1 PRÁCTICA 6 1 Sabiendo que: Z 1 f (x) dx = 2 2 Z Z g(x) dx = −1 utilizar las propiedades de la integral definida para evaluar: a) R2 c) R0 0 2 f (x) dx b) R2 g(x) dx d) R1 2 Encontrar G0 (x) para las siguientes: Rx a) G(x) = 0 (t2 + t)dt Rx b) G(x) = 0 (sin(u))4 tan(u)du si R 1 2√ c) G(x) = x x u2 + 1du (f (x) + 2g(x)) dx 0 0 (2f (x) + 3g(x) − 4) dx = 1 −π/2 ≤ x ≤ π/2 3 Calcular la recta tangente al gráfico de G en x = 1, siendo: Z x2 −x G(x) = f (t) dt y f (0) = 4 0 4 Hallar los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba siendo f : Z x 1+t f (x) = dt 2 0 1+t 5 Calcular las siguientes integrales: Z 2 √ (x + x) dx 3 1) Z 1 Z π 2 (3t −2 sen(t)) dt Z 0 3 2 dx x−1 3 2 dx (x − 1)5 4) 0 5) x4 − 2x3 + 1 dx x2 1 3) Z 2 2) 2 1 1 3 + 2 dx x +1 x Z 6) 2 2 g(x) dx = 4 0 0 0 0 1 Z f (x) dx = 3 2 6 Calcular R4 0 f (x)dx para las siguientes: a) f (x) =| x − 2 | b) f (x) = x | x − 2 | c) f (x) =| x2 − 4 | d) f (x) = x2 x 0≤x≤2 2≤x≤4 si si 7 Sean f una función derivable y tal que f (− 14 ) = 1 y G la función definida por: Z x2 −x f (t) dt G(x) = 0 1 Probar que G tiene un extremo local en x = . ¿Es un máximo o un mı́nimo? 2 8 Sea f una función continua que satisface: Z x f (t)dt = x2 (1 + x) 0 Calcular f (2) 9 Dada la función:f (x) = x + Rx 0 2 dt e−t , x ∈ |R: a) Probar que f tiene un mı́nimo relativo en x = 0. b) Calcular lı́m x→0 1 + x − f (x) 1 − e−x2 10 a) Comprobar que: sen3 x es una primitiva de f (x) = (sen(x))2 cos(x) y encontrar el valor 3 medio en el intervalo: [0, π] b) Comprobar que √ x2 + 16 es una primitiva de f (x) = √ medio en el intervalo: [0, 3] x y encontrar el valor + 16 x2 3 11 Utilizar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad: Z 1 1 dx 2 √ ≤√ ≤ 3 2 2 + x − x2 0 12 Dibujar la región limitada por las gráficas de las funciones dadas y calcular su área: a) f (x) = x2 − 6x g(x) = 0 b) f (x) = x2 + 2x + 1 g(x) = 2x + 5 c) f (x) = x2 − 4x + 3 g(x) = −x2 + 2x + 3 d) f (x) = ex x=0yx=3 e) f (x) = 3(x3 − x) g(x) = 0 f) f (x) = (x − 1)3 g(x) = x − 1 g) f (x) =| x | g(x) = x2 − 1 h)f (x) = 2 | x − 1 | g(x) = −2x2 − x + 12 i)f (x) = x2 , la recta tangente a f en x = 1 y la recta y = −2x + 15 j) f (x) = x3 x=0 y=8 R2 13 a) Hallar una función f 6= 0 tal que: 0 f (x)dx = 0 b) Hallar a 6= 0 de manera que: Ra 0 cos x dx = 0 c) ¿Es posible hallar f sabiendo que g(x) = x3 − ex es una primitiva? d) ¿ Es posible hallar a de manera que R −3 a x2 dx < 0?