Introducci n a la Electrost tica. Aplicaciones de la Ley de Gauss

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático.
– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace.
Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de
regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3a-1
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Definición.
• Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell.
• Condiciones:
– No hay variación con el tiempo: d dt = 0
r
– No hay movimiento de cargas: J = 0
» Esta última condición es necesaria:
• Puede haber corrientes aunque dρ dt = 0
• Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus
diámetros.
• Comentarios:
– No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto:
» Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor
estático.
» Siempre hay corrientes de conducción en los medios.
– No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las
corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas.
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
EyM 3a-2
EyM 3-a 1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Campo Estático
– En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican
notablemente:
r r
r r

∂B(r , t )
r r
∇ × E (r , t ) = −


∇ × E (r ) = 0
∂t r r

r r
r r
r r
∂D(r , t )  ∂ = 0 
∇ × H (r ) = 0
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +

∂
t
r
r r
r
r
 r
r r
r r∂t
r
 J = 0 ∇ ⋅ D(r ) = ρ (r ) ∇ ⋅ B(r ) = 0
r
→
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t ) ∇ ⋅ B(r , t ) = 0   
r
r
∇ ⋅ J (r ) = 0
r r

r
∂ρ (r , t )
r
r
r
r
r
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0

 D(r ) = εE (r ) B(rr ) = µH (rr )
r r
r r
r ∂rt
r r 
r r

D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )

0 = σE (r )
r r
r r

J (r , t ) = σE (r , t )
– Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque
no se sigue directamente de sus ecuaciones.
– Las ecuaciones de la electrostática son:
r r
r
r
∇ × E (r ) = 0 D = εE
r
r
∇⋅D = ρ
0 = σE
EyM 3a-3
J.L. Fernández Jambrina
El campo electrostático en el interior de los
conductores.
• Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la
electrostática conviene analizar el comportamiento de los
conductores.
– Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los
conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es
nulo:
r
r
r
r J
r
J = σE ⇒ E = 
σ ⇒ E = 0
» Partiendo de la ley de Ohm generalizada:
r
σ ≠ 0, J = 0 
» Para conseguir este efecto la carga
del conductor se distribuye sobre su
superficie de forma que cancela
cualquier campo exterior.
» La carga neta en el interior del
+ conductor es nula:
r
r
∇ ⋅ D = ∇ ⋅ εE = ρ = 0
( )
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
σ=0
+
σr ≠ 0
E=0
-
+
+
EyM 3a-4
EyM 3-a 2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
El campo electrostático en la superficie de los
conductores.
• Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el
interior de los conductores el campo es nulo:
– Suponiendo que el conductor es el medio 1:
r
r
r
nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ S 
 nˆ ⋅ D2 = D2 n = ρ S   E2 n = ρ S 
r
rS
r
ρS
S
nˆ × E2 − E1 = 0  ⇒ 
r
 ⇒  r ε 2  ⇒ E2 S = nˆ
S
ε2
r
r
  nˆ × E2 S = 0   E2t = 0 


E1 = 0 D1 = 0 

(
(
)
)
– Resulta que el campo en la parte exterior de la r r
E2 , D2
superficie de los conductores es normal a la
ε2
superficie.
– Por comodidad se suele denominar al campo σ 2 = 0
en la parte exterior de la superficie de los
conductores como campo en la superficie
del conductor.
2
1
n̂
r
r
E1 = D1 = 0
ε1
σ1 ≠ 0
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3a-5
Campo de una carga puntual en espacio libre
• Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la
aplicación de la Ley de Gauss.
– Planteamiento del problema:
Se supone que la carga está en el origen de coordenadas.
r
r
r r
ρ = 0 r ≠ 0 ∇⋅D =ρ
q = ∫∫ D ⋅ dS O ⊆ S
r
r
r
S
D = ε0 E
∇× E = 0
– Por la linealidad del medio:
r
r
r
ρ = 0 r ≠ 0 ∇⋅D = ρ ∇×D = 0
– Se conoce que:
r
r
r r
∇ ⋅ v = 0 r ≠ 0
r k
∫∫SS v ⋅ dS = 4πk O ⊆ S
v = 2 rˆ ⇒ 
r
r
 ∇×v = 0
– Luego:
r q r
q
D=
v=
rˆ
4π
4πr 2
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
EyM 3a-6
EyM 3-a 3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Campo de una carga puntual en espacio libre
• La expresión del campo creado por una carga en el origen de
coordenadas es:
r r
D(r ) =
q
rˆ
4π
πr 2
• Propiedades:
– Es radial.
– Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre
la carga y el punto de observación.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3a-7
Aplicaciones directas de la Ley de Gauss.
• La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas
condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga.
– En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del
campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss.
– Este comportamiento se suele inferir a partir de
» Las simetrías que presente el sistema.
» El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial.
• Importante:
– La ley de Gauss se puede aplicar siempre.
– Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss
para obtener el campo eléctrico.
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Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
EyM 3a-8
EyM 3-a 4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ley de Gauss:
Distribuciones con simetría esférica.
• Una distribución tiene simetría esférica cuando
sólo hay variación con la coordenada esférica r:
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es
radial y sólo depende de la coordenada esférica r:
d
d
=0
 =
 dθ dϕ
r
 E = Er (r )rˆ
r
 D = Dr (r )rˆ
– Demostración:
» Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario,
siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al
campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
dq
r
r
r
dE ′
dE + dE ′
r
dE
dq’
» El campo no depende de las coordenadas θ y ϕ: una carga vería la
distribución de igual forma al variar estas coordenadas.
EyM 3a-9
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Gauss:
Distribuciones con simetría esférica.
(2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una
superficie esférica centrada en el centro de simetría de la
distribución:
∫∫∫
Vr
r r
ρdV = q(r ) = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ Dr (r )dS = 4πr 2 Dr (r )
Dr (r ) =
Sr
S
r
r
q (r )
q (r )
q (r )
rˆ ⇒ E =
⇒ D (r ) =
rˆ
2
2
4πr
4πr
4πεr 2
– Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r.
• Ejemplo:
– El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga ρ 0
es:
 4πρ0r 3
 ρ0 r
rˆ ; 0 ≤ r ≤ R
; 0≤r≤R
r

q
 3
q (r ) = ∫∫∫ ρdV = 
⇒ D (r ) =
= 3 3
3
2
Vr
4πr
 4πρ0 R ;
 ρ0 R2 rˆ ;
R≤r
R≤r
 3r
 3
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Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
EyM 3a-10
EyM 3-a 5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en
una dirección con simetría de revolución.
• Una distribución tiene simetría de revolución
alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante
en esa dirección cuando sólo hay
variación con la coordenada cilíndrica ρ:
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial
y sólo depende de la coordenada cilíndrica ρ:
– Demostración:
d
d
=0
 =
 dϕ dz
r
 E = Eρ (ρ )ρˆ
r

 D = Dρ (ρ )ρˆ
• Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario,
siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al
campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
• Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen ϕ y z.
dq
r
dE ′
dq’
r
r
dE + dE ′
r
dE
EyM 3a-11
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en
una dirección con simetría de revolución. (2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una
superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud
arbitraria L:
∫∫∫
V L ,ρ
r r
r r
r r
ρdV = qL (ρ)L = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ Dρ dS = 2πρLDρ (ρ )
Sρ
Slat
Tapas
Slat
n$ ≡ z$
– Observese que el flujo a través de las
tapas es nulo porque el campo eléctrico
es tangencial a la superficie.
r
r q (ρ ) L
q (ρ )
q (ρ )
Dρ (ρ) = L
⇒ D(ρ) = L ρˆ ⇒ E = L ρˆ
2πρ
2πρ
2περ
r
D = Dρ (ρ)ρ$
r
D = Dρ (ρ)ρ$
– Donde qL es la carga por unidad
de longitud dentro del cilindro de
radio ρ.
n$ ≡ ρ$
• Ejemplo: Distribución lineal de carga ρ L = λ a lo largo del eje z:
r
E=
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
λ
ρˆ
2περ
EyM 3a-12
EyM 3-a 6
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en
una dirección.
d
d
• Estas distribuciones sólo dependen de una
=0
 =
coordenada lineal, si ésta es la coordenada z:
 dx dy
• Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que
dependen.
– Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple:
una distribución de carga superficial constante en el plano z=0.
– El campo tiene sólo componente normal
r
D
a la distribución: dado un dq siempre se
z
puede encontrar otro, en posición simétrica,
de forma que se cancelan las componentes
del campo paralelas al plano de la distribución.
ρs
– Para puntos simétricos respecto del plano,
uno a un lado y el otro al otro lado, el campo
tiene el mismo módulo y sentidos contrarios:
r
cuestión de simetría.
D
r
r
E ( z ) = Ez ( z )zˆ = − Ez (− z )zˆ = − E ( z )
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución: →
EyM 3a-13
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en
una dirección.
(2)
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:
» Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un
cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en
posiciones simétricas respecto a ellas.
• El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es
tangencial.
• El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de
r
las normales.
ρ S dS = ρ S S =
r r
r r
r r
r r
= ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS =
S
Slat
S (z=h)
S (z =−h)
1
424
3
0
D
n̂
q = ∫∫
S ( z =0 )
= ∫∫
S (z =h)
Dz (h )dS − ∫∫
S (z=−h)
Dz (− h )dS = 2 Dz (h )S
 ρS
zˆ ; z < 0
r
−
ρS
Dz (h ) =
⇒ D( z ) =  2
ρ
2
 S zˆ ; 0 < z
 2
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
2h
ρS
n$
n̂
r
D
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EyM 3-a 7
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en
una dirección.
(3)
• El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con
el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado.
• En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada
dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una
distribución superficial de carga de densidad: ρS=ρdz y que la
simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución.
Dz
ρ
aρ 0
2ρ0
z=-a
a
ρ0
2
z=-a
z=a
Z
− ρ0
−
z=a
a
ρ0
2
Z
− aρ 0
−
3a
ρ0
2
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J.L. Fernández Jambrina
Campo producido por un sistema de cargas
puntuales
• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.
– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada
una de ellas por separado, es decir:
r r'
r r
r r
qi
ˆ = ∑ qi (r − ri )
E (r ) = ∑ Ei (r ) = ∑
R
i
2
r r'
r r' 3
i
i 4 πε r − r
i 4 πε r − r
i
i
r r
siendo Ei (r ) el campo producido por la carga i-ésima qi.
q1
r
E
i
r
E
q2
r
r1
r
E
2
Total
=
∑
r
E
i
i
r
E1
r
r2
r
r
O
r
ri
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Electrostática: Introducción, Aplicación de la Ley de
Gauss
qi
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