jul - IMERL

Examen de Cálculo 1
Curso 2010
24 de julio de 2010.
Apellido y nombre
Cédula de Identidad
N. Parcial
El examen es sin material y no se puede usar calculadora. La duración es de 4 horas.
Puntaje: Los ejercicios 1. y 2. valen 10 puntos cada uno, los ejercicios 3. y 4. valen 30 puntos
cada uno y el ejercicio 5. vale 20 puntos. Se aprueba el examen con 60 puntos.
Ejercicio 1.
Se considera la rotación dada por f (z) = iz + 2 − 4i.
El centro de giro (en forma binómica) es:
y el ángulo de giro es:
Ejercicio 2.
Sea an una sucesión de reales. Por definición de lı́mite, sabemos que lı́mn→∞ an = l significa
1 − 4n
que ∀ ε > 0 ∃ N > 0 tal que si n > N entonces |an − l| < ε. Sea an =
.
1+n
a) Hallar l.
b) Para ε = 1/10, hallar el menor valor posible de N.
Ejercicio 3.
a) Para a < b, demostrar que si f es integrable en [a, b] y h ≤ f (x) ≤ H, ∀ x ∈ [a, b], entonces
Rb
f (x)dx = (b − a)µ para un cierto µ ∈ [h, H].
a
Rb
b) Demostrar que si f es continua en [a, b] entonces a f (x)dx = (b − a)f (ξ) para un cierto
ξ ∈ [a, b]; ver con un ejemplo que la continuidad es esencial.
c) De un modo más general si f es continua en [a, b] y g es continua y positiva en [a, b]
Rb
Rb
demostrar que a f (x)g(x)dx = f (ξ) a g(x)dx para un cierto ξ ∈ [a, b].
Ejercicio 4.
Sea g : R → R una función continua NO derivable en 0.
a) Si f (x) = xg(x), probar que existe f ′ (0) y hallar el valor de esta derivada.
b) Si la función g tiene derivada continua y acotada en R \ 0, probar que f tiene derivada
continua en cualquier punto.
c) Enunciar y demostrar el teorema del valor medio de Lagrange (si se hace uso del Teorema
de Rolle, el mismo deberá enunciarse, no siendo necesaria su demostración).
d) Sea f (x) = x|x|. Hallar, si existe, c ∈ (−1, 2) tal que f (2) − f (−1) = f ′ (c)(2 + 1).
Ejercicio 5.
a) Analizar si las siguientes integrales impropias, para k ∈ N, k ≥ 1, son convergentes y en
caso afirmativo calcularlas:
Z +∞
log x
dx.
xk
1
b) Analizar para qué valores de k es convergente la siguiente serie:
∞
X
n=1
k
(e(log n)/n − 1).