13/10/2007 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

PRIMERA PARCIAL
LAPSO 2007 - 2
Universidad Nacional Abierta
706- 1/5
CÁLCULO III ( 751 )
Primera Parcial
Fecha 13/10/07 Lapso 2007 – 2
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
MODELO DE RESPUESTAS
OBJ 1 PTA 1
(x + y) 2
Dada la función f(x , y ) = 2
x + y2
a. Determine el dominio de la función f .
b. ¿Existe lím f (x, y) ? Justifique su respuesta.
( x , y ) → ( 0, 0 )
c. Estudie la continuidad de f en todo su dominio.
NOTA: Para el logro del objetivo debe responder correctamente las tres partes.
SOLUCIÓN
a.- El domino de la función f es: Dom(f ) = IR2 − (0,0).
b.- Nos aproximamos al punto (0,0) mediante rectas que pasen por dicho
punto: y = mx , de donde
(x + y) 2
( x + mx ) 2
(1 + m ) 2 (1 + m ) 2
lím
lím
=
=
=
2
2
x→ 0 x 2 + ( mx ) 2
x→ 0 1 + m 2
1+ m2
(x,y) →(0, 0) x + y
lím
luego el límite dado no existe, por depender del valor de m.
c.- La función es continua en todo su dominio por ser el cociente de dos
polinomios continuos cuyo denominador es distinto de cero.
OBJ 2 PTA 2
−3
2
2
Dada la función f(x,y) = x (x + y )
2
2 y)
e sen (x
. Calcule
∂f
(1, 0)
∂x
AYUDA: Defina g(x) = f(x,y0) y luego aplique la definición de derivada parcial
Recuerde que | x | =
x2
SOLUCION
Derivar parcialmente la función f(x,y) con respecto a la variable x, significa calcular
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la derivada en relación a dicha variable considerando la variable y fija.
∂f
(1, 0) definimos g como
En nuestro, caso como nos manda a calcular
∂x
∂f
(1, 0) .
g(x) = f(x,0) y calculamos g’(1) =
∂x
g(x) = f(x,0) = x ( x 2 )
−3
2
=x x
−3
.
Cerca del punto (1,0) tenemos que la función g se puede escribir como
g(x) = x (x)−3 = x−2
ya que los puntos son del tipo (x,0) con x > 1 o x < 1.
Entonces
g’(x) = −2 x−3
y g’(1) = −2
en consecuencia
∂f
(1, 0) = g’(1) = −2.
∂x
OBJ 3 PTA 3
El plano x + y + z = 1 corta al cilindro x 2 + y 2 = 2 en una curva C. Encuentre los
puntos en C de altura máxima o mínima por encima del plano xy.
SOLUCION
Como z es la distancia de un punto arriba del plano xy, deseamos maximizar la
función objetivo f(z,y,z) = z sujeta a la restricciones
g(x,y,z) = x + y + z − 1= 0 y h(x,y,z) = x 2 + y 2 − 2 = 0
Es claro que las funciones f, g y h son diferenciales en todo el plano.
Además
r
grad(g) = (1,1,1) ≠ 0 y
r
grad(h) = (2x,2y,0) = 0 , sí sólo si , x = y = 0
y como el punto (0,0,0) no pertenece a la curva de h y el punto (1,1,1) tampoco
pertenece al curva de g, entonces se verifica la condición grad(g) ≠0 y grad(h) ≠ 0.
Resolvemos el sistema
r
grad(f) + λ1grad(g) + λ2 grad(h) = 0 , g(x,y,z) = 0 y h(x,y,z) = 0
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∂f
∂g
∂h
+ λ1
+λ2
=0
∂x
∂x
∂x
∂f
∂g
∂h
+ λ1
+λ2
=0
∂y
∂y
∂y
∂f
∂g
∂h
+ λ1 +λ2
=0
∂z
∂z
∂z
x2+ y2−2=0
x + y + z − 1= 0
es decir
λ1 + 2xλ2 = 0
λ1 + 2yλ2 = 0
λ1 = − 1
x2+ y2=2
x+y+z=1
De las primeras ecuaciones obtenemos x = y. Al usar también la tercera resulta
x = y = −1/(2λ2).
Al sustituir esto valores de x y y en la cuarta se obtiene λ2 = ±1/2.
Esto produce x = y = ± 1y sustituyendo estos valores en la última ecuación resulta
z = −1 y z = 3. Por lo tanto, P1(−1,−1,3) es el punto en C de altura máxima arriba del
plano xy y P2(1,1,−1) es el punto de altura mínima pero no está por encima del
plano xy.
OBJ 4 PTA 4
El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La
temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene dada
−x
por T(x, y, z) = e
2
− 2 y2 −3z 2
, donde x, y, y z vienen dados en metros. Actualmente
está en el punto (1, 1, 1).
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la
temperatura?
b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en
esa dirección?
c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor
que 14e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que
puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.
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AYUDA: La velocidad viene dada por el producto de su módulo por la dirección unitaria.
NOTA: Para el logro del objetivo debe responder correctamente dos de las tres
partes.
SOLUCIÓN
a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al
vector gradiente.
(
∇T ( x; y; z ) = − 2 xe − x
2
− 2 y 2 −3 z 2
;−4 ye − x
2
− 2 y 2 −3 z 2
;−6 ze − x
2
− 2 y 2 −3 z 2
⇒ ∇T (1;1;1) = e −6 (−2;−4;−6) ⇒ −∇T (1;1;1) = e −6 (2;4;6)
)⇒
Normalizndo
↓
⇒
3 ⎞
2
⎛ 1
u=⎜
;
;
⎟
⎝ 14 14 14 ⎠
b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave.
El vector velocidad vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección
unitaria de avance. Así:
2
3 ⎞
⎛ 1
⎛ dx dy dz ⎞
;
;
v = ⎜ ; ; ⎟ = e8u = e8 ⎜
⎟
⎝ dt dt dt ⎠
⎝ 14 14 14 ⎠
Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la
regla de la cadena:
En (x;y;z)=(1;1;1)
dT ∂ T dx ∂ T dy ∂ T dz
=
+
+
dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt
¯
=
- 2e -6
e8
14
- 4e -6
2e 8
14
- 6e -6
3e 8
14
= − 2 14e 2
c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la
temperatura es el doble de lo que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es
necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector unitario podemos llamar
u = (a; b; c). En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c)e8, y
podremos escribir:
(
)(
)
dT
= ∇T ·v = − 2e −6 ;−4e −6 ;−6e −6 · ae 8 ; be 8 ; ce 8 = (−2a − 4b − 6c)e 2
dt
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Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser
menor que 14e 2 . Por lo tanto:
− 14e 2 ≤
dT
≤ 0 ⇒ − 14e 2 ≤ (−2a − 4b − 6c)e 2 ≤ 0 ⇒ − 14 ≤ −2a − 4b − 6c ≤ 0
dt
Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c) que cumpla con esas
condiciones el cohete se enfriará sin cuartearse.
FIN DEL MODELO
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