3f: Método de las imágenes

Electromagnetismo
2012/2013
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
Elmg 3f-1
José L. Fernández Jambrina
Método de las Imágenes.
• Es un método potente que permite resolver algunos problemas
complicados.
– Consiste en modificar el problema, ampliando el recinto, de forma que:
» Resulte más sencillo.
» Se sigan cumpliendo las condiciones del problema original.
– Normalmente será necesario añadir cargas fuera del recinto original.
• Ejemplo: carga frente a un plano conductor:
+q
+q
d
d
~
ρS
d
Φ= 0
-q
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-2
1
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Plano conductor indefinido
• Problema original: ∆Φ = − δ (r − rq + )
ε
q
r
r
Z
– Condiciones de contorno:
Φ Plano = Φ z =0 = 0
» Regularidad en el infinito.
+q
r
rq+ = dz$
• Problema imagen:
O
– Condiciones de contorno.
» Regularidad en el infinito.
– Solución:
r
q  2
 x + y 2 + ( z − d )2
Φ I (r ) =
4πε 
(
Z
)
−
1
2
(
− x 2 + y 2 + (z + d )
)
1
2 −2
+q



r
rq+ = dz$
• La solución del problema imagen cumple las
condiciones del problema original:
r
q  2
Φ I (r ) z =0 =
 x + y2 + d 2
4πε 
(
)
−
1
2
(
− x2 + y 2 + d 2
)
−
1
2
O
r
rq− = −dz$

 = 0

-q
Elmg 3f-3
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Plano conductor indefinido (2)
• La solución del problema imagen verifica:
q r r
– La ecuación ∆Φ = − δ (r − rq + ) en z>0.
ε
Z
+q
r
rq+ = dz$
» La carga imagen está fuera del
recinto: es donde debe estar.
O
– Las condiciones de contorno.
» Las condiciones de contorno son las adecuadas para garantizar la
unicidad de la solución.
» Conclusión: La solución del problema original es:
1
 q  2
−
r 
 x + y 2 + ( z − d )2 2 − x 2 + y 2 + ( z + d )2
Φ (r ) =  4πε 

0

(
) (
Nota: se ha supuesto que en z<0 no hay cargas.
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
)
−
1
2

 ; 0 ≤ z

; z≤0
Elmg 3f-4
2
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Plano conductor indefinido (3)
• Problema: Distribución de carga frente a un plano
conductor indefinido a tierra en z=0:
– Solución:
r
r

ρ I (rI′)
r
1 
ρ (r ′)
′
Φ (r ) =
+
d
V
r
r
r
r dV I′ 
∫∫∫V
∫∫∫
V
4πε 
r − r′
I r − rI′

r r
r
r
r
rI′ = r ′ − 2(r ′ ⋅ zˆ )zˆ ρ I (rI′) = − ρ (r ′)
V
Z
Z
ρ
r
r′
ρ
r
rI′
ρI
O
O
VI
Elmg 3f-5
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Plano conductor indefinido (4)
• Problema: Carga frente a dos planos
conductores indefinidos.
– Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente.
-q
-q
+q
0V
-q
-q
+q
+q
0V
+q
+q
-q
-q
+q
0V
+q
0V
-q
-q
-q
+q
+q
+q
-q
+q
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-6
3
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Plano conductor indefinido (5)
• Problema: Carga frente a dos planos
conductores indefinidos.
– Infinitas cargas cada vez más alejadas => Una serie convergente.
Φ
2 cargas
Φ
4 cargas
Φ
6 cargas
Elmg 3f-7
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Diedro conductor indefinido
• Carga frente a un diedro cóncavo de 90º
α=π
π/2
+q
-q
+q
-q
+q
+q
-q
– Funciona para cargas en la parte interior de diedros de ángulo α=π/n.
– Para otros ángulos caen cargas en la región de estudio:
+q
≈
+q
-q
-q
+q
+q
-q
+q
≠
Soluciones no válidas
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-8
4
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Diedro conductor indefinido (2)
1
1
0.5
0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
1
1
Φ
0.5
0
0.5
1
Φ
Carga puntual frente a
un plano conductor
Carga puntual frente a un
diedro conductor de 90º
Elmg 3f-9
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Esfera conductora
• Problema a resolver: Distribuciones1
de carga frente a una esfera
conductora a potencial cero.
Q= -1.41
0.5
• Punto de partida:
q= 1
– La superficie de potencial cero en
un problema de dos cargas de
0
distinto signo es siempre una
esfera.
– En la figura:
» q=+1
0.5
» Q= -1.41
Φ=0
1
1
0.5
0
0.5
1
Φ
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-10
5
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Esfera conductora
(2)
r
2
rQ = Dzˆ


d q
=  
r
2 ⇒
D Q
– Sean Q y -q las dos cargas: Q>q>0. rq = dzˆ = D(q Q ) zˆ 
– Escogiendo el origen de forma que:
Z
– El potencial es:


Q
r
1 
Q
q

Φ (r ) =
−

2 2 
4πε  x 2 + y 2 + ( z − D )2
x 2 + y 2 + z − D(q Q )


-q
– La ecuación de la superficie Φ = 0 :
O
Q2 2
2 2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
+
y
+
z
−
D
q
Q
=
x
+
y
+
z
−
D
q2
• Comprobación:
( [
(
( [
])
]) )
Q2 2 Q2 2 Q2 2
q2
x + 2 y + 2 z − 2 zD + D 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 zD + D 2
2
q
q
q
Q
x2 + y2 + z 2 =
(
(
)
)
2
1− q2 Q2 2 q2 Q2 − q2 2  q 
D = 2 2
D =  D  = Dd
Q2 q 2 −1
Q Q − q2
Q 
– Resultado una esfera centrada en el origen.
Elmg 3f-11
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Esfera conductora
(3)
Z
• Solución al problema de una carga puntual
frente a una esfera conductora a tierra:
– La imagen de una carga Q situada a una distancia
D de una esfera conductora de radio a a tierra es
otra carga:
– De valor:
a
q=− Q
D
Q
D
q
d
a
O
2
– Situada en línea entre el centro d = a
D
de la esfera y Q a una distancia:
– El radio de la esfera es la media geométrica 2
de las distancias de las cargas a su centro. a = dD
• Comentarios adicionales:
– Este resultado vale tanto para cargas fuera o dentro de la esfera.
– La carga total de la superficie conductora será igual a la carga interior ...
» Con el mismo signo para el problema exterior.
» Con el signo cambiado para el problema interior.
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-12
6
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Esfera conductora
(4)
r
• Cálculo de E
– Suponiendo Q fuera de la esfera:

r
Q 
1
a


Φ (r ) =
−

2 2
4
2
4πε  r 2 + D 2 − 2rD cosθ
D r + a − 2ra D cosθ 
r r
1 ∂Φ ˆ
∂Φ
E (r ) = −∇Φ = −
rˆ −
θ=
r ∂θ
∂r

Q 
r − D cosθ
a D 2 r − a 2 D cosθ
rˆ −
=
−
32
32 

2
2
2
2
4
2
4πε  r + D − 2rD cosθ
D r + a − 2ra D cosθ

3


Q 
1
a
 D sen θθˆ
−
−
32
32 

2
2
2
2
4
2
4πε  r + D − 2rD cosθ
D r + a − 2ra D cosθ

[
]
[
[
]
[
(
)
]
]
– Densidad de carga en la superficie de la esfera:
r r
Q D2 − a2
1
ρ S r =a = ε E (r ) ⋅ rˆ = −
2
2
r =a
4π
a
a + D − 2aD cosθ
[
]
32
Elmg 3f-13
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Esfera conductora
(5)
• Equipotenciales y líneas de campo de una carga puntual frente a una
esfera a potencial cero.
1
1
0.5
0.5
Φ=0
0
0
0.5
0.5
1
0.5
0
0
0.5
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
0.5
0.5
0
0
Φ=0
0.5
0.5
1
1
1
Ψ
Carga fuera de la esfera.
1
1
1
1
Ψ
Φ
1
0.5
0
0
0.5
1
Ψ
Φ
Ψ
Carga dentro de la esfera
Elmg 3f-14
7
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
• Imagen de una línea de carga constante e indefinida paralela a un
cilindro conductor indefinido.
– Las superficies equipotenciales de dos líneas de carga constantes,
indefinidas, paralelas y del mismo módulo y distinto signo son cilindros:
1
ρ L = −λ
Y
ρL = λ
X
0.5
d
d
0
0.5
1
1
0.5
0
0.5
1
Φ
Elmg 3f-15
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
(2)
• Tomando como referencia el plano x=0, el potencial vale:
( x + d )2 + y 2
( x − d )2 + y 2
r
• La superficie de Φ (r ) = V :
r
λ
Φ (r ) =
ln
2πε
=
( x + d )2 + y 2
λ
ln
4πε ( x − d )2 + y 2
ρ L = −λ
4πε
λ
= ln
( x + d )2 + y 2
( x − d )2 + y 2
⇒e
V
4πε
λ
=
(
( x + d )2 + y 2
( x − d )2 + y 2
)
(
)
(
)
d
= k2 ⇒
)
⇒ x 2 + d 2 + 2 xd + y 2 = k 2 x 2 + d 2 − 2 xd + y 2 ⇒
(
ρL = λ
X
d
V
Y
(
)
⇒ x 2 k 2 − 1 − 2 xd k 2 + 1 + y 2 k 2 − 1 = −d 2 k 2 − 1 ⇒
2
⇒ x 2 − 2 xd
(
2

k + 1
 2kd 
 + y 2 =  2
⇒  x − d 2

k −1
 k −1

2
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
2
 k 2 +1
 k 2 +1
4k 2 d 2
k 2 +1
 = d 2  2
 − d 2 =
+ y 2 + d 2  2
⇒
2
2
k −1
k 2 −1
 k −1
 k −1
)
2
¡Círculos!
¡Cilindros!
Elmg 3f-16
8
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
(3)
• Parámetros de la superficie de Φ=V:
2

k 2 + 1
 2kd 
 x − d 2
 + y2 =  2

k − 1 
 k −1

2
k =e
– Cilindro:
k 2 +1
» con centro en: xC = d 2
k −1
V
2πε
λ
y C = 0 y radio: a =
2kd
k 2 −1
» Degenera en un plano si V = 0 ⇒ k = 1
• Propiedad interesante:
2
[(
)
2
]
Y
d 2 k 2 − 1 + 4k 2
 2kd 
d 2 + a2 = d 2 +  2  =
=
2
 k −1
k 2 −1
 k +1
2
= d 2  2  = xC
k
−
1


2
(
)
d
a
2
xC
−λ
λ
X
Elmg 3f-17
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
Y
– Trasladando el origen de coordenadas
al eje del cilindro:

k 2 +1
2d
=− 2
 xλ′ = d − d 2
d
k −1
k −1
x′ = x − xC ⇒ 
2
2
k
+
1
2
dk
−
λ
 x−′ λ = −d − d
=− 2
k 2 −1
k −1

(4)
Y’
xC
a
d
X
λ
x− λ
a 

2kd
 xλ′ =

2
a= 2
⇒
k  ⇒ xλ′ x′−λ = a
x+′ λ
k − 1  x′ = − ka 
 −λ

– El radio de cada cilindro equipotencial es la media geométrica de las
distancias a su centro de las líneas de carga.
λ
a
a = bc
2
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
−λ
c
b
Elmg 3f-18
9
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
• Aplicación:
(5)
Y
– La distribución de carga imagen de una
línea de carga constante, paralela a un
cilindro conductor indefinido de radio a y
a una distancia b, es otra línea del mismo
valor y signo contrario situada a una
distancia:
a2
c=
b
– El potencial vale:
(
a
c −λ
ρL = λ
b
)
2
(
)
(
)
X
2
r
x − a2 b + y2
ρ 2 + a 2 b − 2 ρ a 2 b cos ϕ
λ
λ
Φ (r ) =
ln
=
ln
2
2
4πε
4πε
ρ 2 + b 2 − 2 ρb cos ϕ
(x − b) + y
– El campo:
(
)
2
r r
r
λ
ρ 2 + a 2 b − 2ρ a 2 b cos ϕ
E (r ) = −∇Φ(r ) = −
∇ ln
4πε
ρ 2 + b 2 − 2ρb cos ϕ
Elmg 3f-19
José L. Fernández Jambrina
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
(6)
• El campo:
r r
r
∂Φ
1 ∂Φ
E (r ) = −∇Φ(r ) = −
ρˆ −
ϕˆ =
∂ρ
ρ ∂ϕ
=
( )
( )
(a b)senϕ
+ (a b ) − 2ρ a

λ 
ρ − b cos ϕ
ρ − a 2 b cos ϕ
ρˆ +
−
2
2
2
2
2
2

2πε  ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ + a b − 2ρ a b cos ϕ 
+
λ 
bsenϕ
−
2
2

πε  ρ + b − 2ρb cos ϕ ρ 2
2
2
2
2

ϕˆ
b cos ϕ 
• La densidad superficial de carga (línea exterior al cilindro):
r r
ρ S (ϕ) = ρˆ ⋅ εE (r )
=
( )
) (

λ 
a − b cos ϕ
a − a 2 b cos ϕ
=
−
2
2
2
2
2
3

2π  a + b − 2ab cos ϕ a + a b − 2 a b cos ϕ 
(
)

λ 
a − b cos ϕ
b
b − a cos ϕ
λ
a2 − b2
 2
−
 =
2
2
2
2
2π  a + b − 2ab cos ϕ a b + a − 2ab cos ϕ  2πa b + a 2 − 2ab cos ϕ
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
ρ= a
=
Elmg 3f-20
10
Electromagnetismo
2012/2013
Imágenes: Cilindro conductor indefinido
1
1
0.5
0.5
σ
0
σ
0
0.5
(7)
0.5
1
1
1
0.5
0
0.5
1
1
Φ
0.5
0
0.5
1
Φ
Línea de carga exterior al
cilindro conductor
Línea de carga interior al
cilindro conductor
Elmg 3f-21
José L. Fernández Jambrina
Línea Bifilar
• Dos cilindros conductores,
indefinidos, iguales y paralelos.
– El problema es colocar
las líneas de carga:
» De la figura:
−λ
a
−
2D = R + r
» Además:
Y
D
V0
2
a 2 = rR
» Combinando las ecuaciones:
a
+λ
O
d
r
D
X
V0
2
d
R
R
r
r = D ± D 2 − a 2
r 2 − 2 Dr + a 2 = 0 ⇒ 
R = D m D 2 − a 2
» De donde es inmediato que:
d = D2 − a2
» Y ...
(x + d )2 + y 2
r
λ
Φ (r ) =
ln
4πε ( x − d )2 + y 2
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
(D − a + d ) = λ ln D + D 2 − a 2
V0
λ
=
ln
2 4πε (D − a − d )2 4πε D − D 2 − a 2
2
⇒
Elmg 3f-22
11
Electromagnetismo
2012/2013
Línea Bifilar
C L=
λ
=
V0
(2)
2πε
D+ D −a
2
D− D −a
2
2
ln
2
2πε
=
ln
D a+
D a−
(D a )2 − 1
(D a )2 − 1
Elmg 3f-23
José L. Fernández Jambrina
Coaxial descentrado
• El planteamiento no es complicado.
b
A+δ = B ⇒
a +d +δ = b +d
2
2
2
⇓
2
a
d
2
δ + a − b 
2
d= 
 −a
2
δ


2
A=
b2 − δ2 − a 2
2δ
2
2
B=
b2 + δ2 − a2
2δ
A
δ
B
• Las ecuaciones ...
λ
A+
ln
4πε A −
λ
B+
Vb =
ln
4πε B −
Va =
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
A2 − a 2 

4πε
A2 − a 2  ⇒ C = λ =

2
2
2
l
V
−
V
B −b 
A + A − a 2 B − B 2 − b2
a
b
ln
2
2 
B −b 
A − A2 − a 2 B + B 2 − b 2
Elmg 3f-24
12
Electromagnetismo
2012/2013
Convocatoria Febrero 2002
José L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3f-25
13