Ecuaciones de Estado. Condiciones de Frontera

Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Ecuaciones generales
Modelo de Maxwell
•
•
•
•
•
•
•
•
Introducción
Fuentes de campo:
Carga eléctrica. Corriente eléctrica.
Ecuación de continuidad.
Definición del campo electromagnético.
Ecuaciones de Maxwell.
Forma Integral. Forma diferencial
Ecuaciones de estado.
– Influencia sobre los materiales.
– Clasificación de medios.
– Ley de Ohm. Constante de relajación.
• Condiciones en las interfases.
• Linealidad de las ecuaciones de Maxwell.
• Balance energético: Teorema de Poynting.
EyM 2b-1
J.L. Fernández Jambrina
Ecuaciones de Estado
• Incorporan en el modelo de Maxwell el efecto del medio.
r
r
• Los vectores D y B incluyen el efectordel rmedio y son función del
medio y, en general, de los vectores E y H .
(
r r
r r
D = D medio, E , H
)
(
r r
r r
B = B medio, E , H
)
• En la mayor parte de los medios:
(
r r
r
D = D medio, E
)
• En el vacío:
r
r
D = ε0 E
r
r
B = µ0 H
ε0 ≈
(
r r
r
B = B medio, H
)
1
= 8,854 ⋅ 10−12 (F m )
4π ⋅ 9 ⋅ 109
µ0 = 4π ⋅ 10− 7 ≈ 1,257 ⋅ 10 −8 (H m )
1
≈ 3 ⋅ 108 (m s )
ε 0µ 0
se acostumbra a expresar las ecuaciones de estado como:
r
r
D = εE
r
r
B = µH
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
(
(
)
)
r
ε = ε medio, E = permitividad dielectrica
r
µ = µ medio, H = permeabilidad magnetica
EyM 2b-2
1
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Influencia de los campos sobre los materiales
• Considerando un medio como una distribución de cargas en el vacío.
– En reposo estas cargas (ligadas) se cancelan.
r
– En presencia de un campo E , se modifica su posición relativa, no se
cancelan: El medio se polariza.
r
E=0
-
+
+
-
-
+
-
+
r
E≠0
+
-
+
+
+
-
+
+
-
+
+
• Considerando un medio como una distribución de corrientes en el
vacío.
– En reposo las corrientes (ligadas) se cancelan.
r
– En presencia de un campo H , se modifican y no se cancelan: El medio
se magnetiza.
r
B≠0
r
B=0
EyM 2b-3
J.L. Fernández Jambrina
Influencia sobre los materiales: Polarización
r
• En una región vacía existe un campo E0 .
– Se verifica:
(
)
r
∇ ⋅ ε 0 E0 = ρ
r
E0
• Si la región se rellena con un material
r
que se polariza, ρligada , el campo ahora será E .
( )
r
– Se verifica:
∇ ⋅ ε 0 E = ρ + ρligada r
r
E
– Definiendo el vector polarización, P , como:
r
r r
∇ ⋅ P = −ρligada ⇒ ∇ ⋅ ε0 E + P = ρ
+
+
r
r
r r
r
– Definiendo D como: D = ε0 E + P ⇒ ∇ ⋅ D = ρ
r
El vector D permite olvidar las cargas ligadas.
r
r
r
– P se relaciona con el campo a
P = χ eε 0 E
través de la susceptibilidad
eléctrica:
r
e
e
e
e
– En general χ = χ medio, E , aunque en los medios lineales χ = χ (medio )
r r
r
r
r
r
r
r
D = D0 + P = ε0 E + χe ε0 E = 1 + χe ε0 E = ε r ε0 E = εE
123
εr
» ε r = permitividad o constante dieléctrica relativa.
EyM 2b-4
(
(
)
)
(
)
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Grupo 21.1
2
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Influencia sobre los materiales: Magnetización
r
B0
r
• En una región vacía existe un campo B0 .
r
r
r
– Se verifica: ∇ × B0 µ 0 = J + ∂D0 ∂t
• Si la región se rellena
r con un material
r
que se magnetiza, J ligada , el campo ahora será: B
r
r r
r
r
∇ × B µ 0 = J + J ligada + ∂D ∂t
B
r
– Definiendo
r elr vector magnetización,
r
r
rM , como:
r
∇ × M = rJ ligada ⇒ ∇ × B µ 0 − M = J + ∂D ∂t
– Definiendo
r r H como:
r
r r
r
H = B µ 0 − M ⇒ ∇ × H = J + ∂D ∂t
r
El uso del vector H permite olvidar las corrientes ligadas.
r
r
r
r
χm B
m
– M está relacionado con el campo a
M =χ H =
1 + χm µ0
través de la susceptibilidad magnética:
r
m
m
m
m
– En general χ = χ medio, H , aunque para medios lineales: χ = χ (medio)
r
r r
r
r
r
r
r
B = µ 0 H + M = µ 0 H + χ m H = 1 + χ m µ 0 H = µ r µ0 H = µH
123
µ
– µ r = permeabilidad magnética relativa. r
EyM 2b-5
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(
(
(
)
)
(
)
) (
)
Influencia sobre los Materiales: Resumen
• Un medio se puede representar de las siguientes
formas:
ε 0 ,µ 0
r
– Por sus distribuciones ligadas, ρligada y J ligada :
ε0 , µ0
r
ρ, J
r
ρligada , J ligada
r
r
r
r
r
∂
ε
E
0 0
∇ × µ 0−1B = J + J ligada +
+ J D ,ligada
∂t
r
r
– Por su polarización, P , y su magnetización, M :
ε0 , µ 0
ε0 , µ0
r
r
r
r
r
r r
r ∂ ε 0 E0 + P
ρ, J
−1
∇ ⋅ ε 0 E0 + P = ρ ∇ × µ 0 B − M = J +
r r
∂t
P, M
(
)
(
r
∇ ⋅ ε 0 E0 = ρ + ρligada
(
)
(
(
)
)
(
)
)
– Por su permitividad, ε, y su permeabilidad,
µ, junto
r
r
con los campos auxiliares D y H :
r
ε0 , µ0
r
r r ∂D
∇⋅D = ρ ∇× H = J +
∂t
ε, µ
r
ρ, J
esta es la opción preferida en esta asignatura.
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Grupo 21.1
EyM 2b-6
3
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Clasificación de los medios
• Según su respuesta al campo electromagnético los medios se
clasifican en:
– Homogéneos: todos los puntos tienen las mismas propiedades.
r
r r
r
» ε y µ no dependen de la posición:
D = εE B = µH
– No homogéneos: sus propiedades varían de punto a punto
r
r r r
r r
» ε y µ son función de la posición:
D = ε(r )E B = µ(r )H
– Isótropos: sus propiedades no dependen de la dirección del campo.
r
r r
r
» ε y µ son escalares:
D = εE B = µH
– Anisótropos: sus propiedades dependen de la dirección del campo.
r
r r
r
» ε y µ son tensores (matrices)
D = εE B = µH
– Lineales: sus propiedades no dependen del valor del campo.
r
r r
r
D = εE B = µH
– No lineales: sus propiedades dependen del valor del campo.
r
r r
r r
r r
r
» D = ε E , ∂E ∂t ,L E B = µ H , ∂H ∂t ,L H
(
)
(
)
EyM 2b-7
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Ohm generalizada.
• Existe una relación adicional similar a las ecuaciones de estado:
La Ley de Ohm generalizada:
•
σ= Conductividad (mho · m) = 1/ρ
r
r
J = σE
1 mho = 1S = 1Siemens = 1
= 1 1Ω
– mho = Ohm al revés
n̂
-
• Es coherente con la definición clásica de resistencia:
r r r
r
r
I = ∫∫ J ⋅ dS = J ⋅ nˆS = σE ⋅ nˆS 
V
E ⋅ nˆL
1L
S
r
⇒
R
=
=
=
r
r
r
+

ˆ
I
σ
S
σ
E
⋅
n
S
V = − ∫ E ⋅ dl = E ⋅ nˆ L

−
L
• Equivale a decir que la velocidad media de los portadores
de carga es proporcional al campo eléctrico;
r
r
J = ρv  r σ r
r
r ⇒ v = E
ρ
J = σE 
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
S
r
r
J = σE
+
EyM 2b-8
4
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Constante de relajación
• La constante de relajación permite caracterizar un medio como
conductor o dieléctrico (aislante):
r
– Si en el interior de un medio existe ρ0 (r ) en el instante t=0:
r ∂ρ

r ∂ρ
∇⋅J +
= 0
r ∂tr  ⇒ ∇ ⋅ σE + ∂t = 0
J = σE 
( )
ρS
ρ
– Si el medio es homogéneo, lineal e isótropo:
r ∂ρ

r
r − (σ ε )t
r −t τ
σ∇ ⋅ E +
= 0  ∂ρ σ
+ ρ = 0 ⇒ ρ(r , t ) = ρ0 (r )e
= ρ0 (r )e
∂t r
⇒
r
∂
t
ε
∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = ρ
– La carga desaparece (emigra a la superficie) a una
velocidad controlada por la constante de relajación:
τ=
ε
σ
• Si τ es mucho mayor que el tiempo de observación el medio es
dieléctrico. Si es mucho menor el medio es conductor.
EyM 2b-9
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Ejemplos de medios
Material
Agua destilada
Agua Dulce
Agua de Mar
Vidrio
Porcelana
Cuarzo
Cuarzo Fundido
Mica
Cobre
Plata
Oro
Aluminio
Hierro
Mumetal
εr
µr
80
1
80
1
72
1
6
1
5,7
1
3,8
1
3,8
1
6
1
1 0,99999
1 0,99998
1 0,99996
1 1,000021
1
4
100
σ (S/m)
2,0E-04
1,00E-03
4
1,00E-12
2,00E-13
τ (s)
3,5E-06
7,1E-07
1,6E-10
53,1
252,3
1,00E-17 3364520,0
1,00E-15
53124,0
5,80E+07
1,5E-19
6,17E+07
1,4E-19
4,10E+07
2,2E-19
3,54E+07
2,5E-19
1,03E+07
8,6E-19
• La constante de relajación del cuarzo equivale a 38.9 días y la de
la mica a 14,8 horas
• Algunos de estos datos presentan diferencias de hasta un orden de
magnitud entre las diferentes referencias consultadas
EyM 2b-10
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Grupo 21.1
5
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
Condiciones de contorno en las interfases
• Las ecuaciones diferenciales no son válidas en las interfases entre
medios diferentes.
– Es necesario obtener y aplicar condiciones de contorno que permitan
el salto de un medio a otro.
• El procedimiento general consiste en suponer que la transición entre
medios se produce de forma suave en un intervalo ∆n , aplicar la
ecuación integral y después hacer tender ∆n → 0
∆n
ε2 , µ2 , σ2
n$
ε1 , µ 1 , σ1
ε1 , µ1 , σ1
r r r r
E1 , D1 , H1 , B1
Medio 2
(1)
r
J S ,ρ S
ε2 , µ 2 , σ2
r r r r
E2 , D2 , H 2 , B2
(2)
Medio 1
Atención a la definición de n̂
EyM 2b-11
J.L. Fernández Jambrina
r
Condición de interfase para D
n$2
• Aplicando la Ley de Gauss a la superficie
cerrada de la figura:
r
S2
S SC = S1 + S 2 + S LAT
r
∫∫ D ⋅ dS = q
q = ∫∫∫ ρdV + ∫∫ ρ dS
r
r r
r
r
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫s D ⋅ dS + ∫∫s D
S
SC
V
SC
S
1
1
S1
S
2
r
r r
2 ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS
slat
∆n
n$
n$1
ε 2µ 2σ 2
(2) ε µ σ
1 1 1
(1)
SLAT
– Si ∆n → 0, entonces S1 → S S 2 → S S LAT → 0 nˆ1 → − nˆ nˆ2 → nˆ y ...
r
r
r 

∫∫s1 Dr1 ⋅ dSr → −∫∫s nˆ ⋅rD1dS 

r r
r
r


∫∫sD2 ⋅ dSr → ∫∫s nˆ ⋅ D2dS  ⇒ ∫∫SCD ⋅ dS = ∫∫s nˆ ⋅ D2 − D1 dS 
r
r
r


 ⇒ nˆ ⋅ D2 − D1 S = ρ S

∫∫sDlat ⋅ dS → 0




ρ
dV
→
0
∫∫∫V

 ⇒ q =→ ∫∫S ρ S dS

∫∫S ρS dS → ∫∫S ρS dS 

– La integral desaparece porque la elección de S es arbitraria.
EyM 2b-12
J.L. Fernández Jambrina
(
Grupo 21.1
)
(
)
6
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
r
Condición de interfase para H
n$
• Aplicando la ley de Ampère en el
contorno de la figura: C = Lat + L1 + L2
r
r r
∂D r
H
⋅
d
l
=
I
+
∫C
∫∫S ∂t ⋅ dS
r
r r
r r
r
r r
∫CH ⋅ dl = ∫L1 Hr 1 ⋅ dl + ∫L21 rH 2 ⋅ dl + ∫LatH ⋅ dl
I = ∫∫ J ⋅ mˆ dS + ∫ J S ⋅ mˆ dl
L2
∆l
∆n
$
m
Lat
(2) ε 2 µ 2 σ 2
l$
L1
L
S
L
(1) ε 1µ 1σ 1
– Si ∆n → 0
entonces: Lat → 0 L1 → L L2 → L S → 0
r
r r
r r

∫L1 Hr 1 ⋅ dlr → −∫LrH1 ⋅ drl = − ∫rL H1 ⋅ lˆdl 

r r
r
r


ˆ
ˆ
∫L21 Hr2 ⋅ dlr → ∫L H 2 ⋅ dl = ∫L H 2 ⋅ l dl  ⇒ ∫CH ⋅ dl → ∫L l ⋅ H 2 − H1 dl 



∫LatH ⋅ dl → 0

r
⇒L

ˆ
J
m
dS
0
⋅
→
r

∫∫
r S
r
 ⇒ I → ∫L J S ⋅ mˆ dl 
ˆ
ˆ
J
m
dl
J
m
dl
⋅
→
⋅
∫L S
∫L Sr 


∂D
⋅ mˆ dS → 0
 EyM 2b-13
∫∫
S ∂t

J.L. Fernández Jambrina
(
)
r
Condición de interfase para H
(2)
• De la transparencia anterior y como la elección de L es arbitraria:

r
r
→ ∫ lˆ ⋅ H 2 − H1 dl 
C
L
r
r
r
r
r
r
r

I → ∫ J S ⋅ mˆ dl
⇒ ∫ lˆ ⋅ H 2 − H1 dl = ∫ J S ⋅ mˆ dl ⇒ lˆ ⋅ H 2 − H1 = J S ⋅ mˆ

L
L
L
S
r

∂D

ˆ
⋅
m
dS
→
0
∫∫S ∂t

n$
• Considerando que: lˆ = mˆ × nˆ
r
r
r
r
r
J S ⋅ mˆ = (mˆ × nˆ ) ⋅ H 2 − H1 =  nˆ × H 2 − H1  ⋅ mˆ
123
S 
S
L
∆l
lˆ
r
r
∫ H ⋅ dl
(
)
(
)
(
)
(
)
(
$
m
• Y como:
– la orientación de L es
arbitraria:
r
r
r
– J S ⋅ nˆ = 0 nˆ × H 2 − H1
( (
(
(2) ε 2 µ 2 σ 2
))
S
Grupo 21.1
(1) ε 1µ 1σ 1
⋅ nˆ = 0
r
r
nˆ × H 2 − H1
J.L. Fernández Jambrina
)
)
S
r
= JS
l$
EyM 2b-14
7
Electricidad y Magnetismo
2009/2010
r r r
Condiciones de interfase para B , E y J
r
• Siguiendo procesos análogos al seguido para D se obtiene:
r
r
∫∫ D ⋅ dS = q
S
r
r
∫∫ B ⋅ dS = 0
S
r
r
dq
∫∫ J ⋅ dS = − dt
S
(
)
(
)
(
)
r
r
nˆ ⋅ D2 − D1
r
r
nˆ ⋅ B2 − B1
r r
nˆ ⋅ J 2 − J1
= ρS
S
S
=0
=−
S
dρ S
dt
r
• Siguiendo un proceso análogo al seguido para H se obtiene:
r
r r
∂D r
H
⋅
d
l
=
I
+
∫C
∫∫S ∂t ⋅ dS
r
r r
∂B r
∫CE ⋅ dl = −∫∫S ∂t ⋅ dS
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
(
r
r
nˆ × H 2 − H1
(
r
r
nˆ × E2 − E1
)
)
S
S
r
= JS
=0
EyM 2b-15
8