Ecuaciones trigonométricas

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplos
Encuentre el conjunto solución en el intervalo
siguientes ecuaciones trigonométricas:
0,2  para cada una de las
1. 2 tan x  3  tan x
Solución
A
Se despeja la tangente.
2 tan x  3  tan x
 2 tan x  tan x  3
 tan x  3

3
4
x
3
B
Como es positiva debe ubicarse en
el los cuadrantes I o III.
x
C
Se da el conjunto solución.
  4 
S ,

3 3 
2. tanx  2  tanx .
Solución
A
Se despeja la tangente.
tan x  2  tan x
 tan x  tan x  2
 2 tan x  2
 tan x  1
B
Se aplica la identidad por cociente
para tangente.
tan x  1
senx
1
cos x
 senx  cos x


4
5
x
4
C
Si ambos son positivos se ubican
en el I cuadrante y si ambos son
negativos se ubican en el III
cuadrante.
x
D
Se da el conjunto solución.
  5 
S , 
4 4 
3. cos x  1  1
Solución
A
Se despeja el coseno.
cos x  1  1
 cos x  1  1
 cos x  0

2
3
x
2
B
El coseno se hace 0 en los

múltiplos impares de .
2
x
C
Se da el conjunto solución.
  3 
S , 
2 2 
4. cos x  2  cos x
Solución
A
Se despeja el coseno.
cos x  2  cos x
 cos x  cos x  2
 2 cos x  2
 cos x 
B
Como es positivo debe ubicarse en
los cuadrantes I o IV.

4
7
x
4
x
2
2
C
Se da el conjunto solución.
  7 
S , 
4 4 
5. 2senx  1
Solución
A
Se despeja el seno.
2senx  1
1
 senx 
2
B
Como es negativo debe ubicarse en
los cuadrantes III o IV.
x
C
Se da el conjunto solución.
 7 11 
S ,

6 
6
6.
7
6
11
x
6
3 tan x  1  0
Solución
A
Se despeja la tangente.
3 tan x  1  0

3 tan x  1
1
 tan x 
3
5
6
11
x
6
B
Como es negativa debe ubicarse en
los cuadrantes II o IV.
x
C
Se da el conjunto solución.
5 11 
S ,

6 
6
7. 3csc x  2  senx
Solución
A
Se aplica la identidad por cociente 3 csc x  2  senx
para el seno y se simplifica la
1
 3
 2  senx
expresión.
senx
3
 2  senx
senx
3  2senx

 senx
senx
 3  2senx  sen2x

B
Se factoriza.
3  2senx  sen2x
 0  sen2x  2senx  3
 0   senx  1  senx  3
C
Se busca dónde se hace 0 el primer
factor.
senx  1  0
 senx  1
3
x
2
D
Se busca dónde se hace 0 el
segundo factor.
senx  3  0
 senx  3
 No tiene solución
porque el ámbito de seno es  1,1
E
Se da el conjunto solución.
 3 
S 
2
8.
 csc x  2 sen2x  1  0
Solución
A
Se busca dónde se hace 0 el primer
factor.
csc x  2  0
 csc x  2
1
 2
senx
1
 senx 
2

7
6
11
x
6
B
Como es negativo debe ubicarse en
los cuadrantes III o IV.
x
C
Se busca dónde se hace 0 el
segundo factor.
sen2x  1  0
 sen 2 x  1
 senx  1

2
3
x
2
D
Se buscan los valores usando la
circunferencia trigonométrica.
x
E
Se da el conjunto solución.
  7 3 11 
S ,
,
,

6 
2 6 2
Ejercicios
Encuentre el conjunto solución en el intervalo
siguientes ecuaciones trigonométricas:
1. 2  cos x  3cos x
2. senx  1  1
3. 2  3 tan   3
4. senx 2 cos x  1  0
5.

3  tan   2 tan   3

6. cos2 x  sen2x  senx  1
2
7.
1  cos x 1  cos x   1  cos x
8. 2sen2x  3cos x
9. 4senx  csc x
0,2  para cada una de las
Soluciones
1.
A
Se despeja el coseno.
2  cos x  3 cos x
  cos x  3 cos x  2
 4 cos x  2
 cos x 
B
C
1
2
Se buscan los valores usando la
circunferencia trigonométrica.
x0
Se da el conjunto solución.
S  0,2
x  2
2.
A
Se despeja el seno.
senx  1  1
 senx  0
B
C
El seno se hace 0 en los múltiplos
de  .
x0
Se da el conjunto solución.
S  0, 
x
3.
A
Se despeja la tangente.
2  3 tan   3
 3 tan   1
1
 tan  
3

6
7
x
6
B
Como es positiva debe ubicarse en
los cuadrantes I o III.
x
C
Se da el conjunto solución.
  7 
S , 
6 6 
4.
A
Se factoriza.
2senx cos x  senx
 2senx cos x  senx  0
 senx 2 cos x  1  0
B
C
Se busca dónde se hace 0 el primer
factor.
senx  0
Se busca dónde se hace 0 el
segundo factor.
2 cos x  1  0
x0ox
 2 cos x  1
 cos x 
x
E
Se da el conjunto solución.
1
2

5
ox
3
3
5 
 
S  0, , , 
3
 3
5.
A
Se despeja la tangente.

3  tan   2 tan   3

 3  tan   2 tan   2 3
 tan   2 tan   2 3  3
  tan   3
 tan    3
2
3
5
x
3
B
Como es negativa debe ubicarse en
los cuadrantes II o IV.
x
C
Se da el conjunto solución.
 2 5 
S , 
3 3
6.
A
Se aplica la identidad pitagórica y
se despeja el seno.
cos2 x  sen2x  senx 
 1  senx 

1
2
1
2
1
 senx
2

6
5
x
6
B
Como es positivo debe ubicarse en
los cuadrantes II o III.
x
C
Se da el conjunto solución.
  5 
S , 
6 6 
Se factoriza.
1  cos x  1  cos x   1  cos x
7.
A
 1  cos2 x  1  cos x
 1  cos2 x  1  cos x  0
 cos x 1  cos x   0
B
C
Se busca dónde se hace 0 el primer
factor.
cos x  0
x

3
ox
2
2
Se busca dónde se hace 0 el 1  cos x  0
segundo factor.
 cos x  1
x0
D
Se da el conjunto solución.
  3 
S  0, , 
 2 2
8.
A
Se factoriza.
2sen2x  3 cos x


 2 1  cos2 x  3 cos x
 2  2 cos2 x  3 cos x
 0  2 cos2 x  3 cos x  2
 0   cos x  2  2 cos x  1
B
Se busca dónde se hace 0 el
primer factor.
cos x  2  0
 cos x  2
 No tiene solución
porque el ámbito de coseno es  1,1
C
Se busca dónde se hace 0 el
segundo factor.
2 cos x  1  0
 cos x 
x
D
Se da el conjunto solución.
1
2
2
4
ox
3
3
 2 4 
S ,

3 3
9.
4senx  csc x
1
 4senx 
senx
2
 4sen x  1
1
 sen2x 
4
1
 senx  
2
A
Se despeja el seno.
B
Como puede ser negativo o positivo
se ubica en cualquiera de los
cuadrantes.
x
C
Se da el conjunto solución.
  5 7 11 
S ,
,
,

6 
6 6 6

6
5
x
6
7
x
6
11
x
6