zdz4 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Primera Parcial
Lapso 2012-1
756 –1/2
Universidad Nacional Abierta
Calculo Integral (756)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126
Área De Matemática
Fecha: 21 − 07 – 2012
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1, 2 y 4.
OBJ 1 PTA 1
∫
Calcula
2
( 3 x − 4 ) Ln x
dx
x
Solución:
Si se hace el cambio de variable z = Ln x , dz =
1
d x , la integral se transforma
x
en
∫
∫
⎛ z
⎞ 2
2 z
⎜⎜ 3 e − 4 ⎟⎟ z d z = 3 z e d z − 4
⎝
⎠
I1
∫
2
z dz
I2
Resolvamos la integral I1, aplicando el método de integración por partes (puedes
consultar el material instruccional de Cálculo II de UNA, páginas 117 y 118).
Escogemos u = z2 , du = 2z dz , dv = ez dz , v = ez
⎛ 2 z
2 z
3 z e d z = 3 ⎜z e − 2
⎜
⎝
∫
∫
⎞
z
2 z
z
z e d z ⎟ = 3z e − 6 e ( z − 1 ) + C1
⎟
⎠
Aplicas el método de integración por partes
∫
2 z
2
z
z
Luego, I1 = 3 z e d z = 3z e − 6 e ( z − 1 ) + C1
La integral
I2 = 4
∫
2
z dz =
4
3
3
z + C2
∫
2 z
z
⎛ z
⎞ 2
4 3
⎜⎜ 3 e − 4 ⎟⎟ z d z = 3z e − 6 e ( z − 1 ) + C1 +
z + C2
⎝
⎠
3
2 z
z
⎛ z
⎞ 2
4 3
⎜⎜ 3 e − 4⎟⎟ z d z = 3z e − 6 e ( z − 1 ) + z + C , donde C = C1 + C2
Por lo tanto,
⎝
⎠
3
es una constante real.
Así que,
∫
Especialista de contenido: Alejandra Lameda G.
Evaluadora: Florymar Robles
“IV premio Educa 2011, en Honor a la Excelencia Educativa” Cartagena de Indias, Colombia. 2011
Primera Parcial
Lapso 2012-1
756 –2/2
OBJ 2 PTA 2
Ι=
Determina si la integral
∫
2
1
x
dx es convergente o divergente.
x −1
Solución: La función del integrando f(x) =
tenemos que Ι =
∫
2
1
Calculemos la integral indefinida
u = x − 1 de donde 2u du = dx
2
∫
x
dx =
x −1
∫
∫
x
dx = lim
ε→0
x −1
2
1+ ε
∫
x
x−1
no está definida en x = 1, luego
x
dx
x −1
x
dx , haciendo el cambio de variable:
x −1
y x = u2 + 1, entonces
⎞
⎛ ( x − 1)3
⎛ u2 + 1⎞
⎛ 3
⎞
⎜
⎟2udu = 2⎜ u + u ⎟ + C = 2⎜
+ x −1⎟ + C .
⎜ u ⎟
⎜ 3
⎟
⎟
⎜
3
⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
⎝
Así que,
Ι=
∫
2
1
x
x−1
dx = lim
ε→0
∫
⎛4
⎞ 8
⎛ ( x − 1)3
⎞ ⎤2
ε3
⎜
⎜
⎟
dx = 2 lim
= 2 lim −
− ε⎟ = ⋅
+ x−1 ⎥
⎟ 3
⎟ ⎦
ε → 0⎜
ε → 0⎜ 3
3
3
x−1
⎝
⎠
⎝
⎠ 1+ ε
2
x
1+ ε
Por lo que la integral Ι =
∫
2
1
x
dx es convergente.
x −1
OBJ 4 PTA 3
Calcula el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores:
r
v 1
u = ( − 2 , − 4 , 3 ) ; v = ( 1, 5 , − 3 ) .
2
Solución:
El área del paralelogramo viene dado por la norma del producto vectorial de los vectores
r r
v r
u , v es decir, A = u× v
î
ĵ
k̂
r r 1
1
3
Se calcula el producto vectorial u × v = − 2 − 4 3 = (− 3 , − 3 ,−6 ) = − (1, 1, 2 ) y luego
2
2
2
1
5 −3
r r 3
3
su norma dada por u× v =
(1) 2 + (1) 2 + ( 2) 2 =
6.
2
2
3
Así, el área del paralelogramo es A =
6
2
FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS
Especialista de contenido: Alejandra Lameda G.
Evaluadora: Florymar Robles
“IV premio Educa 2011, en Honor a la Excelencia Educativa” Cartagena de Indias, Colombia. 2011