Examen de cálculo integral. Curso 2006/07

Recuperación 2ª evaluación. 16 de abril de 2007
Opción A
Ejercicio 1.
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Las gráficas de f ( x ) = x
2
y g ( x ) = cx , siendo c > 0 , se cortan en los puntos ( 0, 0 ) y en
3
⎛1 1 ⎞
⎜ , 2 ⎟ . Determinar c de manera que la región limitada entre esas gráficas y sobre el intervalo
⎝c c ⎠
2
⎡ 1⎤
⎢⎣ 0, c ⎥⎦ tenga área 3 .
Solución:
A=
2
3
1
1
⎡ x 3 ⎤ c ⎡ cx 4 ⎤ c
A = ∫ x 2 dx − ∫ cx 3 dx = ⎢ ⎥ − ⎢
⎥ =
0
0
⎣ 3 ⎦0 ⎣ 4 ⎦0
1
1
1
1
c
= 3− 4 = 3− 3=
3c 4c
3c 4c 12c 3
1
1
c
c
y = cx3
y = x2
1
2
1
1
=
⇒ c3 = ⇒ c =
3
12c
3
8
2
Ejercicio 2.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
∫x
2
5x + 4
dx
− 4 x + 13
b)
∫ x⋅7
x2
dx
Solución:
5x + 4
x
x−2+2
1
x−2
1
1
∫ x2 − 4 x + 13 dx = 5∫ x2 − 4 x + 13 dx + 4∫ x2 − 4 x + 13 dx = 5∫ x2 − 4 x + 13dx + 4∫ x2 − 4 x + 13dx = 5∫ x2 − 4 x + 4 + 9 dx + 14∫ x2 − 4 x + 13dx =
5
2x − 4
1
5
5
14
dx
dx + 14∫ 2
dx = ln ( x 2 − 4 x + 13) + 14∫
ln ( x 2 − 4 x + 13) + ∫
2 =
2 ∫ x 2 − 4 x + 13
x − 4x + 4 + 9
2
2
9
9 + ( x − 2)
5
14
ln ( x 2 − 4 x + 13) + ∫
2
3
∫ x⋅7
x
2
dx =
1
dx
2 =
( x − 2)
1+
9
1
5
14
x−2
3
+C
dx = ln ( x 2 − 4 x + 13) + arctg
2
2
3
3
⎛ x−2⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
(2 x ln 7) ⋅ 7
2 ln 7 ∫
x
2
dx =
1
2 ln 7
2
⋅ 7x + C
puesto que si y = 7 x ⇒ y′ = 7 x ⋅ 2 x ln 7
2
2
Ejercicio 3.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
(
)
Esbozar la gráfica de f ( x ) = x − x e y calcular el área de la región limitada por la curva
2
x
y = f ( x ) y el eje OX.
Solución:
(
)
f ( x) = x − x e
2
x
Domf = \
Cortes con los ejes ⇒ OX : ( 0 , 0 ) y (1, 0 ) ; OY : ( 0 , 0 )
No es simétrica.
y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞
(
)
(
y′ = x + x − 1 e ;
2
En x =
−1 − 5
)
y ′′ = x + 3 x e
x
2
x
hay un máximo, en x =
−1 +
2
5
hay un mínimo, en x = 0 y en x = −3 hay puntos de inflexión.
2
⎛
f ( x ) es creciente en ⎜ −∞ ,
−1 − 5 ⎞
⎝
2
⎛ −1 + 5 ⎞
, ∞ ⎟ . f ( x ) es decreciente en
⎟∪⎜
⎠ ⎝ 2
⎠
⎛ −1 − 5 −1 + 5 ⎞
,
⎜
⎟
2
⎝ 2
⎠
A = − ∫ ( x 2 − x ) e x dx = − ⎡⎣( x 2 − 3 x + 3) e x ⎤⎦ = − [ e − 3] = e − 3
∫(x
1
1
0
0
− x ) e x dx = ( x 2 − x ) e x − ∫ ( 2 x − 1) e x dx = ( x 2 − x ) e x − ⎡( 2 x − 1) e x − ∫ 2e x dx ⎤ = ( x 2 − x ) e x − ( 2 x − 1) e x + 2e x = ( x 2 − 3 x + 3) e x
⎣
⎦
⎧⎪u = x 2 − x , du = ( 2 x − 1) dx ⎪⎫ ⎧u = 2 x − 1, du = 2dx ⎫
⎨
⎬, ⎨
⎬
x
x
x
x
⎪⎭ ⎩dv = e dx , v = e
⎭
⎩⎪dv = e dx , v = e
2
Ejercicio 4.
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los puntos donde se anula la derivada de la función f ( x ) = −2 x +
∫
2x
0
e
(t
2
−10 t + 24
) dt .
Solución:
Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral obtenemos:
f ′ ( x ) = −2 + 2e(4 x
2
− 20 x + 24)
⇒ − 2 + 2e(4 x
2
− 20 x + 24)
= 0 ⇒ e(4 x
2
− 20 x + 24)
⎧x = 2
= 1 ⇒ 4 x 2 − 20 x + 24 = 0 ⇒ ⎨
⎩x = 3
Opción B
Ejercicio 1.
(Puntuación máxima: 2 puntos)
∫
Calcula el valor de la integral
0
3
x 1 + x 2 dx
Solución:
3
∫
3
0
x 1 + x 2 dx =
1 3
(1 + x2 )
2 ∫0
1
⎡ 1 + x2 32 ⎤
3
(
)
1
1⎡
1
7
2 3⎤
2
⎢
⎥
⋅ 2 xdx =
= ⎢ (1 + x ) ⎥ = ⎡ 43 − 1⎤ =
⎥
⎦ 3
2⎢ 3
3⎣
3⎣
⎦0
2 ⎦⎥ 0
⎣⎢
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
′
f
x
f
x
dx
⎡
⎤
⋅
=
(
)
(
)
∫⎣ ⎦
n +1
n
Ejercicio 2.
n +1
+C
(Puntuación máxima: 3 puntos)
x
y calcular el área de la región limitada por la curva y = f ( x ) ,
x −1
1
1
, x= .
el eje OX y las rectas x = −
2
2
Esbozar la gráfica de
f ( x) =
2
Solución:
x
f ( x) =
x −1
2
Domf = ( −∞ , − 1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, ∞ )
Cortes con los ejes. OX , OY en ( 0 , 0 )
f ( x ) es simétrica con respecto al origen de coordenadas, función impar .
Asíntotas verticales : x = −1 , x = 1. Asíntota horizontal x = 0
y′ =
−1 − x
(x
2
2
)
−1
2x + 6x
3
2
,
y ′′ =
(x
2
)
−1
3
No hay máximos ni mínimos. En x = 0 hay un punto de inflexión. La función es siempre decreciente.
A1 = A2 ⇒ A = 2 A1
A = 2∫
0
− 12
0
0
x
2x
3
4
2
⎡
⎤
dx
dx
ln
x
1
=
=
−
= 0 − ln = − ( ln 3 − ln 4 ) = ln 4 − ln 3 = ln
2
2
∫
1
1
⎣
⎦
−
−
2
2
x −1
x −1
4
3
Ejercicio 3.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
∫ ( ln x )
2
∫ sen
b)
dx
2
sen x
dx
x + 2 cos 2 x
Solución:
∫ ( ln x )
2
1
1 ⎤
2
2
2
⎡
dx = x ⋅ ( ln x ) − ∫ x ⋅ 2 ln x ⋅ dx =x ⋅ ( ln x ) − 2 ∫ ln x ⋅ dx =x ⋅ ( ln x ) − 2 ⎢ x ln x − ∫ x ⋅ dx ⎥ = x ⋅ ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C
x
x ⎦
⎣
↑
↑
2
1
2
⎧
⎫
⎪u = ( ln x ) , du = 2 ln x ⋅ ⋅ dx ⎪
x
⎨
⎬
⎪⎩dv = dx , v = x
⎪⎭
senx
∫ sen x + 2 cos
2
2
x
dx = ∫
1
⎧
⎫
⎪u = ln x , du = ⋅ dx ⎪
x
⎨
⎬
⎪⎩dv = dx , v = x
⎪⎭
senx
senx
1
dx = ∫
dx = − ∫
dt = − arctgt = −arctg ( cos x ) + C
2
2
1 − cos x + 2 cos x
1 + cos x
1 + t2
↑
2
cos x = t ⇒ − senx ⋅ dx = dt ⇒ senx ⋅ dx = −dt
Ejercicio 4.
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular el área del recinto limitado por las curvas
y = x3 − 3 x + 8 , y = −3x , y las verticales
x = −3 , x = 0 .
Solución:
Las curvas y = x3 − 3 x + 8 , y = −3x se cortan en x = −2
y = x3 − 3x + 8
A = A1 + A2
A=∫
−2
−3
( −3x − x
3
+ 3 x − 8 ) dx + ∫
0
−2
(x
3
− 3 x + 8 + 3 x ) dx =
−2
0
⎡ x4
⎤
⎡ x4
⎤
= ∫ ( − x − 8 ) dx + ∫ ( x + 8 ) dx = ⎢ − − 8 x ⎥ + ⎢ + 8 x ⎥ =
−3
−2
⎣ 4
⎦ −3 ⎣ 4
⎦ −2
−2
x = −3
3
0
3
⎡
81
⎛ 81
⎞⎤
⎢ −4 + 16 − ⎜ − 4 + 24 ⎟ ⎥ + ⎡⎣ 0 − ( 4 − 16 ) ⎤⎦ = 4
⎝
⎠⎦
⎣
y = −3 x