Modelo de Maxwell: fuentes de campo y ecuaciones de Maxwell

J.L. Fernández Jambrina
• Condiciones en las interfases.
• Linealidad de las ecuaciones de Maxwell.
• Balance energético: Teorema de Poynting.
– Influencia sobre los materiales.
– Clasificación de medios.
– Ley de Ohm. Constante de relajación.
• Ecuaciones de estado.
– Forma Integral. Forma diferencial.
• Definición del campo electromagnético.
• Ecuaciones de Maxwell.
– Carga eléctrica. Corriente eléctrica.
– Ecuación de continuidad.
• Introducción
• Fuentes de campo:
Ecuaciones generales
Modelo de Maxwell
EyM 2a-1
J.L. Fernández Jambrina
– Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente.
– Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente.
• Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes.
– Integral:
» Flujos y circulaciones.
– Diferencial:
» Divergencias y rotacionales.
• Hay dos formas de expresar las ecuaciones de Maxwell:
EyM 2a-2
– Los materiales se consideran continuos.
– En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de
partículas elementales en los recintos habituales permite considerarlos
continuos.
• El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones
de Maxwell junto con las ecuaciones de estado.
• Es un modelo macroscópico:
Introducción
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-3
– En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela.
– Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones.
– En los metales existen electrones libres que se pueden desplazar entre
una red de iones.
– En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones.
• Se puede considerar que los portadores de carga básicos son los
protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa.
– Es una unidad muy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra
puesta a 1V es del orden de 0.7 mC
• Unidad: Culombio ó Coulomb (C)
– El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral.
» Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen.
• Se supone conocido el concepto de carga eléctrica.
Carga eléctrica.
r
∆q dq
ρ(r ) = lim
=
∆V → 0 ∆V
dV
O
r
r
J.L. Fernández Jambrina
V
V
r
q = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ(r )dV
– Relación con la carga encerrada en un volumen:
– Unidades: (C/m3)
– Definición:
Densidad de carga por unidad de volumen:
• Magnitud diferencial o puntual asociada:
dV
dq
Densidad de carga eléctrica volumétrica.
EyM 2a-4
V
» Su densidad se puede representar por una δ tridimensional: δ3
r
r
δ3 (r ) = 0 ; r ≠ 0
r
q
1
;
r

r
q ∈V
3 r
r
rq
∫∫∫V δ (r − rq )dV = 0 ; rrq ∉ V
V
O
r
;
q
r

r
r
r r
q ∈V
⇒ ρ(r ) = qδ3 (r − rq )
q = ∫∫∫ ρ(r )dV = 
r
V
0 ; rq ∉ V
EyM 2a-5
J.L. Fernández Jambrina
– Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de
dimensiones muy pequeñas frente a la distancia de observación.
– La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se
encuentra la carga:
» Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q en
su interior:
r
∆q
q
ρ(r ) = lim
= lim
=∞
∆V → 0 ∆V
∆V → 0 ∆V
• Carga puntual:
Otros tipos de distribuciones de carga
r
r
dq
J.L. Fernández Jambrina
S
EyM 2a-6
r
∆q dq
ρ S (r ) = lim
=
C m2
∆S → 0 ∆S
dS
– Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los
puntos de la superficie.
dV
r
r ∆S
∆q
ρ(r ) = lim
= lim ρ S (r )
=∞
∆V → 0 ∆V
∆V → 0
∆V
dS
ρS
– Se puede representar por una δ.
» si la superficie está definida por ui= uS :
r
r
ρ(r ) = δ(un − uS )ρ S (r )
– Caso típico: carga en la superficie
de un conductor.
O
– Densidad de carga superficial:
dS
• Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una
de sus dimensiones es despreciable frente a la distancia de
observación.
Distribución superficial de carga.
J.L. Fernández Jambrina
dl
dq
C
EyM 2a-7
r
r ∆l
∆q
ρ(r ) = lim
= lim ρ L (r )
=∞
∆V → 0 ∆V
∆V → 0
∆V
O
r
r
– Se puede representar por una δ2:
» si la línea está definida por ui= ul,i y uj= ul,j :
r
r
ρ(r ) = δ(ui − ul .i )δ(u j − ul . j )ρ L (r )
– Dificultad: la densidad de carga
volumétrica no está definida en los
puntos de la línea.
r
∆q dq
ρ L (r ) = lim
=
C m
∆ l → 0 ∆l
dl
– Caso típico: carga de un hilo conductor.
– Densidad de carga lineal:
• Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que dos
de sus dimensiones son despreciables frente a la distancia al punto
de observación.
Distribución lineal de carga
dq
A
dt
– La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que
equivale a un flujo de 1 Coulomb en 1 segundo.
– En un metal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad
media depende del campo eléctrico existente:
– Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan.
– En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y
negativos.
» Sus velocidades medias dependen del campo eléctrico pero no
tienen por qué coincidir.
– Otro tanto se puede decir de los semiconductores.
EyM 2a-8
J.L. Fernández Jambrina
I=
• La corriente eléctrica es la carga en movimiento.
• La magnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica
es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que
atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (Magnitud integral)
Corriente Eléctrica
S
S
OjO
dS
n$
dI
S
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EyM 2a-9
– Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de
una superficie en la unidad de tiempo.
– Corriente volumétrica porque las cargas se mueven dentro de un volumen.
• Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica.
S
r
r r
I = ∫∫ dI = ∫∫ J ⋅ nˆ dS = ∫∫ J ⋅ dS
• Unidades: Amperio/metro2, es decir, A/m2
• Relación con la intensidad de corriente:
– Es un vector:
» definición por componentes:
r
∆I dI
ˆn ⋅ J = lim
=
∆S → 0 ∆S
dS
• Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto.
• Definición:
Densidad de corriente volumétrica
J.L. Fernández Jambrina
• Unidades: A/m2
i
OjO
i
r
r
r
J = ∑ J i = ∑ ρi vi
• En el caso de varios tipos de portadores:
r
r
J = ρv
• Puesto que la superficie es arbitraria:
r
r
r
∆q
ρ∆V ρv ⋅ nˆdtdS
J ⋅ nˆ = lim
= lim
=
= ρv ⋅ nˆ
∆S → 0 ∆S∆t
∆S → 0 ∆S∆t
dSdt
v ⋅ n$ ∆t
r
v
r
v ∆t
ρ
EyM 2a-10
∆S
n$
• La carga ∆q que atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t
a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida
en el volumen ∆V :
r
» densidad de carga asociada: ρ
r
» Velocidad media de desplazamiento: v
• Suponiendo un único tipo de portadores:
Densidad de corriente volumétrica (2)
J.L. Fernández Jambrina
L
L
r
∆I dI
=
nˆ ⋅ J S = lim
∆l → 0 ∆l
dl
r r r
» l es la intersección de la superficie
dI = J ⋅ dS = J ⋅ nˆ δdl
por la que circula la corriente con
la que se utiliza para el cálculo de
la intensidad.
» n$ está contenido en la superficie
por la que circula la corriente y
δ=0
dI
es normal a l
OjO
• Unidades: A/m
r
r
– Amperios/(Unidad de anchura)
dI = J S ⋅ dl
• Relación con la intensidad:
r
I = ∫ dI = ∫ J S ⋅ nˆ dl
EyM 2a-11
dl
dl
• La corriente superficial es una aproximación de una corriente que
circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto
de observación.
• La densidad de corriente superficial
δ>0
dI
caracteriza este tipo de distribuciones.
Distribuciones de corriente superficial
n̂
n̂
J.L. Fernández Jambrina
S
s
r r
I = ∫∫ J ⋅ dS
lˆ
I
lˆ
EyM 2a-12
I
• Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I, y el
vector unitario lˆ .
– Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor.
• Son una aproximación de las corrientes que circulan a lo largo de un
recinto de dimensiones transversales despreciables frente a la
distancia al punto de observación.
Distribuciones filiformes.
dV
dq
V
S
r
J
n$
J.L. Fernández Jambrina
» Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen:
r ∂ρ
∇⋅J +
=0
∂t
EyM 2a-13
» Para cualquier volumen V la disminución de la carga encerrada es
igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente.
– Ecuación de continuidad en forma diferencial.
» Si V permanece fijo en el tiempo:
r r
r

I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ JdV
r ∂ρ 
S
V
dq


dq d
dρ  ⇒ I + dt = ∫∫∫V  ∇ ⋅ J + ∂t dV = 0


q = ∫∫∫ ρdV ⇒
= ∫∫∫ ρdV = ∫∫∫
dV 
V
V
V
dt dt
dt

– Ecuación de continuidad en forma integral.
r
dq
dq
r
I =−
⇔
I+
=0
O
dt
dt
• Ley de conservación de la carga:
La carga no se crea ni se destruye.
Ley de conservación de la carga:
Ecuación de continuidad
)
J.L. Fernández Jambrina
V
V
V
V
r
r
r r
F = ∫ Edq + ∫ v × Bdq =
Q
Q
r
r
r
r r
r
= ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ v ρ × BdV = ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ J × BdV
• Fuerzas sobre distribuciones volumétricas:
r
r r r
F =q E+v×B
(
EyM 2a-14
r
v
– Si una carga q se mueve a velocidad en el seno de un campo
electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor:
• La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.
– E : Intensidad de campo eléctrico (V/m)
r
– D : Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento
eléctrico (C/m2)
r
– B : Densidad de flujo magnético (T=wb/m2)
r
– H : Intensidad de campo magnético (A/m)
• La descripción
del campo electromagnético requiere cuatro vectores:
r
Definición del campo electromagnético
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Ampère
Flujo del campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Gauss
• Ecuaciones de Maxwell
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
∇⋅B = 0
r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
r r
r r
∂
∫CE ⋅ dl = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS
r r
∫∫ B ⋅ dS = 0
r r
r r
∂
∫CH ⋅ dl = I + ∂t ∫∫SD ⋅ dS
S
EyM 2a-15
r
∇⋅D = ρ
r r
D
∫∫ ⋅ dS = q
S
Forma Diferencial
Forma Integral
– A Maxwell se debe sólo un término de una de ellas.
• Son cuatro.
Ecuaciones de Maxwell
dV
V
dS
r
D
r
r
∇⋅ D = ρ
S
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-16
• La densidad de carga es la fuente escalar del campo D : las líneas
tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de
carga negativa.
r r Gauss
r 
D
⋅
d
S
=
∇
⋅
D
∫∫S
∫∫∫V dV  ⇒ ∫∫∫∇ ⋅ Dr dV = ∫∫∫ ρdV ⇒
V
V
q = ∫∫∫ ρdV

V

– Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios:
• Es fácil pasar de su forma integral a la diferencial:
S
r r
∫∫ D ⋅ dS = q
r
– El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, D , a través una
superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior.
• Enunciado:
Ley de Gauss
n$
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-17
r
r
• Relaciona el campo E con la variación temporal del campo B .
r
– La circulación del campo E a lo largo de un contorno C es igual
a la
r
menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo B a través
de una de las superficies limitadas por C.
n$
r r
r r
∂
dS
∫CE ⋅ dl = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS
S
C
– Si se supone que la superficie S permanece fija
y que sólo contiene puntos ordinarios:
r r Stokes
r r 
r
r
∫CE ⋅ dl = ∫∫S∇ × E ⋅ dS 
r
r
r r
∂B
∂B
∂S
∇
×
E
=
−
r
∇
×
E
⋅
d
S
=
−
⋅
d
S
⇒
∫∫S ∂t
r r ∂t = 0 ∂B r ∫∫S
∂t
∂

B ⋅ dS = ∫∫
⋅ dS 
S ∂t
∂t ∫∫S

r
r
B
– La variación temporal de es fuente vectorial del campo E .
Ley de Faraday
V
r
∇⋅B = 0
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-18
– Equivale a negar la existencia de monopolos o cargas magnéticas.
S
r r
r
∫∫ B ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ BdV = 0 ⇒
– Y si sólo contiene puntos ordinarios:
S
r r
∫∫ B ⋅ dS = 0
– Para toda superficie:
• Las líneas de campo magnético son cerradas:
Ecuación del flujo del campo magnético
r
r
– La circulación del campo H a lo largo de un contornor C es igual a la
derivada con respecto al tiempo del flujo del campo D a través de una
de las superficies limitadas por C más la corriente.
n$
r r
r r
∂
dS
∫CH ⋅ dl = I + ∂t ∫∫SD ⋅ dS
S
C
– Si se supone que la superficie S permanece fija y
que sólo contiene puntos ordinarios:
r r Stokes
r r
∫CH ⋅ dl = ∫∫S∇ × H ⋅ dS 
∂S
r
r
r

=0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∂
t


∂
∂D
∂D
∂D



D
⋅
d
S
=
⋅
d
S
⇒
∇
×
H
⋅
d
S
=
J
+
⋅
d
S
⇒
∇
×
H
=
J
+

∫∫S
∫∫S
∫∫S  ∂t 
∂t ∫∫S
∂t
r r ∂t

I = ∫∫ J ⋅ dS

S


r
r
• La variación temporal de
r D y la densidad de corriente, J ,son fuentes
vectoriales del campo H .
EyM 2a-19
J.L. Fernández Jambrina
• Relaciona el campo H con la variación temporal del campo D y la
corriente.
r
Ley de Ampère
S1
I0
I0
C
S2
C S1
q+
n̂
q+
I0
I0
(2)
J.L. Fernández Jambrina
⇒
S = − S1 + S 2
C
r r ∂
r r
r r ∂
r r
− ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒ I 0 = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS
∂t S 2
∂t S 2 EyM 2a-20
S1
S1
S2
n̂
– Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación
de carga en el condensador es fácil obtener un término que conduce al
resultado correcto:
S = − S1 + S 2
r r ∂
r r
∂q
= 0 ⇒ ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒
I+
∂t
∂t S
S
– Si con el mismo contorno se escoge una
superficie que que pase entre las armaduras:
r r
r r
I 0 = ∫ H ⋅ dl ≠ ∫∫ J ⋅ dS = 0
C
– Supongamos que el campo eléctrico es nulo
fuera del condensador y escogamos una
superficie que corte al conductor:
r r
r r
I 0 = ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS
• Se puede justificar su necesidad:
r
• El término ∂D ∂t es la contribución de Maxwell.
Ley de Ampère
(3)
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-21
– Esta fue la aportación de Maxwell.
– Esta aportación permitió la predicción de la propagación de ondas
electromagnetismo y fue la confirmación experimental de la existencia de
éstas (Hertz 1886) lo que confirmó la validez de este término.
– trabajando un poco:
r ∂ρ

r ∂
r
∇⋅J +
= 0
 r ∂ r
 ⇒ ∇ ⋅ J + ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ J + D = 0
r ∂t
∂t
∂t 

∇ ⋅ D = ρ 
r
r
J
∂
D
∂t varían de forma que se compensan sus variaciones
– resulta que y
desde el punto de vista de cálculo de sus flujos.
– Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de
Ampère clásica de esta forma:
r r
r
∇ × Hr = J  ?
r r ∂D
r ∂D
⇒ ∇ × H = J +
J+
= cte
∂t
∂t

Ley de Ampère
J.L. Fernández Jambrina
(
)
(
)
EyM 2a-22
– Calculando la divergencia de la Ley de Ampère:
r
r


∇ ⋅∇× H = 0
r
r r ∂D

r ∂
r Ec. ∂
r  ⇒
∇× H = J +
⇒   r ∂D 
∇⋅ J +
=
−ρ+∇⋅D
∂t
 = ∇ ⋅ J + ∂t ∇ ⋅ D Cont
 

. ∂t
∂
t



r
r
∂
⇒
− ρ + ∇ ⋅ D = 0 ⇒ ∇ ⋅ D = ρ + cte
∂t
– La experiencia dice que ambas constantes son nulas.
– Calculando la divergencia de la Ley de Faraday:
r
r
 ∇ ⋅ r∇ × E = 0 
r
r
r
∂B
∂


r
∇× E = −
⇒  ∂B ∂
 ⇒ ∇ ⋅ B = 0 ⇒ ∇ ⋅ B = cte
∇
⋅
=
∇
⋅
B
∂t
 ∂t ∂t
 ∂t
• Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las
ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad:
Redundancia en las ecuaciones de Maxwell