Introducci n a la magnetost tica: Potencial Vector y Ley de Biot y Savart

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Magnetostática
•
•
•
•
•
Definición.
El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
Ley de Biot y Savart.
Ley de Ampère.
Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
–
–
–
–
Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
Sistemas de corrientes filiformes.
Coeficientes de inducción. Autoinducción.
Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Transporte de energía.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
EyM 5a-1
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática: Definición
• Definición:
– No hay variación con el tiempo.
– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.
r r
r r
r r
r r
r r
r r 
r r r r
r r r r
r r
r r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) J (r , tr) = σE (r , t ) ∂
D (r ) = εE (r ) B(r ) = µH (r ) J (r ) = σE (r )
r
=0 

r r
r
r
r
∂B (r , t )

r r
r r
 ∂rt
r
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∇ ⋅ D(r ) = ρ(r )
∇ × E (r ) = 0
 J ≠0 
∂t r r
r
r
r r



→


r
r
r r
r r
r r
∂D (r , t ) 
∇ ⋅ B(r ) = 0
∇ × H (r ) = J (r )

∇ ⋅ B (r , t ) = 0
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
r r


∂t
r
∇ ⋅ J (r ) = 0
r r


∂ρ(r , t )
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0


∂t
– Dos juegos de ecuaciones:
» Corrientes estacionarias:
» Magnetostática:
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
r
r
r
∇ × E = 0 D = εE r
r
r
r∇ ⋅ J = 0
∇ ⋅ D = ρ J = σE
r r
r r
r
r
r
∇ × H (r ) = J (r ) ∇ ⋅ B = 0 B = µH
EyM 5a-2
1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto
que el campo electrostático se puede estudiar independientemente,
como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones
estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si
existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo
suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar
las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a
buenos resultados.
• Ecuaciones:
r r
v
∇ × H (r ) = J» La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
r
∇ ⋅ B = 0» La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo
magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen
fuentes escalares.
r
r
B = µH» La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.
EyM 5a-3
J.L. Fernández Jambrina
El Potencial Vector Magnetostático
• El que la divergencia de una rotacional sea siempre nula y que la
divergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer
v
que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector: A
r

∇⋅B = 0
r
⇒
∇ ⋅ ∇ × A = 0
(
)
r
r
B = ∇× A
– Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que
será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal,
homogéneo e isótropo:
(
)
r
r
r
r
r
r
µJ = ∇ × µH = ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
r
• Utilizando el grado de libertad se puede escoger: ∇ ⋅ A = 0
• con ello se obtiene:
Contraste de
Coulomb
r
r
∆A = −µJ
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
EyM 5a-4
2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
El Potencial Vector Magnetostático
(2)
r
r
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación ∆A = −µJ se
puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de
Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio
homogéneo, lineal, isótropo e indefinido:
∆φ = −
r
1
ρ
ρ(r ′)dV ′
v
⇒ φ(r ) =
r
r
4πε ∫∫∫
ε
r − r′
V
r

µ
J x (r ′)dV ′ 
∆Ax = −µJ x ⇒ Ax = 4π ∫∫∫ rr − rr′ 
V


r r
r
r
r µ
r 
J y (r ′)dV ′ 
µ
J (r ′)dV ′
∆A = −µJ ⇒ ∆Ay = −µJ y ⇒ Ay =
r r ⇒ A=
r r
4π ∫∫∫
4π ∫∫∫
r − r′ 
r − r′
V
V

r

µ
J z (r ′)dV ′ 
∆Az = −µJ z ⇒ Az =
r r 
∫∫∫
4π V r − r ′ 

EyM 5a-5
J.L. Fernández Jambrina
El Potencial Vector Magnetostático
(3)
• Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes
superficiales y lineales:
r r
r µ
J S (r ′)dS ′
A=
r r
4π ∫∫
r − r′
S
r
r µI
dl ′
A=
r
r
4π C∫ r − r ′
– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la
corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza
v
en un contorno cerrado y la corriente es constante.
v
dA
d
A
• Propiedades:
v
dA
v
– La interpretación de su significado físico es difícil.
dA
– Un elemento infinitesimal
de corriente da lugar a
v
una contribución dA paralela a la dirección de la
v dIlˆ
v
dA
corriente.
dA
– Las unidades del potencial vector son wb/m.
v
v
– En algunos casos es muy útil para calcular
dA
dA
el flujo del campo magnético:
r r
r r
r r
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S
S
C
EyM 5a-6
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Potencial Vector: Ejemplo
• Sea una línea de corriente I0 que circula a lo largo del eje z en
sentido positivo.
r
– La corriente sólo tiene componente z: ⇒ A = Az zˆ
– Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el
eje z.
Z
Z
» La solución a este problema electrostático es:
Φ = Az
I
0
r
ρ
1
Φ (r ) = L ln + K
2πε ρ
ρ L = I0
r r
 µI

1
ε =1 µ
– Por analogía: A(r ) = Az zˆ =  0 ln + K  zˆ
 2π ρ

~
– En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se
puede definir de forma unívoca el potencial vector.
– Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:
r r  1 ∂
r r
∂ 
µIo
B(r ) = ∇ × A(r ) =  ρˆ
− ϕˆ  Az =
ϕˆ
∂ρ 
2πρ
 ρ ∂ϕ
EyM 5a-7
J.L. Fernández Jambrina
v
Campo Magnético a partir de A
• Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar
la definición:
r r
r r
r r
 1 r r 
µ
J (r ′)dV ′ µ
B(r ) = ∇ × A(r ) =
∇ × ∫∫∫ r r =
∇ ×  r r J (r ′)dV ′
∫∫∫
4π
r − r′
4π V ′
V′
 r − r′

– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.
r r
r
r
r
– Considerando que ∇ × UV = U∇ ×rV + ∇U × V y que ∇ × J (r ′) = 0 puesto
que el rotacional se aplica sobre r :
r r
r r
 1  r r
µ
µ
r − r′ r r


′
′
B(r ) =
∇
×
J
(
r
)
d
V
=
−
r
r
r
r 3 × J (r ′)dV ′
 r − r′ 
4π ∫∫∫
4π ∫∫∫
V′
V′ r − r′


r r
1
r − r′
– donde se ha aplicado: ∇ r r = − r r 3
r − r′
r − r′
– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión
definitiva:
r r
r r
r r
µ
J (r ′) × (r − r ′)
B (r ) =
dV ′
r r3
∫∫∫
4π V ′
r − r′
EyM 5a-8
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ley de Biot-Savart
• Adaptando para corrientes superficiales:
r r
r r
r r
µ
J S (r ′) × (r − r ′)
B (r ) =
dS ′
r
r
3
4π ∫∫
r − r′
S
• Y para corrientes filiformes:
r
r r µI dl ′ × (rr − rr′)
B(r ) =
r r
4π C∫ r − r ′ 3
• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.
– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la
corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y
cerrada y el detalle poco formal de colocar el diferencial de longitud
delante de parte de la expresión subintegral.
EyM 5a-9
J.L. Fernández Jambrina
Campo Magnetostático creado por un
elemento de corriente.
• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:
r r
 J (r ′)dV ′
r r
 r r
dI (r ′) =  J S (r ′)dS ′
 r r
 I (r ′)dl ′
r
su contribución al campo será: dB =
v r r
µ d I ′ × (r − r ′ )
r r
4π r − r ′ 3
r
dI
r r
r − r′
r
dB
– Perpendicular a la corriente.
– Perpendicular al vector que une el elemento de
corriente y el punto donde se calcula el campo.
– Proporcional al seno del ángulo formado por la corriente y el vector del
punto anterior.
» No hay campo en la línea definida por el elemento de corriente.
– Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
– Sentido según la regla del sacacorchos.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
EyM 5a-10
5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Espira Circular
z
• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y
contenida en z = z0
• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar
r
la ley de Biot-Savart:
r r µI dl ′ × (rr − rr′)
B(r ) =
• En este caso:
r
r = zz$
4π
∫
z = z0
a
r r3
r − r′
C
I
Z
ρ′ = a
r r
r
r = zzˆ
 r − r ′ = −aρˆ ′ + ( z − z0 )zˆ
⇒
r
 
r ′ = aρˆ ′ + z0 zˆ   rr − rr′ = a 2 + ( z − z0 )2

r
r r r
ˆ ⇒ dl ′ × (r − r ′) = [azˆ + ( z − z0 )ρ′
ˆ ]adϕ′
dl ′ = adϕ′ϕ′
ϕ$ ′
z ′ = z0
r
r′
ρ$ ′
O
– Sustituyendo ....
EyM 5a-11
J.L. Fernández Jambrina
Espira Circular
(2)
• Sustituyendo:
2π
v
ˆ )a
µI (azˆ + ( z − z0 )ρ′
µI
a
B(zzˆ ) = 0 ∫
dϕ′ = 0
2
4π 0 a 2 + ( z − z ) 3 2
4π a 2 + ( z − z )2
0
0
[
• Y considerando que:
]
[
2π
2π
0
0
]
3
2
v
dB2
v v
r − r2′
v
dB1
v v
r − r1′
v
r2′
v
r1′
v
dl1
v
d l2
• Finalmente:
v
a2
µI
B(zzˆ ) = 0
2 a 2 + ( z − z )2
0
[
Tema 5: Magnetostática - a
v
v
dB1 + dB2
∫ ρ′ˆ dϕ′ = ∫ (cos ϕ′xˆ + sen ϕ′yˆ )dϕ′ = 0
se cancelan las componentes radiales.
J.L. Fernández Jambrina
2π
 2π

ˆ dϕ′
azˆ ∫ dϕ′ + ( z − z0 ) ∫ ρ′
0
 0

]
3
zˆ
2
EyM 5a-12
6
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Espira Circular
(3)
• El aspecto de las líneas de campo es el siguiente:
– En todo el espacio:
r v
B(r ) = Bρ (ρ, z )ρˆ + Bz (ρ, z )zˆ
a
a/2
z
0
I
-a/2
-a
-2a
-a
0
a
2a
ρ
EyM 5a-13
J.L. Fernández Jambrina
Solenoide Cilíndrico Finito
I
• Se trata de un apilamiento de espiras por las
que circula la misma corriente I.
• Se define por el radio de las espiras, a, el número
de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.
• Normalmente se construye enrollando un hilo
sobre un núcleo y se desprecia el efecto del
h
paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.
• Si los hilos están muy juntos se puede suponer
que la corriente está distribuida uniformemente
sobre la superficie lateral.
– Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z:
v
v
J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ ⇒ IT = ∫ J S ⋅ ϕˆ dz = nhI
v v
v v
v µ
h
J S (r ′) × (r − r ′)
B=
dS ′
3
v
v
• Por todo ello se puede aplicar:
4π ∫∫
r − r′
S
– También puede considerarse el
v µnIdz′
a2
solenoide como un apilamiento de
dB =
espiras de radio a y corriente dI=nIdz´:
2 a 2 + ( z − z′)2
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
[
a
zˆ
] EyM 5a-14
3
2
7
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solenoide Cilíndrico Finito
(2)
• Siguiendo el primer procedimiento y limitando el cálculo al eje z:
r r
r
r = zzˆ
 r − r ′ = −aρˆ ′ + ( z − z′)zˆ
r
⇒
ˆ + z′zˆ   rr − rr′ = a 2 + ( z − z′)2
r ′ = aρ′

v r
r r
J (r ′) × (r − r ′) = [azˆ + ( z − z′)ρˆ ′]nI
Z
r
r = zz$
• Tomando el origen de coordenadas en el centro
del solenoide:
v
µnI
B( zzˆ ) =
4π
h 2
∫ ∫
[a
−h 2 0
z ′ = z0
ˆ
azˆ + ( z − z′)ρ′
2π
2
2
+ ( z − z′)
]
3
∫
dz′
h2
−h 2
[a
2
+ ( z′ − z )
2
]
3
r
r′
zˆ
2
∫
2π
0
ρˆ ′dϕ′ = 0
Con el segundo procedimiento se
plantea directamente esta ecuación:
EyM 5a-15
Solenoide Cilíndrico Finito
r
µnI
B(zzˆ ) =
2
ρ$ ′
O
J.L. Fernández Jambrina
• y aplicando:
ϕ$ ′
adϕ′dz′
2
• Integrando en ϕ’ considerando que:
v
µna 2 I
B( zzˆ ) =
2
ρ′ = a
∫ (x
dx
2
+ a2 )
32
=
x
a2 x2 + a2
h
2
z′ − z
a 2 + ( z′ − z )
zˆ =
2
−
h
2
(3)
se obtiene finalmente:
µnI 
−h 2− z
h 2−z
−
2
2
2  a 2 + (h 2 − z )2
a + (h 2 + z )


 zˆ


• Si el solenoide estuviera centrado en zc :
r
µnI 
zc + h 2 − z
zc − h 2 − z
B(z ) =
−
2
2
2  a 2 + (h 2 − z + z )2
a + (h 2 + z − zc )
c

• Donde los términos del corchete se
pueden interpretar como los cosenos
de los ángulos de la figura:
r
µnI
B(z ) =
(cos α − cos β)zˆ
2

 zˆ


zc + h 2 − z
a
zc
h
α
zc − h 2 − z
β
z
O
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
EyM 5a-16
8
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solenoide Cilíndrico Finito
(4)
• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo
en un punto de su eje dentro de él tiende a:
r
lim B ( z )
h→∞
zc − h < z < zc + h
2
2
= lim
α →0
β→π
µnI
(cos α − cos β)zˆ = µnIzˆ
2
α
• Mientras que el campo en el centro de sus extremos
tiende justo al valor mitad:
(
v
lim B zc + h
h→∞
(
v
lim B zc − h
h →∞
2
2
) = lim µ2nI (cos α − cos β)zˆ = µ2nI zˆ
z
α=π
2
β→π
zc
) = lim µ2nI (cos α − cos β)zˆ = µ2nI zˆ
α→0
β=π
2
β
h
O
1
Bz
µnI
0.5
Resultado normalizado
para a=1 y h=20
0
0
5
10
z
J.L. Fernández Jambrina
15
20
EyM 5a-17
Solenoide Cilíndrico Finito
(5)
• Aspecto de las líneas de campo:
2a
a
r v
B(r ) = Bρ (ρ, z )ρˆ + Bz (ρ, z )zˆ
0
-a
-2a
2a
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
a
0
a
2a
EyM 5a-18
9
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Otros Tipos de Solenoides
• Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución
entorno a un eje pueden formarse solenoides de distintos tipos como
cónicos, esféricos, etc.
I
I
I
I
• La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por
unidad de longitud a lo largo de la generatriz.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - a
EyM 5a-19
10