Magnetostática

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Magnetostática
•
•
•
•
•
Definición.
El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
Ley de Biot y Savart.
Ley de Ampère.
Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
–
–
–
–
Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
Sistemas de corrientes filiformes.
Coeficientes de inducción. Autoinducción.
Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
J.L. Fernández Jambrina
EyM 5d-1
Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de
corriente.
• La expresión básica para el cálculo de fuerzas
magnéticas es la fuerza de Lorentz:
r
r r
F = qv × B
• Que como
r
r
J = ρeqv v:eqv
V2
V1
v
J1
r
r r
F = ∫∫∫ J × BdV
V
r
r1
• En el caso de las dos distribuciones de la figura,
la fuerza que ejerce la distribución 1 sobre la 2 es:
O
r r
r r
r
r
r
r r
r r
µ
J 2 (r2 ) × J1 (r1 ) × (r2 − r1 )
F2,1 = ∫∫∫ J 2 (r2 ) × B1 (r2 )dV2 =
dV1dV2
r r3
∫∫∫∫∫∫
4
π
r2 − r1
V2
V2 V1
[
• Desarrollando el doble producto vectorial:
[
]
r
r2
]
[
]
r r r r r r
r
r
r
(rr2 − rr1 ) J 2 (rr2 ) ⋅ J1 (rr1 ) dV dV
µ
J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 )
µ
F2,1 =
dV
dV
−
1
2
1
2
r r3
r r3
4π ∫∫∫∫∫∫
4π ∫∫∫∫∫∫
r2 − r1
r2 − r1
V2 V1
V2 V1
• Donde la primera integral se cancela si la corriente es estacionaria ...
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática e: fuerzas
EyM 5e-2
1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de
corriente.
(2)
r r
• La primera integral se cancela si: ∇ 2 ⋅ J 2 (r2 ) = 0
[
]
[
]
r r r r r r
r r r r r r
r
(
µ
J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 )
µ
r2 − r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ J1 (r1 )
F2,1 =
dV1dV2 −
dV1dV2
r r3
r r3
4π ∫∫∫∫∫∫
4π ∫∫∫∫∫∫
r2 − r1
r2 − r1
V2 V1
V2 V1
r
r
r r r r
r r
 J (rr )  ∇ ⋅ J (rr ) r r
1
1
J (r ) ⋅ (r − r )
∇ 2 ⋅  r 2 2r  = 2r 2r 2 + J 2 (r2 ) ⋅ ∇ 2 r r = J 2 (r2 ) ⋅ ∇ 2 r r = − 2 r2 r2 3 1
r2 − r1
r2 − r1
r2 − r1
r2 − r1
 r2 − r1 
[
]
r r r r r r
r r

J1 (r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ (r2 − r1 )
dV2 = − J1 (r1 )∫∫∫ ∇ 2 ⋅ 
r r3
∫∫∫
r2 − r1
V2
V2

r r
r r
r r
J 2 (r2 ) 
J 2 (r2 ) r
r r dV2 = − J1 (r1 )∫∫ r r ⋅ dS = 0
r2 − r1 
r − r1
S2 2
• Pues, como ya se ha visto, si el volumen encierra a la distribución, no
puede haber corriente a través de la superficie que la limita.
[
]
r
r
r
(rr − rr ) J (rr ) ⋅ J (rr )
µ
F2,1 = − ∫∫∫∫∫∫ 2 1 r 2 r2 3 1 1 dV1dV2
4π V2 V1
r2 − r1
EyM 5e-3
J.L. Fernández Jambrina
Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de
r
r
corriente. (3)
r
(rr − rr )[J (rr ) ⋅ J (rr )]
µ
F2,1 = −
4π ∫∫∫∫∫∫
V 2 V1
2
1
2
2
1
r r3
r2 − r1
1
dV1dV2
• Intercambiando los subíndices se observa que las fuerzas
magnéticas cumplen el principio de acción y reacción:
r
r
F2,1 = − F1, 2
• Si se aplica la expresión al cálculo de la fuerza que ejerce una
distribución sobre sí misma se obtiene un valor nulo:
r
r
F1,1 = − F1,1 = 0
– Esto no quiere decir que una
distribución no ejerza fuerza sobre
sus elementos de corriente, sino
r
que la fuerza total sobre el
F
conjunto de sus elementos
de corriente es nula.
r
B
r
B
r
F
I
r
B
r
B
I
I
I
r
F
r
F
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática e: fuerzas
EyM 5e-4
2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de
corriente.
(4)
• La fuerza total sobre un elemento de corriente debe ser ortogonal al
mismo.
r
r r
r r
dF2,1 = J 2 (r2 ) × B1 (r2 )dV2
• La fuerza entre dos elementos de corriente, en principio, no es
necesariamente radial. r
r
[
]
r
r
r r
r
µ J 2 (r2 ) × J1 (r1 ) × (r2 − r1 )
dF2,1 = −
dV1dV2
r r3
4π
r2 − r1
Pero como las distribuciones tienen divergencia nula, sólo contribuye
la componente radial:
[
]
r r r r r r
r
µ (r2 − r1 ) J 2 (r2 ) ⋅ J1 (r1 )
dF2,1 = −
dV1dV2
r r3
4π
r2 − r1
• La suma de las fuerzas que dos elementos de corriente ejercen uno
sobre el otro es nula.
• Dos elementos de corriente paralelos se atraen si sus corrientes
llevan el mismo sentido y se repelen si llevan sentidos contrarios.
EyM 5e-5
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Fuerza entre una corriente
rectilínea indefinida y una espira rectangular
• En este caso en más práctico partir de la
expresión en función del campo magnético:
r
r
r r
F2,1 = − I 2 ∫ B1 (r2 )× d l2
Z
Y
I2
I1
C2
r
µI
µI
• El campo debido a la línea de
B1 (r ) = 1 ϕˆ = − 1 xˆ
corriente en el plano x=0 es:
2πρ
2πy
D
b
a
– La contribución de los tramos horizontales
se cancela.
– Domina la contribución del tramo vertical más próximo:
z +b
D+a
r
(− xˆ × yˆ ) dy + z 0 − ( xˆ × zˆ ) dz + D − ( xˆ × yˆ ) dy  =
µI I  0 (− xˆ × zˆ )
F2,1 = − 1 2  ∫
dz + ∫

∫ D+a
∫
2π  z = z 0
D
y
y

y=D
z = z0 +b
y=D+a
=−
µI1I 2b  1
1 
−
yˆ
2π  D D + a 
– Para los sentidos de corriente de la figura, la fuerza resultante es
atractiva.
EyM 5e-6
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática e: fuerzas
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Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Efecto Hall
• Definición:
– Al someter un conductor por el que circula una corriente eléctrica
estacionaria a un campo magnético externo, aparece una fuerza
electromotriz perpendicular a la corriente y al campo magnético.
• Explicación:
– Al estar sometida
a un campo magnético, aparece una
r la corriente
r r
fuerza del tipo F = qv × B sobre ella.
– Esta fuerza normalmente no puede dar origen a una corriente por que
líneas se encuentran con los límites del conductor.
Pero produce una redistribución de la carga libre del conductor hasta
que el campo eléctrico debido a esta carga cancela la fuerza de origen
magnético.
– En exterior del conductor no existe la fuerza de origen magnético y si
existe la de origen eléctrico, luego se puede medir una diferencia de
potencial.
EyM 5e-7
J.L. Fernández Jambrina
Efecto Hall: Ejemplo
• El ejemplo más simple de efecto Hall
consiste un conductor de sección
rectangular por el que fluye una corriente
I, sometido a un campo magnético
r
constante perpendicular a dos de
J = J z zˆ
sus caras.
Y
a
b
X
r
B = Bex xˆ
– La fuerza de origen magnético sobre
las cargas
en un dV es:
Z
r rcontenidas
r
dF = J × Be dV = J z Bex yˆdV
– Como la carga dentro de este volumen es: dq = ρdV , el campo
equivalente es:
r
r
dF J z Bex dV
J B
=
yˆ = z ex yˆ = EHall
dq
ρdV
ρ
– Este campo no puede dar lugar a una corriente estacionaria, pero puede
transportar cargas entre la cara superior y la inferior hasta que se
cancele su efecto:
r
r
r
r
J B
EHall + E = 0 ⇒ E = − EHall = − z ex yˆ
ρ
EyM 5e-8
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática e: fuerzas
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Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Efecto Hall: Ejemplo
(2)
r
r
J B
E = − EHall = − z ex yˆ
ρ
– Este campo está generado por cargas
superficiales en las caras superior e inferior:
r
− εE ⋅ yˆ = εJ z Bex ρ
; cara superior
ρS =  r
ˆ
ε
E
⋅
y
=
−
ε
J
B
ρ
; cara inferior
z ex

La diferencia de potencial que puede medirse en el exterior es:
sup
r bJ B
r r sup r
bJ B
Φ sup − Φ inf = − ∫ E ⋅ dl = ∫ EH ⋅ dl = ∫ z ex dy = z ex
ρ
ρ
inf
inf
0
» Su signo depende del de ρ: del signo de los portadores.
– Aplicaciones:
» Si se conoce el campo magnético, la corriente y la diferencia de
potencial, se puede calcular ρ, o lo que es lo mismo, la densidad de
portadores. (Utilizado en la caracterización de semiconductores)
» También se utiliza en la detección de movimientos (Sincronización
de encendido de motores de explosión)
– Una vez alcanzado el equilibrio no hay fuerza transversal sobre la
corriente: la corriente se distribuye de forma uniforme en la sección.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática e: fuerzas
EyM 5e-9
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