xx x xx xe xx x - CiberEsquina

Segunda Prueba Integral
752-757 –1/2
Lapso 2014-2
Universidad Nacional Abierta
Álgebra I (Cód. 752-757)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126-508
Área de Matemática
Fecha: 10-01-2014
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 04 al 06
OBJ 4 PTA 4 Sea G un grupo finito. Consideremos para un x en G fijo, las potencias
x,x2,x3,… Pruebe que debe existir un n natural tal que xn es el elemento neutro de G.
Sugerencia: pruebe primero que en algún momento dos potencias de x deben ser iguales
entre sí, esto es xk=xj con j<k.
Solución:
Veamos los elementos del grupo representados cada uno por una caja. Es decir, tenemos
finitas cajas, al ser la sucesión de las potencias x,x2,x3 ,… infinita en una de las cajas
deben haber dos elementos iguales, es decir xk=xj con k<j. Pero en un grupo vale la ley
de cancelación y luego
k veces
xx
j veces
x  xx
j  k veces
x  e  xx
x
Nota: Hemos aplicado una versión del principio del palomar. El principio del palomar
o de Dirichlet es una herramienta básica en combinatoria. Dice que si tenemos n+1
objetos y los debemos colocar en n cajas, entonces alguna caja debe contener 2 o más
elementos. Más información en http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar.
En este caso hay más cajas que palomas
OBJ 5 PTA
5
Demuestre
que
si
tomamos
un
polinomio
2
n
p( x )  a0  a1 x  a2 x   an x con coeficientes en los enteros y si p(a)=0 con a
entero entonces a divide a a0 . ¿Cuáles son las posibles raíces
enteras de
q  x   12  2 x  x ?
3
Nota: Debe contestar todo el problema para lograr el objetivo.
Solución:
Observe que p(a)= a0  a1 a  a2 a2   an a n  0  a0  a  a1  a2 a 
 an a n1  y
esto implica que a divide a a0 .
Para la siguiente parte vemos que los divisores de 12 son:
1, 2, 3, 4, 6, 12
y estas son las posibles raíces enteras.
Especialista: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Segunda Prueba Integral
Lapso 2014-2
752-757 –2/2
OBJ 6 PTA 6 ¿Es posible que en un cuerpo tengamos divisores de 0? Recuerde que a
es un divisor de 0 si a es no nulo y existe un b tal que ab=0.
Solución:
Si a no es el cero entonces a tiene inverso multiplicativo a-1 .¿Qué pasa si multiplicamos
este por la ecuación ab=0?. Indique la contradicción que se obtiene.
FIN DEL MODELO.
Especialista: José Gascón
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática