1 1 ln( ) dy dy cy y c dx cy dx = + 1 1 (ln( ) 1) . ln( ) 1

2da Prueba Integral
Lapso 2012-1
755-767 –1/3
Universidad Nacional Abierta
Ecuaciones Diferenciales (755-767)
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Cód. Carreras: 126- 508
Fecha: 13-10-2012
MODELO DE RESPUESTA
Objetivos del 1 al 8
OBJ 1 PTA 1
Demuestre que la expresión x=yln(cy) es solución de y´(x+y)=y.
SOLUCIÓN:
dy
1 dy
ln(cy ) + y c
dx
cy dx
dy
dy
1
1=
(ln(cy ) + 1) ⇒
=
. Si se sustituye
dx
dx ln(cy ) + 1
1=
Al derivar implícitamente tenemos:
en la ecuación
diferencial se tiene:
y ln(cy ) + y y (ln(cy ) + 1)
=
= y , entonces y = y . Por lo tanto x=yln(cy) es
ln(cy ) + 1
ln(cy ) + 1
solución.
OBJ 2 PTA 2
Considere el siguiente Teorema: “Sea R una región rectangular en el plano XY definida por
∂f
∂y
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
( ,y )
que contiene al punto x 0 0 en su interior. Si f(x,y) y
son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en x 0 y una única función y(x)
y
definida en I que satisface el problema de valor inicial y´=f(x,y), y( x 0 )= 0 .”
¿Cuántas soluciones que pasen por un punto
y´=x2 +y2?
( x 0, y 0 )
del plano XY tiene la ecuación
SOLUCIÓN:
Tanto f(x,y)= x2 +y2
df
= 2y
dy
como
, son continuas en todo el plano XY. Por lo tanto.
( ,y )
Aplicando el teorema (Teorema de Picard), por cualquier punto x 0 0 del plano XY pasa
una y solo una solución de la ecuación diferencial.
2da Prueba Integral
Lapso 2012-1
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OBJ 3 PTA 3
Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la
temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos
después se encuentra que el termómetro marca 75°C. se desea predecir la lectura del
termómetro para varios tiempos posteriores, determine la ecuación del enfriamiento en
función de los valores dados.
SOLUCIÓN:
Ver el recurso: http://ciencia-basica-experimental.net/newton.htm
OBJ 4 PTA 4
Aplique el método de Euler para obtener una aproximación de y(1,5), usando h = 0,1 en el
problema y´=2xy.
SOLUCIÓN ESTE PROBLEMA ESTÀ MAL REDACTADO DEBIÓ SER ASÌ:
Aplique el método de Euler para obtener una aproximación de y(1,5), usando h = 0,1
en el problema y´=2xy, y(1)=1.
POR RAZONES OBVIAS LA PREGUNTA SE REPETIRÀ PERO CON h =0,05.
OBJ 5 PTA 5
Resuelva 4y´´+ 4y´+ 17y =0, y(0)= -1, y´(0) =2 .
SOLUCIÓN:
Por medio de la ecuación cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar
4x2+4m+17=0 son
m1 =
−x
2
−1
−1
+ 2i,m 2 =
− 2i. Por
2
2
tanto, tenemos que:
y = e ( A cos 2 x + Bsen 2 x) , aplicando las condiciones se obtiene A=-1, B=3/4,
−x
3
2 ( − cos 2 x +
y
=
sen 2 x)
en consecuencia,
e
4
OBJ 6 PTA 6
Resuelva la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes no homogénea:
y´´+ 4y´ - 2y = 2x 2 -3x+6
SOLUCIÓN:
Al resolver primero la ecuación homogénea relacionada y´´+ 4y´ - 2y =0, obtenemos las
raíces
m
(solución)
y
1
= − 2 − 6 ;m 2 = − 2 + 6 .
c
= Ae
− (2 + 6 ) x
+ Be
− (2 − 6 ) x
Por lo tanto, la función complementaria
. Ahora, como la función g(x)= 2x2-3x+6 es
2da Prueba Integral
Lapso 2012-1
755-767 –3/3
un polinomio cuadrático, se supone que la solución particular también es de la forma de un
polinomio cuadrático:
2
= ax +bx+c. Se busca determinar los coeficientes específicos a, b, c para los cuales
y
y
p
es una solución de y´´+ 4y´ - 2y = 2x 2 -3x+6, sustituyendo
p
y
y las derivadas,
p
obtenemos a=-1, b=-5/2 y c=-9. Por lo tanto, la solución particular es:
= -x 2 -5/2x-9.
y
p
La solución general es:
y=
Ae
− (2 + 6 ) x
+ Be
− (2 − 6 ) x
-x 2 -5/2x-9
OBJ 7 PTA 7
Compruebe por solución directa que la serie de potencia dada es una solución particular de
la ecuación diferencial indicada:
∞
y=∑
n =1
(−1)
n +1
n
x
n
,
n
(x+1) y + y´=0
SOLUCIÓN Basta con sustituir, derivar y hacer las simplificaciones .
OBJ 8 PTA 8
Resuelva mediante el método de la transformada de Laplace el problema de valores
iniciales: y´´+ 4 y´ +6y =1+ e-t sujeto a y(0)=0, y´(0) =0 .
SOLUCIÓN:
L(y´´)+4(y´)+6L(y)= L(1)+L(e-t).
1
1
Y
(
s
)
sy
(0)
y´(0)+[s
Y
(
s
)
y
(0)]
6
Y
(
s
)
−
−
−
+
=
+
s
s s +1
2
s
2
+ 4 s + 6)Y ( s ) =
2s + 1
s ( s + 1)
1
1
s 5
+
2s + 1
Y (s) =
= 6 + 3 − 22 3
2
s ( s + 1)( s + 4 s + 6) s s + 1 s + 4 s + 6
Al utilizar la transformada inversa tenemos:
−t
1
1 −2 t
2 −2t
y = + e − e cos 2t −
sen 2t
e
6 3 2
3
FIN DEL MODELO DE RESPUESTA