Ley de Amp re y ley de Biot y Savart para distribucuiones invariantes en una direcci n.

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Magnetostática
•
•
•
•
•
Definición.
El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
Ley de Biot y Savart.
Ley de Ampère.
Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
–
–
–
–
Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
Sistemas de corrientes filiformes.
Coeficientes de inducción. Autoinducción.
Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Transporte de energía.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
EyM 5b-1
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones de corriente axiales con
simetría de revolución.
• Se escoge el eje de simetría como eje z.
– Por la simetría de translación
r r no puede
haber variación con z: H = H (ρ, ϕ)
– Al estar todos los elementos de corriente
orientados según z no se genera componente z:
r
H = H ρ (ρ, ϕ)ρˆ + H ϕ (ρ, ϕ)ϕˆ
– Por la simetría de revolución el campo no es
función de ϕ, salvo la variación propia de ϕ̂ :
r
H = H ρ (ρ )ρˆ + H ϕ (ρ)ϕˆ
v
J = J z (ρ) z$
Z
– No puede haber componente
radial porque
r
no se cumpliría: ∇ ⋅ B = 0
» Se puede comprobar calculando el flujo en
una superficie como la de la figura adjunta.
En ella se supone que el campo tiene
componente radial.
r
• En definitiva: H = H ϕ (ρ)ϕˆ
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
EyM 5b-2
1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Distribuciones de corriente axiales
con simetría de revolución.
(2)
• Escogiendo contornos que sean circunferencias
en planos z=cte y centradas en el eje z:


C
S

2π

I (ρ)

 ⇒ Hϕ =
∫0 H ϕρdϕ = 2πρH ϕ
2
πρ

ρ

r r
∫∫S J ⋅ dS = 2π∫0 ρJ z dρ = I (ρ)
r
r
r
v
H = H ϕ (ρ)ϕ$
r
∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS
Z
v
J = J z (ρ) z$
• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:
r I (ρ )
H=
ϕˆ
2πρ
ρ
I (ρ) = 2π∫ ρJ z dρ
0
EyM 5b-3
J.L. Fernández Jambrina
Línea de Corriente Indefinida
• En el caso de una línea de corriente indefinida de valor I 0 que circule
sobre el eje z: I (ρ) = I 0
r
I
H=
ϕˆ
2πρ
– Por lo tanto:
I
• En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en un hilo
r de radio a:
a
Z
J = J z (ρ)zˆ = I 0 πa 2 zˆ ; 0 ≤ ρ < a
ρ2
– La corriente encerrada en la región interior es I (ρ) = I 0 2 y:
a
ρ
2 πa 2
1
2πρ
πρ
1 2π
πa
H ϕ (ρ )
0
0
a
ρ
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
2a
3a
r
I ρ
Hi =
ϕˆ
2π a 2
r
I
He =
ϕˆ
2πρ
EyM 5b-4
2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Cable Coaxial
• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos
contrarios en cada conductor. Suponiendo que la corriente se
distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:

I πa 2 zˆ
; 0≤ρ<a

r
0
; a<ρ<b

J = J z (ρ)zˆ = 
2
2
− I π c − b zˆ ; b < ρ < c

0
;
c<ρ
(
)
• La corriente que fluye en el interior
de la circunferencia de radio ρ es:

ρ2
 I a2
ρ

r r
I
I (ρ) = ∫∫ J ⋅ dS = 2π∫ ρJ z dρ =  2
2
0
Sρ
I c − ρ
 c 2 − b2
0

; 0≤ρ≤a
; a≤ρ≤b
; b≤ρ≤c
;
c≤ρ
EyM 5b-5
J.L. Fernández Jambrina
Cable Coaxial.
(2)
• Y el resultado final es:
I ρ

 2π a 2 ϕˆ

I 1
r r

ϕˆ
I (ρ)
2π ρ
H (r ) = H ϕ (ρ)ϕˆ =
ϕˆ = 
2πρ
 I c 2 − ρ2
ϕˆ

2
2
 2π ρ(c − b )
0

; 0≤ρ≤a
; a≤ρ≤b
; b≤ρ≤c
c≤ρ
;
• Obsérvese que no se genera campo en el exterior del cable.
1
b = 2a
c = 1.1b
2πaH ϕ
0
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
a
ρ a
2a
c
EyM 5b-6
3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solenoide Indefinido
Z
• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide
indefinido la distribución de corriente puede
representarse por una
densidad de corriente superficial:
r
J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ
a
– n es el número de espiras por unidad de longitud
I
(altura en la figura).
• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco.
• La simetría de rotación garantiza la independencia
r r
r
respecto de ϕ:
H (r ) = H (ρ)
• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación
a lo largo de una circunferencia de z constante
centrada en el eje z debe ser cero porque no fluye
corriente a través de ella.
• Si el campo tuviera componente
r r
r
radial no se cumpliría que:
H (r ) = H (ρ )zˆ
∇⋅B = 0
z
EyM 5b-7
J.L. Fernández Jambrina
Solenoide Indefinido
(2)
• Escogiendo contornos como C A, exterior al
solenoide, rectangular y con dos lados
paralelos al eje z:
CA
L
r r
0 = ∫ H ⋅ dl = [H z (ρe ) − H z (ρi )]L ⇒ H z (ρ) ρ > a = H e = cte
CA
a
ρe
ρi
I
• Análogamente, con contornos como el C B, interior
0=
r
r
∫ H ⋅ dl = [H (ρ ) − H (ρ )]L⇒H (ρ)
z
e
z
i
z
ρ< a
= H i = cte
CB
CB
• Y con contornos como el CC , uno de los lados
paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:
r
r
∫ H ⋅ d l = [H
nIL =
i
− H e ]L ⇒ H i − H e = nI
CC
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
CC
EyM 5b-8
4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solenoide Indefinido
(3)
• Recordando que el campo creado por un solenoide en
su centro cuando su longitud tiende a infinito es:
r
lim B ( z )
h→∞
z c = cte
= µnIzˆ
• Resulta que: H i = nI ;H e = 0
• Y por tanto:
r r nIzˆ ; 0 ≤ ρ < a
H (r ) = 
a<ρ
0 ;
• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior,
y este campo es constante, con componente axial
y con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.
EyM 5b-9
J.L. Fernández Jambrina
Hoja Indefinida de Corriente
z
• Se trata de una corriente superficial
de amplitud y dirección constante
que fluye sobre un plano indefinido.
• Supongamos que el plano es el z=0 y
que la corriente lleva dirección +x.
y
– Como las fuentes no varían ni con x
ni con y, el campo tampoco lo hará.
r r
r
H (r ) = H ( z )
– Los elementos de corriente orientados
según x: el campo no puede tener
componente x.
r r
H (r ) = H y ( z ) yˆ + H z ( z )zˆ
J S = J 0 x$
x
z
y
x
v
dB2
– dado un elemento de corriente y un
v
v
punto de cálculo de campo, siempre dB1 + dB2
existe el elemento simétrico que
v
cancela la componente z r r
dB1
H (r ) = H y ( z ) yˆ
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
r
J = J x xˆ
v
dI 2
v
dI 1
EyM 5b-10
5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Hoja Indefinida de Corriente
(2)
– La componente y es constante a
CA
ambos lados de la hoja y es discontinuo
en ella:
» Calculando circulaciones a lo largo de
CB
contornos como los de la figura:
r r
r
0 = ∫ H ⋅ dl = H y z − − H y z + L ⇒ H
= H y+
CA
z>0
r r
r
0 = ∫ H ⋅ dl = H y z − − H y z + L ⇒ H
= H y−
CB
z <0
r r
J 0 L = ∫ H ⋅ dl = H y− − H y+ L ⇒ H y− − H y+ = J 0
CC
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
(
)
L
CC
z
y
v
J s / / x$
L
– Por simetría cabe suponer:
H y+ + H y− = 0
– Finalmente:
r r − yˆ J 0 2 ; z > 0
H (r ) = 
 yˆ J 0 2 ; z < 0
EyM 5b-11
J.L. Fernández Jambrina
Solenoide Toroidal
b
a
• Sea un arrollamiento sobre un toroide de
sección transversal rectangular como el
indicado en la figura de radios a y b y altura d.
• El arrollamiento tiene N espiras totales y la
corriente que circula es de I amperios.
– Se escoge el eje Z coincidiendo
 NI ˆ
con el eje del solenoide y el
 2πρ ρ
origen en el centro del solenoide.

− NI
– Si las espiras están muy
ρˆ
r 
próximas se pueden aproximar J S =  2πρ
por una corriente superficial:
 NI zˆ
 2πa
 − NI
– Por la simetría de revolución el
 2πb zˆ
campo no dependerá de ϕ:

r r
H = H (ρ ρˆ + zzˆ )
h
;
z=h 2
; z = −h 2
a<ρ<b
a<ρ<b
;
ρ=a
−h 2< z <h 2
;
ρ=b
−h 2< z <h 2
– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y
contenidos en planos z=cte:
EyM 5b-12
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
6
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solenoide Toroidal
(2)
– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de
círculos centrados en el eje Z y contenidos
en planos z=cte, solo habrá flujo neto de
corriente (NI)cuando estén dentro del solenoide:
 NI
; −h 2< z <h 2 a<ρ<b

H ϕ =  2πρ
 0
;
resto
– Respetando la simetría, el otro tipo de líneas
de campo que puede haber serían las contenidas
en planos ρ=cte, pero deberían estar generadas
por corrientes según ϕ, que no existen.
– El campo sólo tendrá componente según ϕ:
r  NI ϕ$ ; − h 2 < z < h 2 a < ρ < b
H =  2 πρ
 0
;
resto
– El campo en el interior es como el creado por una línea de corriente.
• El campo queda confinado en el interior del solenoide.
EyM 5b-13
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones de corriente axial
con simetría de translación.
• Se trata de distribuciones de corriente con una dirección constante e
invariantes según esta dirección.
r r
J (r ) = J z ( x, y )zˆ
r r
r r
r µ
J (r ′) × (r − r ′)
B=
dV ′
r r3
4π ∫∫∫
r − r′
V′
– Por ejemplo, si la dirección de invarianza es z$ :
• Las expresiones habituales,
pueden dar problemas ya que suponen que la distribución es finita y
que se cumplen las correspondientes condiciones en el infinito.
• La solución es considerar elementos de corriente indefinidos en la
dirección de la corriente y asociados a un dS:
– La corriente de estos elementos es:
r r
dI = J ⋅ dS = J z dS
– y el campo, utilizando su propio eje z.
r µJ dS
dB = z ϕˆ J
2πρ J
– Ahora hay que utilizar un mismo eje z común.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
S
dS
z$
dI
EyM 5b-14
7
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Distribuciones de corriente axial
con simetría de translación.
(2)
YJ
• Generalizando la expresión del campo:
r µJ dS
r
µJ dS
dB = z ϕˆ J = zr 2 zˆ × rJ
2πρ J
2π rJ
ZJ
– Utilizando un origen de coordenadas general:
r
r′
Y
r
r
r
r r r
r r
µJ z dS ′
rJ = r − r ′ ⇒ dB =
r r 2 zˆ × (r − r ′)
′
2π r − r
• Sumando las contribuciones:
r r
µ
B(r ) =
2π ∫∫S
XJ
r r r
rJ = r − r ′
X
Las integrales se
extienden a la
traza de la
distribución sobre
la sección
transversal.
Z
r r
r r
J (r ′) × (r − r ′)
dS ′
r r 2
r − r′
• Para distribuciones superficiales y lineales:
r r
r r
r r
r r
r r
µ J S (r ′) × (r − r ′)
µ
I i zˆ × (r − ri )
′
(
)
B (r ) =
d
l
B
r
=
∑ rr − rr 2
r r 2
2π ∫C
2π i
r − r′
i
r
– Todos los vectores son de dos dimensiones: r = xxˆ + yyˆ = ρ ρˆ
EyM 5b-15
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Tira de corriente.
Y
• Calculando en todo el espacio:
r r
r r
r r
µ J S (r ′) × (r − r ′)
B (r ) =
dl ′
r
r
2
2π ∫C
r − r′
Z
r
I
– La densidad de corriente es:
J S = zˆ
w
r r
r − r ′ = yyˆ + ( x − x′)xˆ

r
r = xxˆ + yyˆ  
r r 2
2
r − r ′ = y 2 + ( x − x′ )
r
⇒
r ′ = x′xˆ
 r r
r r
 J S (r ′)× (r − r ′) = I w (− yxˆ + ( x − x′) yˆ )
r r
µI w 2 − yxˆ + ( x − x′) yˆ
B(r ) =
dx′ =
2πw ∫− w 2 y 2 + ( x − x′)2
(
µI 
x − x′
yˆ
2
 arctg
=
xˆ − ln y 2 + ( x − x′)
2πw 
y
2
=
x−w 2
x+w
µI 
− arctg
 arctg
2πw 
y
y
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
)
w2


=
 −w 2
2
2
yˆ  y 2 + ( x + w 2 ) 

 xˆ + ln 2
2  y + ( x − w 2 ) 

w
X
I
Y
w
X
EyM 5b-16
8
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ejemplo: Tira de corriente.
(2)
2
r r
µI 
x−w 2
x+w 2
yˆ  y 2 + ( x − w 2 ) 

 xˆ + ln 2
B(r ) = −
− arctg
 arctg
2πw 
y
y 
2  y + ( x + w 2 ) 
• Las funciones arcotangente son las encargadas de modelar la
discontinuidad de la componente x correspondiente a la densidad de
corriente.
EyM 5b-17
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Línea biplaca.
Y
• Limitando el cálculo al plano de simetría:
r r
r r
r r
µ J S (r ′) × (r − r ′)
B(r ) =
dl ′
r
r
2
2π ∫C
r − r′
Z
w
X
I
r
I
– Trabajando con el conductor superior: J S = zˆ d
w
I
r r
r
r − r ′ = ( y − d 2 ) yˆ − x′xˆ
r = yyˆ
 
r r 2

2
r − r ′ = ( y − d 2 ) + x′2
r d
⇒
r ′ = yˆ + x′xˆ   r r
2
  J S (r ′) × (rr − rr′) = − I w (( y − d 2 )xˆ + x′yˆ )
r
µI w 2 ( y − d 2)xˆ + x′yˆ
B( yyˆ ) = −
dx′ =
2πw ∫− w 2 ( y − d 2 )2 + x′2
=−
(
µI 
x′
yˆ
2
 arctg
xˆ + ln ( y − d 2 ) + x′2
2πw 
y−d 2
2
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
Y
w
d/2
X
)
w2
 −w 2
=−
µI
w
arctg
xˆ
πw
2y − d
EyM 5b-18
9
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ejemplo: Línea biplaca.
(2)
• Superponiendo los campos de ambos conductores.
r
µI
w
µI
w
µI 
w
w 
B( yyˆ ) = −
arctg
xˆ +
arctg
xˆ =
 arctg
− arctg
 xˆ
πw
2y − d
πw
2y + d
πw 
2y + d
2 y − d 
1 10
• En el origen:
r
2µI
w
B(0 ) =
arctg xˆ
πw
d
6
d=w
5 10
• Para líneas muy anchas:
w=2
d=w/5
7
Bx ( y )
– w>>d
r
µI  π π 
µI
lim B( y ) =
xˆ
 +  xˆ =
w→∞
πw  2 2 
w
y <d / 2
r
µI  π π 
lim B( y ) = ±
 −  xˆ = 0
w→∞
πw  2 2 
y >d / 2
0
5 10
7
2
0
2
y
EyM 5b-19
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Línea biplaca.
(3)
• Líneas de campo: w=2, d=0.4
1
2
0.8
1
0.6
0
0.4
-1
0.2
0
-2
-2
-1
0
1
J.L. Fernández Jambrina
Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
EyM 5b-20
10