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PRÁCTICA 6
1 Sabiendo que:
Z 1
f (x) dx = 2
2
Z
Z
g(x) dx = −1
utilizar las propiedades de la integral definida para evaluar:
a)
R2
c)
R0
0
2
f (x) dx
b)
R2
g(x) dx
d)
R1
2 Encontrar G0 (x) para las siguientes:
Rx
a) G(x) = 0 (t2 + t)dt
Rx
b) G(x) = 0 (sin(u))4 tan(u)du
si
R 1 2√
c) G(x) = x x u2 + 1du
(f (x) + 2g(x)) dx
0
0
(2f (x) + 3g(x) − 4) dx = 1
−π/2 ≤ x ≤ π/2
3 Calcular la recta tangente al gráfico de G en x = 1, siendo:
Z
x2 −x
G(x) =
f (t) dt
y
f (0) = 4
0
4 Hallar los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba siendo f :
Z x
1+t
f (x) =
dt
2
0 1+t
5 Calcular las siguientes integrales:
Z
2
√
(x + x) dx
3
1)
Z
1
Z
π
2
(3t −2 sen(t)) dt
Z
0
3
2
dx
x−1
3
2
dx
(x − 1)5
4)
0
5)
x4 − 2x3 + 1
dx
x2
1
3)
Z
2
2)
2
1
1
3 + 2
dx
x +1
x
Z
6)
2
2
g(x) dx = 4
0
0
0
0
1
Z
f (x) dx = 3
2
6 Calcular
R4
0
f (x)dx para las siguientes:
a)
f (x) =| x − 2 |
b)
f (x) = x | x − 2 |
c)
f (x) =| x2 − 4 |
d)
f (x) =
x2
x
0≤x≤2
2≤x≤4
si
si
7 Sean f una función derivable y tal que f (− 14 ) = 1 y G la función definida por:
Z
x2 −x
f (t) dt
G(x) =
0
1
Probar que G tiene un extremo local en x = . ¿Es un máximo o un mı́nimo?
2
8 Sea f una función continua que satisface:
Z x
f (t)dt = x2 (1 + x)
0
Calcular f (2)
9 Dada la función:f (x) = x +
Rx
0
2 dt
e−t
, x ∈ |R:
a) Probar que f tiene un mı́nimo relativo en x = 0.
b) Calcular lı́m
x→0
1 + x − f (x)
1 − e−x2
10 a) Comprobar que:
sen3 x
es una primitiva de f (x) = (sen(x))2 cos(x) y encontrar el valor
3
medio en el intervalo: [0, π]
b) Comprobar que
√
x2 + 16 es una primitiva de f (x) = √
medio en el intervalo: [0, 3]
x
y encontrar el valor
+ 16
x2
3
11 Utilizar el teorema del valor medio para probar la siguiente desigualdad:
Z 1
1
dx
2
√
≤√
≤
3
2
2 + x − x2
0
12 Dibujar la región limitada por las gráficas de las funciones dadas y calcular su área:
a) f (x) = x2 − 6x
g(x) = 0
b) f (x) = x2 + 2x + 1
g(x) = 2x + 5
c) f (x) = x2 − 4x + 3
g(x) = −x2 + 2x + 3
d) f (x) = ex
x=0yx=3
e) f (x) = 3(x3 − x)
g(x) = 0
f) f (x) = (x − 1)3
g(x) = x − 1
g) f (x) =| x |
g(x) = x2 − 1
h)f (x) = 2 | x − 1 |
g(x) = −2x2 − x + 12
i)f (x) = x2 , la recta tangente a f en x = 1 y la recta y = −2x + 15
j) f (x) = x3
x=0
y=8
R2
13 a) Hallar una función f 6= 0 tal que: 0 f (x)dx = 0
b) Hallar a 6= 0 de manera que:
Ra
0
cos x dx = 0
c) ¿Es posible hallar f sabiendo que g(x) = x3 − ex es una primitiva?
d) ¿ Es posible hallar a de manera que
R −3
a
x2 dx < 0?
0
