Variaci n temporal arbitraria. Comparaci n con la variaci n lenta. Retardo

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Introducción a la variación temporal
• Comparación entre situaciones estáticas, estacionarias y de
variación lenta con variación arbitraria.
– Relaciones campos - potenciales
– Ecuaciones de los potenciales para medios homogéneos, lineales e
isótropos.
– Soluciones de los potenciales para distribuciones finitas y medios
indefinidos.
• Consideraciones sobre el retardo.
EyM 7-1
J.L. Fernández Jambrina
Ecuaciones de los campos
Estática Cor. Estacionarias
Variación Temporal
Lenta
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅D = ρ
r
∇× E = 0
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
∇⋅B = 0
r
∇⋅B = 0
r
∇⋅B = 0
r r
∇× H = J
r r
∇× H = J
r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
Variación Temporal
Arbitraria
EyM 7-2
1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Campos Potenciales
Estática Cor. Estacionarias
Variación Temporal
Lenta
Variación Temporal
Arbitraria
r
∇⋅B = 0
r
r
B = ∇× A
r
∇⋅B = 0
r
r
B = ∇× A
r
∇⋅B = 0
r
r
B = ∇× A
r
∇× E = 0
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∂A
E = −∇Φ −
∂t
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∂A
E = −∇Φ −
∂t
r
E = −∇Φ
EyM 7-3
J.L. Fernández Jambrina
Potenciales electrodinámicos.
• En general se puede seguir definiendo un potencial vector magnético
electrodinámico:
r

∇⋅B = 0
r
r
r
 ⇒ B = ∇× A
∇ ⋅ ∇ × A = 0
r
– donde de nuevo queda el grado de libertad de definir la ∇ ⋅ A
(
)
• Llevando esta definición a la ley de Faraday:
r r
r r
r r
r r
∂B(r , t )
∂
∂A(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
= − ∇ × A(r , t ) = −∇ ×
∂t
∂t
∂t
– donde se ha supuesto que, al tratarse de puntos ordinarios del espacio,
se puede intercambiar el orden de las derivadas.
r r
– colocando ambos términos a un lado de la
r r
∂A(r , t ) 
=0
igualdad, resulta posible definir un potencial ∇ ×  E (r , t ) +
∂t 

escalar eléctrico electrodinámico:
r r
r r
r r
r r
r
r
∂A(r , t )
∂A(r , t )
E (r , t ) +
= −∇Φ (r , t ) ⇔ E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
∂t
∂t
EyM 7-4
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Potencial Vector Fuentes de campo
Estática Cor. Estacionarias
Variación Temporal
Lenta
r r
∇× H = J
r r
∇× H = J
(
)
(
)
r
r
r
∇ ∇ ⋅ A − ∆A = µJ
r
r
r
∇ ∇ ⋅ A − ∆A = µJ
r
∇⋅ A = 0
r
∇⋅ A = 0
r
r
∆A = −µJ
r
r
∆A = −µJ
Variación Temporal
Arbitraria
r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
r
r
∇ ∇ ⋅ A − ∆A =
(
)
r
r
  ∂Φ ∂ 2 A 
µJ − ∇ µε
+ 2 
  ∂t ∂t 
r
∂Φ
∇⋅ A+µε = 0
∂t
r
2
r
r
∂ A
∆A − µε 2 = −µJ
∂t
EyM 7-5
J.L. Fernández Jambrina
Potencial Vector Fuentes de campo
(2)
• Para medios homogéneos, lineales e isótropos.
r
r r ∂D 
r
– Con la ley de Ampère:
r
r
∇× H = J +
∂E

∂t  ⇒ ∇ × B = µJ + µε
r
r r
r
∂t
B = µH ; D = εE 
– Considerando que:
r
r

B = ∇× A
r
r
r
r
r
 ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
r
∂A
 
r
r
E = −∇Φ −
r
r
r
⇒
∂E
∂∇Φ
∂ 2A
∂t
µ
µε
µ
µε
µε
∇
×
B
=
J
+
=
J
−
−
r
r
r 
∂t
∂t
∂t 2
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A 

r
r
r
r
∂Φ 
∂ 2A
– Reagrupando términos: ∆A − µε 2 − ∇ ∇ ⋅ A + µε
 = − µJ
∂t 
∂t

r
∂Φ
= 0 (Contraste de Lorentz)
– Escogiendo ∇ ⋅ A + µε
∂t
r
r
r
∂2 A
– se obtiene: ∆A − µε 2 = −µJ
∂t
(
(
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Tema 7: Variación arbitraria
)
)
EyM 7-6
3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Potencial Escalar Fuentes de campo
Estática Cor. Estacionarias
Variación Temporal
Lenta
r
∇⋅D = ρ
− ε∆Φ = ρ
∆Φ = −
ρ
ε
r
∇⋅D = ρ
Variación Temporal
Arbitraria
r
∇⋅D = ρ
r
r
 ∂A 
 ∂A 
 
− ε∆Φ − ε∇ ⋅   = ρ − ε∆Φ − ε∇ ⋅  ∂t  = ρ
 
 ∂t 
r
r
∂Φ
∇⋅ A+ µε = 0
∇⋅ A = 0
∂t
2
ρ
∂ Φ
ρ
∆Φ = −
∆Φ − µε 2 = −
ε
∂t
ε
EyM 7-7
J.L. Fernández Jambrina
Potencial Escalar Fuentes de campo
(2)
• Realizando un proceso similar sobre la ecuación de Gauss:

r
r
r
  ρ = ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = 
∇⋅D = ρ
r
r
r r
r  
r 
∂
ρ
B = µH ; D = εE  ⇒ 
 ∂A  ⇔ ∆Φ + ∇ ⋅ A = −
∂t
ε
r   = −ε∆Φ − ε∇ ⋅  
r
∂A  
 ∂t 
E = −∇Φ −
∂t 
r
• Con el contraste de Lorentz: ∇ ⋅ A + µε ∂Φ = 0
∂t
• Se elimina el potencial vector
∆Φ − µε
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
∂ 2Φ
ρ
=−
2
∂t
ε
EyM 7-8
4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Solución de los potenciales electrodinámicos.
• En el caso más simple posible: una carga en el origen de
coordenadas que varía como q( t ) , la solución del potencial eléctrico
r
es:
q (t − r c )
r
1
∂ 2Φ
r
Φ (r , t ) =
c=
≈ 3 ⋅108 m s
r
µε
∆Φ
−
=0 ; r ≠0
4πε0 r
µ 0ε 0
∂t 2
– Si se prescinde del origen de coordenadas, la comprobación es fácil:
r
1 ∂ 2 ∂ q (t − r c ) − 1 ∂  q(t − r c ) q′(t − r c ) 

∆Φ(r , t ) = 2
= 2
+
r
r  =
r ∂r ∂r 4πε 0 r
r ∂r  4πε 0
4πε 0 c

=
q′(t − r c ) q′′(t − r c ) q′(t − r c )
q′′(t − r c )
+
−
=+
2
2
2
4πcε 0 r
4πε 0 c r
4πε 0 cr
4πε 0c 2 r
r
1 ∂ 2Φ (r , t ) q′′(t − r c )
¡Solución válida!
=
c2
∂t 2
4πε 0c 2 r
r
q (t + r c )
– (ojo) Matemáticamente también vale:
r
Φ (r , t ) =
r
4πε0 r
Pero implica que el potencial cambia antes que la carga…
EyM 7-9
J.L. Fernández Jambrina
Solución Potenciales – Medio infinito
Nada cambia con el tiempo
Electrostática, Magnetostática y Corrientes Estacionarias
r v
v
r v
1
ρ(r )
µ
J (r )
v
′
Φ(r ) =
d
V
A
r
=
(
)
v v
v v dV ′
4πε ∫∫∫V ′ r − r ′
4π ∫∫∫V ′ r − r ′
Efecto inmediato de las
variaciones de las fuentes
r v
v
r v
1
ρ(r , t )
µ
J (r , t )
v
Φ(r , t ) =
v v dV ′ A(r , t ) =
v v dV ′
4πε ∫∫∫V ′ r − r ′
4π ∫∫∫V ′ r − r ′
Variación Temporal Lenta
Efecto retardado de las
variaciones de las fuentes
rv
v
v v
v v
r v
ρ(r , t − r − r ′ c )
J (r , t − r − r ′ c )
1
µ
v
′
Φ(r , t ) =
d
V
A
(
r
,
t
)
=
dV ′
v v
v v
4πε ∫∫∫V ′
r − r′
4π ∫∫∫V ′
r − r′
Variación Temporal Arbitraria
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
EyM 7-10
5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Carga puntual con variación sinusoidal
• Para una carga puntual en el origen con variación sinusoidal:
r
r
q0 sen (ω (t − r c )) q0 sen (ωt − β r )
r
ω
β = ω µε =
q (t ) = q0 sen (ωt ) ⇒ Φ (r , t ) =
=
r
r
4πε 0 r
4πε 0 r
c
– La variación es periódica en el tiempo: periodo T.
– La variación es pseudoperiódica en el espacio: longitud de onda λ.
ωt − β r = cte ⇒ c =
λ
Φ
0
t=T/4
dr ω
1
= =
dt β
µε
2π
=
ω
2π
βλ = 2π ⇒ λ =
=
β
ωT = 2π ⇒ T =
1
f
c
f
t=T/8
t=0
0
1
r/λ
2
3
J.L. Fernández Jambrina
EyM 7-11
Consideraciones sobre el retardo
• El retardo se puede despreciar si durante el tiempo de propagación
las fuentes no cambian significativamente:
v v
tr = r − r ′ c
• Si la fuente varia sinusoidalmente se puede comparar distancia y
longitud de onda:
r
r
r
ρ(r , t ) = ρ0 (r ) cos(2πf + φρ (r )) 
c
r r
r r
r  ⇒ λ = cT =
J (r , t ) = J 0 (r ) cos(2πf + φ J (r ))
f
v v
max r − r ′ << λ ⇒ retardo despreciable
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
EyM 7-12
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Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Consideraciones sobre el retardo
Frecuencia
6000 km
4 kHz
75 km
20 kHz
15 km
100 MHz
3m
100 MHz
3m
1 GHz
0,3 m
3 GHz
0,1 m
J.L. Fernández Jambrina
Tema 7: Variación arbitraria
Longitud de Onda Descripción
50 Hz
Frecuencia de la red de
distribución de energía
eléctrica.
Límite de la señal
telefónica
Límite de los equipos HI-FI
(2)
Comentario
España mide unos 1000Km:
No se puede despreciar el
retardo.
Atención a los bucles de
abonado largos y los modem.
No hay problemas.
Centro de la banda de FM. Circuitería más pequeña que
0.3 m.
Frecuencia fundamental en No se puede despreciar el
las redes locales.
retardo.
Empiezan las microondas. Casi imposible utilizar
componentes discretos
normales.
Frecuencia de reloj de
Imposible despreciar el
ordenadores.
retardo
EyM 7-13
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