1d: Rotacional

Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
EyM 1d-1
J.L. Fernández Jambrina
Circulación sobre contornos cerrados
• Ya se ha mencionado la circulación de un
campo vectorial a lo largo de contornos cerrados:
• Interpretación:
r
dl
r r
∫ A ⋅ dl
C
– Si se supone que el campo representa la velocidad
de un fluido de densidad y viscosidad homogéneas,
y que el contorno representa la guía de una cadena
con paletas, entonces la circulación muestra la
tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía:
– Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverse
en el sentido definido como positivo.
– Si es negativa, en sentido contrario.
– Si es nula, no se moverá.
C
• Importante:
– La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un
sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
EyM 1d-2
1
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Rotacional
• Definición:
– Es un vector que se define componente a componente según la
r v
expresión:
A ⋅ dl
r
r
∫
Cu
rot A u = ∇ × A u = lim
Cu → 0
Su
S →0
() (
)
u
– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte
– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.
– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo
de la circulación se debe relacionar con û según la regla del
sacacorchos.
• El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las
circulaciones sobre contornos cerrados.
EyM 1d-3
J.L. Fernández Jambrina
Expresión en curvilíneas ...
u3
• Comenzando por la componente û1, se puede
considerar el contorno de la figura y la superficie
u1=cte correspondiente.
∆ u3
P
u2
u1
– Empezando a calcular la circulación por el
lado de la derecha:
r u + ∆u 2 r
b r
u + ∆u 2
∫a A ⋅ dl = ∫u33− ∆u33 2 A ⋅ uˆ3h3du3 ∆u2 = ∫u33− ∆u33 2 A3h3du3
u2 +
2
∆ u2
u3
u2 +
– Sólo contribuye la componente A3.
P
∆u 2
2
∆ u3
u2
u1
∆ u2
– A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el
integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar
a partir del valor en en punto P :
∫
b
a
r r
A ⋅ dl → A3h3∆u3
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
u2 + ∆ u2
2

∂A h ∆u2 
→  A3h3 P + 3 3
∆u3

∂u2 P 2 

EyM 1d-4
2
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresión en curvilíneas ...(2)
–
∫
b
a
r r
A ⋅ dl → A3h3∆u3
u2 +
∆u 2
2

∂A h ∆u2 
→  A3h3 P + 3 3
∆u3

∂u2 P 2 

∫
b
b
∆ u3
P
– Trabajando con el lado opuesto:
r

d r
∂A h
∫c A ⋅ dl → − A3h3∆u3 ∆u2 → − A3h3 P − ∂u3 2 3

u2 −
2
– Combinado las contribuciones:
r dr r
b r
∂A h
∫a A ⋅ dl + ∫c A ⋅ dl → ∂u3 2 3 ∆u2∆u3
P
– La contribución de los otros dos lados es:
c
u3
P
u2
u1
∆u2 
∆u3
2 
a
∆ u2
u3
c
∆ u3
P
d
u2
u1
∆ u2
r r ar r

∂A h ∆u 
A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl → −  A2 h2 + 2 2 3 ∆u2 +
d
∂u 2
144442344443
b→c


∂A h ∆u
∂A h
+  A2 h2 − 2 2 3 ∆u2 = − 2 2 ∆u2 ∆u3
∂u3 2 
∂u3
14442
444
3
d →a
u3
c
b
∆ u3
P
d
u2
u1
a
∆ u2
EyM 1d-5
J.L. Fernández Jambrina
Expresión en curvilíneas ...(3)
• Finalmente:
r
r
∫ A ⋅ dl
(∇ × A) = lim
C1
1
C1 → 0
S1 → 0
S1
 ∂A3h3 ∂A2h2 

∆u2 ∆u3
−
∂u2
∂u3 
=
=
h2h3∆u2 ∆u3
∂
1  ∂A3h3 ∂A2 h2 
1

 =
=
−
∂u2
h2 h3  ∂u2
∂u3  h2 h3
A2 h2
∂
∂u3
A3h3
u3
u2
u1
u3
• La componente 2:
(∇ × A)2 =
∂
1  ∂A1h1 ∂A3h3 
1

 =
−
∂u3
h3h1  ∂u3
∂u1  h3h1
A3h3
∂
∂u1
A1h1
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
∂
1  ∂A2h2 ∂A1h1 
1

 =
−
∂u1
h1h2  ∂u1
∂u3  h1h2
A1h1
u2
u3
• La componente 3:
(∇ × A)3 =
u1
∂
∂u2
A2h2
u1
u2
EyM 1d-6
3
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones del rotacional
• Curvilíneas:
r
∇× A =
h1uˆ1
1
∂
h1h2h3 ∂u1
A1h1
h2uˆ2
h3uˆ3
A2 h2
A3h3
∂
∂u 2
∂
∂u3
• Cartesianas:
xˆ
r ∂
∇× A =
∂x
Ax
yˆ
∂
∂y
Ay
zˆ
∂  ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax 
 xˆ + 
 zˆ
=
−
−
−
 yˆ + 
∂z  ∂y
∂z   ∂z
∂x   ∂x ∂y 
Az
• Cilíndricas
ρˆ
r 1 ∂
∇× A =
ρ ∂ρ
Aρ
Esféricas
ρϕˆ
∂
∂ϕ
ρAϕ
zˆ
∂
∂z
r
∇× A =
Az
rˆ
∂
1
r 2 senθ ∂r
Ar
rθˆ
∂
∂θ
rAθ
rsenθϕˆ
∂
∂ϕ
rsenθAϕ
EyM 1d-7
J.L. Fernández Jambrina
Teorema de Stokes
• Enunciado:
La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno
cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una
superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de
circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla
del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.
n$
r r
r r
A
⋅
d
l
=
∇
×
A
⋅ dS
∫
∫∫
C
S
S
C
Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas
superficies a efectos de este teorema.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
EyM 1d-8
4
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Teorema de Stokes (2)
C
• Demostración:
– La superficie escogida se puede dividir en
un número arbitrario de subsuperficies
manteniendo el sentido de circulación a
sus contornos.
– Al sumar la circulación a lo largo de todos los
contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados
interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior:
r r N r r
+
=
∫ A ⋅ dl = ∑ ∫ A ⋅ dl
C
Ci
i
– Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición
de rotacional: r v
r
∫CA ⋅ dl ⇒ Ar ⋅ dlv = ∇ × Ar ⋅ S nˆ ⇒ Ar ⋅ dlr = N ∇ × Ar ⋅ S nˆ
∇ × A u = lim u
∑i
i i
i i
∫Ci
∫C
Cu → 0
Su
S →0
(
)
u
– Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero:
N
r
r r
r r
∫ A ⋅ dl = lim ∑ ∇ × A ⋅ Si nˆi = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
C
N →∞
i
S
EyM 1d-9
J.L. Fernández Jambrina
Definición alternativa del rotacional.
r
• La definición del rotacional utilizada:
(
)
r
∇ × A u = lim
v
∫ A ⋅ dl
Cu
Cu → 0
Su
Su →0
– Permite una interpretación directa útil.
– Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite
comprobar fácilmente que el rotacional es un vector.
r
r
A × dS
r
∫∫
S
• Algunos textos utilizan la definición:
∇ × A = − lim
V →0
V
S →0
Esta definición:
– No permite una interpretación directa útil.
– Hace evidente que el rotacional es un vector.
r
r
r
– Por su parecido con la definición de
∇ × AdV = − ∫∫ A × dS
∫∫∫
V
S
la divergencia, esta definición lleva
directamente a la siguiente expresión integral:
– La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones
con equivalentes (y de que el rotacional es un vector).
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
EyM 1d-10
5
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Definición alternativa del rotacional.
(2)
r
r
r
∫∫∫∇ × AdV = − ∫∫ A × dS
V
S
– Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas
cartesianas:
∂A
» Definiendo un vector auxiliar de la forma Az yˆ ; ∇ ⋅ ( Az yˆ ) = z
∂y
es evidente que:
r
∂Az
∫∫∫V ∂y dV = ∫∫∫V ∇ ⋅ ( Az yˆ )dV = ∫∫S Az yˆ ⋅ dS = ∫∫S Az dS y
» Análogamente:
r
∂Ay
∫∫∫V ∂z dV = ∫∫∫V ∇ ⋅ (Ay zˆ )dV = ∫∫S Ay zˆ ⋅ dS = ∫∫S Ay dS z
r
 ∂A ∂Ay 
» Y ...
∫∫∫V ∇ × A x dV = ∫∫∫V  ∂yz − ∂z dV = ∫∫S (Az dS y − Ay dS z ) = − ∫∫S
r
 ∂A ∂A 
∫∫∫V ∇ × A y dV = ∫∫∫V  ∂zx − ∂xz dV = ∫∫S ( Ax dS z − Az dS x ) = −∫∫S
r
 ∂Ay ∂A 
∫∫∫V ∇ × A z dV = ∫∫∫V  ∂x − ∂yx dV = ∫∫S (Ay dS x − Ax dS y ) = − ∫∫S
r
r
r
∇ × AdV = − ∫∫ A × dS
∫∫∫
V
S
» Queda demostrado
[
]
[Ar × dSr ]
[
[
x
]
r
r
A × dS
[
]
]
[
]
y
r
r
A × dS z
EyM 1d-11
J.L. Fernández Jambrina
El operador nabla: ∇
• Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇ en la nomenclatura de
los operadores descritos.
• Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadas
cartesianas:
 ∂
∂
∂
∇ =  xˆ + yˆ + zˆ 
∂y
∂z 
 ∂x
• En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero
resulta útil para simplificar la nomenclatura.
• Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas
correspondientes para su aplicación.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
EyM 1d-12
6
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
(2)
El operador nabla:
• Gradiente:
– Producto de un escalar por un vector:
 ∂
∂
∂
∂U
∂U
∂U
∇U =  xˆ + yˆ + zˆ U =
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
• Divergencia:
– Producto escalar de dos vectores:
r
 ∂
∂
∂ 
∂A ∂A ∂A
∇ ⋅ A = ∇ =  xˆ + yˆ + zˆ  ⋅ (Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ ) = x + y + z
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
• Rotacional:
– Producto vectorial de dos vectores:
xˆ
r  ∂
∂
∂ 
∂
∇ × A =  xˆ + yˆ + zˆ  × (Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ ) =
∂y
∂z 
∂x
 ∂x
Ax
yˆ
zˆ
∂
∂y
∂
∂z
Ay
Az
EyM 1d-13
J.L. Fernández Jambrina
El operador nabla: ∇
(3)
• Existe una definición general:

1
 ∇U = ∆lim
V → 0 ∆V

r
r
1
1

∇o = lim
d
S
o
⇒
 ∇ ⋅ A = ∆lim
∆V → 0 ∆V ∫∫
V → 0 ∆V
∆S

r
1

∇ × A = ∆lim
V → 0 ∆V

J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
r
∫∫UdS
⇔
r r
∫∫ A ⋅ dS
⇔
∆S
∆S
V
r
∫∫ dS × A ⇔
∆S
r
∫∫∫∇UdV = ∫∫UdS
S
r
r r
∫∫∫∇ ⋅ AdV = ∫∫ A ⋅ dS
V
S
r
r
r
∫∫∫∇ × AdV = −∫∫ A × dS
V
S
EyM 1d-14
7
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Derivada Temporal
• En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial
respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el
tiempo se habla de derivada temporal
• Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un
ejemplo:
r
– Dado un campo vectorial A(u1 , u2 , u3 , t ) y un móvil cuya posición
r está dada
r
por r (u1 (t ), u2 (t ), u3 (t )) : Calcule el vector derivada del campo A respecto
al tiempo según se observa desde el móvil.
» Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición.
r
dA d
dA
dA
dA
duˆ
duˆ
duˆ
= ( A1uˆ1 + A2uˆ2 + A3uˆ3 ) = uˆ1 1 + uˆ2 2 + uˆ3 3 + A1 1 + A2 2 + A3 3
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
» donde:
dAi ∂Ai du1 ∂Ai du2 ∂Ai du3 ∂Ai
=
+
+
+
dt ∂u1 dt ∂u2 dt ∂u3 dt
∂t
∂uˆi
∂u j
• Las expresiones de la forma
duˆi ∂uˆi du1 ∂uˆi du2 ∂uˆi du3
=
+
+
dt ∂u1 dt ∂u2 dt ∂u3 dt
dependen de cada caso:
EyM 1d-15
J.L. Fernández Jambrina
Derivada Temporal
• Cartesianas:
dxˆ dxˆ dxˆ
=
=
=0
dx dy dz
dyˆ dyˆ dyˆ
=
=
=0
dx dy dz
• Cilíndricas:
dρˆ
=0
dρ
dϕˆ
=0
dρ
dzˆ
=0
dρ
dρˆ
=0
dz
dϕˆ
=0
dz
dzˆ
=0
dz
• Esféricas:
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
(2)
drˆ
=0
dr
dθˆ
=0
dr
dϕˆ
=0
dr
dρˆ
= ϕˆ
dϕ
dϕˆ
= −ρˆ
dϕ
dzˆ
=0
dϕ
drˆ ˆ
=θ
dθ
dθˆ
= −rˆ
dθ
dϕˆ
=0
dθ
dzˆ dzˆ dzˆ
=
=
=0
dx dy dz
drˆ
= sen θϕˆ
dϕ
dθˆ
= cos θϕˆ
dϕ
dϕˆ
= − sen θrˆ − cos θθˆ
dϕ
EyM 1d-16
8