CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Primera Prueba Parcial
175-176-177 –1/3
Lapso 2015-1
Universidad Nacional Abierta
Matemática I (Cód. 175-176-177)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126 -236- 237-280- 281
508-521-542-610-611
612-613
Área de Matemática
Fecha: 23-05-2015
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 6.
OBJ 1 PTA 1 Supongamos que al consumir una hamburguesa con queso y papas fritas consume 1070
calorías. Si las papas tienen 30 calorías más que la hamburguesa, ¿Cuántas calorías hay al consumir
una hamburguesa con queso? Y ¿Cuántas calorías hay al consumir papas fritas?
SOLUCIÓN:
Sea h las calorías de la hamburguesa con queso, y las papas es h+30. Entonces, según el enunciado
sabemos que:
h + 30 + h = 1070
Entonces, 2h = 1040
De donde el valor de h es:
h = 520.
Por lo tanto, al ingerir una hamburguesa con queso se están consumiendo 520 calorías y al comer las
papas se consumen 550 calorías.
OBJ 2 PTA 2 Dada la ecuación x2 = p, donde, p es un número entero positivo. Resuelva las
siguientes partes:
a. Explica con tus propias palabras cuándo la solución de la ecuación dada no es un número racional y
da un ejemplo.
b. ¿En qué conjunto tiene solución la ecuación?
Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente las dos partes de la pregunta.
SOLUCIÓN:
a. La solución de la ecuación no es número racional cuando p no es el cuadrado de algún número
entero. (Ver página 105 del Módulo I del texto). Varios ejemplos donde ocurre esta situación son
las ecuaciones:
x2 = 2 , x2 = 22 , x2 = 3 , x2 = 37 ,
x2 = 12
b. Como p es un número entero positivo, entonces la ecuación tiene solución en el conjunto de los
números reales.
OBJ 3 PTA 3 Resuelva la siguiente inecuación x2  11 x + 30  0.
SOLUCIÓN:
Al factorizar se obtiene:
x2  11 x + 30 = (x  6) (x  5). ¡Compruébalo!
Luego, la inecuación inicial se transforma en:
(x  6) (x  5)  0.
Para determinar los signos de (x  6) (x  5) representamos en un recta sus raíces, las cuales son
Especialista: Richard Rico
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Primera Prueba Parcial
175-176-177 –2/3
Lapso 2015-1
x = 5 y x = 6.
5
6
Estas raíces dividen la recta en tres intervalos: (  , 5), (5 , 6) y (6 , +). Para determinar el signo de
(x  6) (x  5) en cada uno de estos intervalos evaluamos esta expresión en un punto de cada uno de
esos intervalo. El signo en el intervalo será el signo que se obtenga al evaluar en un punto del intervalo
(ver p.158 del texto-Módulo I), como se muestra en la siguiente tabla:
Intervalo
(  , 5)
(5 , 6)
(6 , +)
Signo de (x  6) (x  5)
positivo
negativo
positivo
Punto del intervalo
x=0
x = 5,5
x=8
Además, debemos incluir en el conjunto solución las raíces de (x  6) (x  5).
En conclusión, el conjunto solución de la inecuación x2  11 x + 30  0 es:
( , 5] U [6 , +)
OBJ 4 PTA 4 Los puntos A(3 , 4), B(2 , 5), C(4 , 6) son los vértices de un triángulo. Halla la longitud
del lado AC de dicho triángulo.
SOLUCIÓN:
La longitud de un lado de un triángulo está dada por la distancia entre los vértices de ese lado. En
nuestro caso nos piden la longitud del lado AC . Por lo tanto, los vértices de ese lado son A(3,4) y
C(4,6). La distancia entre esos puntos del plano, se halla aplicando la fórmula de la distancia dada en la
página 46 en el Módulo II. Es decir, la distancia entre dos puntos A(x0 ,y0) y C(x1,y1) es:
d((x1 , y1) , (x0 , y0)) =
 x1  x0  2   y1  y0  2
.
Al tomar C(x1 , y1) = C(4 , 6) y A(x0,y0) = A(3 , 4). Luego,
d((4,6),(3,4)) =
 4   3  2   6  4 2
Por lo tanto, la longitud del lado AC = d((4 , 6),(3 , 4)) =
53 .
 

OBJ 5 PTA 5 Expresa la función dada por f x   sen cos x 2  5
=
 7 2   2 2
=
53 .
como compuesta de 3 funciones.
SOLUCIÓN:
Basta observar que la función f no es más que la composición m  n  p x   f x  , de donde se
identifican las funciones:
p : x  x 2  5 ; Función cuadrada más una constante y = 5.
n : x  cos x ; Función coseno
m : x  senx ; Función seno.
Donde,
p
n
m
x  x 2  5  cos( x 2  5)  sen(cos( x 2  5))
Esto es f  m  n  p
Especialista: Richard Rico
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Primera Prueba Parcial
Con, m( x)  senx ,
175-176-177 –3/3
Lapso 2015-1
n(x)  cos x ,
p(x)  ( x 2  5) .
OBJ 6 PTA 6 Elabora un polígono de frecuencias acumuladas para los siguientes datos:
Tiempo de vida (en horas) de bombillos
(950; 1050]
(1050; 1150]
(1150; 1250]
(1250; 1350]
(1350; 1450]
(1450; 1550]
4
9
19
36
51
58
(1550; 1650]
(1650; 1750]
(1750; 1850]
(1850; 1950]
(1950; 2050]
(2050; 2150]
53
37
20
9
3
1
SOLUCIÓN:
Ver el ejercicio Nro. 3 de la Autoevaluación III de la página 220 del módulo II de libro maestro de
Matemáticas I.
FIN DEL MODELO.
Especialista: Richard Rico
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática