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente todas las partes
de la pregunta.
Área de Matemática
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764 - 2/8
Solución:
El cálculo de la media es: x =
1 n
1942
xi =
≈ 64,73.
∑
n i =1
30
Al ordenar los datos de menor a mayor se obtiene:
48
52
53
53
54
55
57
58
60
60
61
62
67
67
69
70
71
72
62
63
64
65
66
66
73
73
78
79
80
84
Mediana: en este caso por haber un número par de observaciones la mediana es
la media aritmética de los valores centrales, los cuales son 64 y 65, por ello
podemos tomar como mediana a:
Mediana = (64+65)/2=64,5
Esta muestra tiene seis modas, 53, 60, 62, 66, 67 y 73, ya que son los datos con
mayor frecuencia.
Ahora para calcular la varianza, usamos la siguiente formula
S2 =
(
1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1
)
2
Sustituyendo los datos de la tabla se tiene que la varianza es S 2 =
y su desviación estándar es S ≈ 9,063.
Área de Matemática
2381,867
≈ 82,13
29
PRUEBA INTEGRAL
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OBJ 2 PTA 2
En el pedido de un automóvil puede especificarse transmisión automática o
estándar, con aire acondicionado o sin aire acondicionado y cualquiera de los
cuatro colores rojo, azul, negro o blanco.
Describa el conjunto de los posibles pedidos para este experimento.
Solución:
El espacio muestral para este experimento está conformado de ternas, donde la
primera componente se refiere al tipo de transmisión, la segunda a si tiene o no
aire acondicionado y la tercera al color, por lo cual, en virtud del principio de
multiplicación, el número de resultados es 2x2x4 = 16.
Luego:
⎧( Ta, Sa, R ) , ( Ta, Sa, A ) , ( Ta, Sa, N) , ( Ta, Sa, B ) ⎫
⎪
⎪
⎪( Ta, Ca, R ) , ( Ta, Ca, A ) , ( Ta, Ca, N) , ( Ta, Ca, B ) ⎪
Ω= ⎨
⎬
⎪( Te, Sa, R ) , ( Te, Sa, A ) , ( Te, Sa, N) , ( Te, Sa, B ) ⎪
⎪ Te, Ca, R , Te, Ca, A , Te, Ca, N , Te, Ca, B ⎪
)(
)(
)(
)⎭
⎩(
donde:
Ta = transmisión automática
Te = transmisión estándar
Sa = sin aire acondicionado
Ca = con aire acondicionado
R = color rojo
A = color azul
N = color negro
B = color blanco
OBJ 3 PTA 3
Una comisión de 4 personas debe ser escogida del Consejo de Facultad formado
por 10 hombres y 12 mujeres. ¿De cuántas maneras puede ser formada tal
comisión si:
a) Deben participar en ella al menos 2 mujeres?
b) Deben participar 3 mujeres y el Decano, o 3 mujeres y el Director?
Nota:
Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la
pregunta.
Solución:
a) Cuando nos dicen que en la comisión deben participar al menos 2 mujeres, nos
están diciendo que la citada comisión puede estar conformada por: 2 mujeres y
2 hombres o 3 mujeres y 1 hombre o 4 mujeres y ningún hombre, nótese que
estamos en una situación tipo “o”, por lo tanto, el número de comisiones que se
pueden formar bajo la condición dada es:
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⎛ 12 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 10 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 0 ⎠
b) Puesto que el Decano y el Director no pueden trabajar juntos en una misma
comisión (ver el enunciado), existen dos posibilidades, una posibilidad es
conformar una comisión por 3 mujeres y el Decano y la otra, conformar la
comisión por 3 mujeres y el Director, por lo tanto el número de comisiones que
se pueden conformar bajo la condición dada es:
⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎛ 12 ⎞
⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ 1= 2 ⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝3⎠
⎝3⎠
OBJ 4 PTA 4
Un dardo es lanzado al azar hacia una diana circular de radio 10 cm. Asumiendo
que el lanzamiento nunca cae fuera de la diana, encuentre la probabilidad de que
el dardo caiga a una distancia de 2 cm del centro.
Solución:
Como puede apreciar, estamos en el caso de variables aleatorias continuas, por lo
cual la probabilidad viene dada como una proporción entre áreas, es decir, un
cociente, en el cual el numerador es el área de la región
A = { (x, y) / x2 + y2 ≤ 4 },
mientras que el denominador es el área de la región
Ω = { (x, y) / x2 + y2 ≤ 100 }.
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P(A) =
área de A
4π
=
= 0,04
área de Ω
100π
OBJ 5 PTA 5
Una muestra de tamaño 4 se extrae con reemplazo de una bolsa que contiene 6
metras, de las cuales 4 son blancas. Sea A el evento definido por “exactamente
una de las dos primeras metras extraídas es blanca” y sea B = {la cuarta metra es
blanca }. ¿Son A y B independientes?
Solución:
Ver ejercicio propuesto Nro. 3 de la Sección 32 de la página 119 de la selección
de ejercicios para las Unidades 1 y 3 de Probabilidad y Estadística I.
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OBJ 6 PTA 6
Sea X una variable aleatoria con densidad:
⎧1 3
⎪ x si 0 < x < 4
f ( x) = ⎨ 64
⎪⎩0 en otro caso.
Si X tiene función de densidad f :
a) Determine la función de distribución (F de D) de la variable aleatoria real
X.
b) Construya la grafica de la función de distribución de F.
Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente la parte (b) de la
pregunta.
Solución:
a) Hallemos la función de distribución (F de D) de la variable aleatoria real X .
Esto es:
Si x ≤ 0 ,
FX ( x ) = 0
x
t3
x4
dt = 4
64
4
0
Si 0 < x < 4 , FX ( x ) = ∫
Si x > 1 ,
FX ( x ) = 1
Luego, la función de distribución (F de D) de la variable aleatoria real X es dada
por:
⎧0
⎪ 4
⎪x
F ( x) = ⎨ 4 ,
⎪4
⎪⎩1
, si
x≤0
, si
0< x≤4
, si
x>4
b) La grafica de la función de Distribución F es dada por:
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OBJ 7 PTA 7
Un fabricante de refrigeradores somete sus productos terminados a una
inspección final. Hay dos tipos de defectos que interesan: raspaduras o grietas en
el acabado de porcelana, y defectos mecánicos. El número de cada tipo de
defectos es una variable aleatoria. El resultado de la inspección de 50
refrigeradores se muestra en la siguiente tabla, donde X representa la ocurrencia
de defectos de terminado y Y representa la ocurrencia de defectos mecánicos.
X
Y
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
11 / 50
8 / 50
4 / 50
3 / 50
1 / 50
4 / 50
3 / 50
3 / 50
1 / 50
2 / 50
2 / 50
2 / 50
1 / 50
1 / 50
1 / 50
1 / 50
1 / 50
1 / 50
a) Encuentre las distribuciones marginales de X y Y.
b) Determine la distribución de probabilidad de defectos mecánicos, dado que no
hay defectos de acabado.
c) Obtenga la distribución de probabilidad de defectos de acabado, dado que no
hay defectos mecánicos.
NOTA:
Para lograr el objetivo debe responder correctamente la parte a) de la pregunta y
una de las otras dos partes.
Solución:
a) En virtud de la definición dada en la página 93 de la Guía Instruccional de la
asignatura Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos:
• Que la distribución marginal de X es
PX(0) =
4
∑ P ( X = 0, Y = y ) = P(0, 0) + P(0, 1) + P(0, 2) + P(0, 3) + P(0, 4)
y=0
= 11 + 8 + 4 + 3 + 1 = 27
50
50
50
50
50
50
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PX(1) = P(1, 0) + P(1, 1) + P(1, 2) + P(1, 3) = 4 + 3 + 3 + 1 = 11
50
50
50
50
50
PX(2) = P(2, 0) + P(2, 1) + P(2, 2) = 2 + 2 + 2 = 6
50
50
50
50
PX(3) = P(0, 0) + P(0, 1) + P(0, 2) = 1 + 1 + 1 = 3
50
50
50
50
PX(4) = P(0, 0) + P(0, 1) = 1 + 1 = 2
50
50
50
PX(5) = P(0, 0) = 1
50
• Que la distribución marginal de Y es
PY(0) =
5
∑ P ( X = x, Y = 0 )
x=0
= P(0, 0) + P(1, 0) + P(2, 0) + P(3, 0) + P(4, 0) + P(5, 0)
= 11 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 20
50
50
50
50
50
50
50
PY(1) = P(0, 1) + P(1, 1) + P(2, 1) + P(3, 1) + P(4, 1)
= 8 + 3 + 2 + 1 + 1 = 15
50
50
50
50
50
50
PY(2) = P(0, 2) + P(1, 2) + P(2, 2) + P(3, 2) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
50
50
50
50
50
PY(3) = P(0, 3) + P(1, 3) = 3 + 1 = 4
50
50
50
PY(4) = P(0, 4) = 1
50
b) Dada la definición de la página 94 de la Guía Instruccional de la asignatura
Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos
pY/X (y) =
P(X = x,Y = y)
,
P(X = x)
por lo tanto
pY/0 (y) =
P(Y = y, X = 0)
para y = 0, 1, 2, 3, 4.
P(X = 0)
Sustituyendo los valores dados para y, resulta
pY/0 (y) =
P(X = 0,Y = 0)
11/ 50
11
=
=
27 / 50
27 / 50
27
=
P(X = 0,Y = 1)
8 / 50
8
=
=
27 / 50
27 / 50
27
=
P(X = 0,Y = 2)
4 / 50
4
=
=
27 / 50
27 / 50
27
Área de Matemática
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LAPSO 2 009 - 1
764 - 8/8
=
P(X = 0,Y = 3)
3 / 50
3
=
=
27 / 50
27 / 50
27
=
P(X = 0,Y = 4)
1/ 50
1
=
=
27 / 50
27 / 50
27
P(X = x,Y = y)
para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
P(Y = y)
Procediendo como en el inciso b) tenemos
c) Queremos calcular pX/Y(x) =
PX/0 (y) =
P(X = 0,Y = 0)
11/ 50
11
=
=
20 / 50
20 / 50
20
=
P(X = 1,Y = 0)
4 / 50
4
=
=
20 / 50
20 / 50
20
=
P(X = 2,Y = 0)
2 / 50
2
=
=
20 / 50
20 / 50
20
=
P(X = 3,Y = 0)
1/ 50
1
=
=
20 / 50
20 / 50
20
=
P(X = 4,Y = 0)
1/ 50
1
=
=
20 / 50
20 / 50
20
=
P(X = 5,Y = 0)
1/ 50
1
=
=
20 / 50
20 / 50
20
OBJ 8 PTA 8
El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la función de
densidad (y por tanto la función de distribución) de una suma de variables
aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones de densidad
individuales asociadas a cada variable.
Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen función de
densidad conjunta f, entonces Z = X + Y tiene función de densidad dada por
∞
fZ(z) =
∫∞
-
fx ( x ) fY ( z - x ) dx =
∞
∫∞ fx ( z - y ) f ( y ) dy
Y
-
Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme [0, 2] y
[0, 4] respectivamente, halle la función de densidad de la variable aleatoria
Z = X + Y.
Solución:
Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribución uniforme, tenemos que:
⎧1
⎧1
⎪ , 0≤x≤2
⎪ , 0≤y≤4
,
,
fX ( x ) = ⎨ 2
fY ( y ) = ⎨ 4
⎪⎩0 , en otro caso
⎪⎩0 , en otro caso
son las respectivas funciones de densidad de dichas variables.
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Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la
convolución de fX ( x ) y fY ( y ) , esto es:
fZ ( z ) =
∞
∫ f ( z - y ) f ( y ) dy ,
X
Y
−∞
⎧0 ≤ z - y ≤ 2
, de donde obtenemos que
para ⎨
⎩ 0≤y≤4
Por lo tanto,
fZ ( z ) =
⎧z - 2 ≤ y ≤ z
.
⎨
⎩ 0≤y≤4
∞
∫ f ( z - y ) f ( y ) dy
X
Y
−∞
z
z
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
= ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy =
8
0 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
z
=
4
=
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy
z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy
z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
,
=
1
4
=
6-z
8
0≤z≤2
,
2<z≤4
,
4<z≤6
Los límites de las integrales son determinados de las condiciones 0 ≤ z - y ≤ 2, y
0 ≤ y ≤ 4.
En resumen
fZ ( z )
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
z
8
0≤z≤2
1
4
2<z≤4
6-z
8
0
4≤z≤6
en otro caso
La gráfica de f es la mostrada en la figura:
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764 - 10/8
OBJ 9 PTA 9
Sea X el tiempo de vida de un sistema electrónico y Y el tiempo de vida de uno de
sus componentes. Suponga que el sistema falla si el componente falla (pero no
necesariamente al contrario). Suponga además que la función de densidad
conjunta de X e Y (en años) está dada por
⎧⎪ 1 e- y/7
f(x, y) = ⎨ 49
⎪⎩ 0
0≤ x ≤ y<∞
.
otro caso
(a) ¿Qué representa Y – X?
(b) Determine el valor esperado del tiempo de vida restante del componente
cuando el sistema ha fallado.
NOTA:
Para lograr el objetivo debe responder correctamente la parte b) de la pregunta.
Solución:
(a) Y – X representa el tiempo de vida del componente cuando el sistema ha
fallado.
(b) En virtud de la definición de esperanza (o valor esperado) tenemos
∞y
E(Y – X) =
- y/7
∫ ∫ ( y - x ) 491 e dx dy
00
∞ 2
∞
2
1 ⎛ y 2 - y ⎞ e- y / 7 dy = 1 y e- y / 7 dy
= 49
∫0 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
49 ∫ 2
0
∞
1 y 2e- y / 7 dy = 7x98x 1 = 7
= 98
∫0
98
Comentarios:
• Es de hacer notar que la tercera igualdad se resuelve por integración por
partes dos veces.
• Para obtener los límites de integración utilizamos el hecho de que
0 ≤ x ≤ y < ∞.
FIN DE PRUEBA
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LAPSO 2 008 - 2
Área de Matemática
764 - 1/1