Práctico 1: Conceptos básicos de funciones

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Matemática I. Curso 2013
Primer semestre
Práctico 1: Conceptos básicos de funciones
1. Dibujar y escribir los dominios de las siguientes funciones
a) f (x) = log(x2 + 1)
√
d) f (x) = e
1
b) f (x) = log(x + 1)
x
e) f (x) =
c) f (x) = e x
√
√
x+ x−1
f)f (x) =
x2
−3
.
+ 3x + 2
2. Afirmar cuales de las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
a) f : [0, 1] → [0, 1] dada por f (x) = x2 .
b) f : [−1, 1] → [0, 1] dada por f (x) = x2 .
c) f : [0, 2] → [0, 5] dada por f (x) = x2 .
d ) f : R → R dada por f (x) = x3 .
e) f : [0, 1] → [1, e + 2] dada por f (x) = ex .
f ) f : [0, 4] → [0, 4] dada por f (x) = |2x − 4|.
3. Sea f : A → B dada por f (x) = ex la función exponencial. Indicar el máximo dominio y
recorrido de la función. En caso de existir la función inversa f −1 , ¿cuál es?
4. Sea f : [a, +∞) → [b, +∞), dada por f (x) = (x − 1)2 . Hallar a, b ∈ R de manera tal que
f sea una función biyectiva. Hallar f −1 y graficarla.
5. Sea f : (0, +∞) → (0, +∞), dada por f (x) = 1/x.
a) Probar que f es biyectiva.
b) Hallar f −1 y graficarla.
6. Sea f : R → R dada por f (x) = x + 1. Hallar
n
a) f ◦ f
b) f ◦ f ◦ f
z }| {
c) f ◦ · · · ◦ f (n veces).
7. Sean f, g : R → R dadas por f (x) = x + 1 y g(x) = x − 1. Hallar f ◦ g y g ◦ f .
8. Sean f, g : R → R dadas por f (x) = kx y g(x) = x2 + x + 1.
a) Hallar f ◦ g y g ◦ f .
b) Para qué valores de k ∈ R se tiene f ◦ g = g ◦ f ?
9. Hallar la composición f ◦ g y g ◦ f para las siguientes funciones:
a) f, g : R → R dadas por
2
f (x) = x ,
g(x) =
1
2 si x < 0, x > 1
0 si 0 ≤ x ≤ 1
b) f, g : R → R dadas por
2
f (x) = x ,
g(x) =
2 si x < −4, x > 4
0 si −4 ≤ x ≤ 4
10. Se considera la siguiente función g : {1, 2, 3, 4} 7→ {1, 2, 3, 4} tal que g(x) = resto de dividir
3x entre 5, donde con dividir nos referimos a la división entera (la que aprendimos en la
escuela).
a) ¿Cuánto vale g(1)? ¿Y g ◦ g(3)?
b) Investigar si g es sobreyectiva.
c) En el caso de que sea inyectiva, ¿cuánto vale g −1 (1)?
11. Sea f : A 7→ B una función. Negar las siguientes afirmaciones:
a) ∀ b ∈ B, existe a ∈ A tal que f (a) = b.
b) ∀ a, a0 ∈ A, a 6= a0 se tiene que f (a) 6= f (a0 ).
Si ahora A = B = R, negar las siguientes afirmaciones:
c) Para todo a y a0 reales se tiene que f (a + a0 ) = f (a) + f (a0 ).
d ) Existen a, b ∈ R tales que f (ab) = f (a)f (b).
12. Sea f : I 7→ R una función real, donde I es un intervalo abierto y sea a ∈ I.
a) Escribir la definición de que el lı́mite de una función f cuando x → a es un número
real L.
b) Escribir qué significa que la función f no tienda a L cuando x → a.
c) Mostrar que si existe el lı́mite es único.
d ) Supongamos ahora que I = R. Repetir las partes 1, 2 y 3 pero para la definición de
que el lı́mite de f cuando x → ±∞ es un número real L.
13. Sea
f (x) =
2x − 1
.
x+1
a) Hallar dominio de f .
b) Calcular lı́mx→+∞ f (x), lı́mx→−∞ f (x).
c) Sea a ∈ R tal que a no pertenece al dominio de f . Calcular lı́mx→a+ f (x), lı́mx→a− f (x)
14. Calcular
a)
b)
lı́m x2 y lı́m x2 .
x→+∞
x→−∞
3
lı́m x y lı́m x3
x→+∞
x→−∞
c) Generalizar para xn discutiendo el caso que n sea par o impar.
2
15. En el curso se aceptará que algunos lı́mites son conocidos, por ejemplo:
ex − 1
= 1,
x→0
x
lı́m
ln(1 + x)
= 1,
x→0
x
1
lı́m (1 + x) x = e,
sen x
= 1.
x→0 x
lı́m
x→0
lı́m
Calcular:
x2 + 1
x→+∞ x2 − 1
b) lı́m
c) lı́m x3 + x2
sen 2x
x→0
x
f) lı́m ex (x3 − 2x + 1)
g) lı́m
a) lı́m
e) lı́m
i) lı́m
x→1+
x2 + x − 2
x−1
x2 + 2x + 1
x→1
x2 − 1
x→−∞
x→+∞
x−9
j) lı́m √
x→9
x−3
3
x→1+
1
x−1
log(2x3 + 1)
x→0
x3
d) lı́m
h) lı́m
x→1−
1
x−1