( ) ∫

Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Integrales
x n +1
∫ x dx = n + 1
n
dx
∫
x +a
dx
2
2
∫
; n ≠ −1
(
)
= ln x + x 2 + a 2 = sinh −1
x
a
x
∫ a 2 − x 2 = arcsin a ; x ≤ a
dx
1
x
∫ x 2 + a 2 = a arctan a
dx
x
∫ x2 + a2 3 2 = a2 x2 + a2
dx
1
x
∫ x 2 + a 2 x 2 + 2a 2 = a 2 arctan x 2 + 2a 2
(
)
(
)
∫ ln xdx = x ln x − x
 ln x ; 0 < x 
dx
= 
 = ln x
x
ln(− x) ; x < 0
xdx
∫
x2 + a2
; x≠0
= x2 + a2
(
)
xdx
1
= ln x 2 + a 2
+ a2 2
xdx
−1
=
2
2 32
2
x +a
x + a2
∫x
2
∫(
)
dx
1 
ax 
∫ sin ax = 2 ln tan 2 
∫ ln(x
2
)
(
)
+ a 2 dx = x ln x 2 + a 2 − 2 x − 2a arctan
J.L. Fernández Jambrina
x
a
112 -1
Desarrollos en serie
−1 2 i  −1 2 0  −1 2 1  −1 2 2
1
3
 x = 
 x + 
 x + 
 x + L = 1 − x + x 2 + L
2
8
i 
i =0 
 0 
 1 
 2 
(1 + x )−1 2 = ∑ 
∞
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
112 -2
1
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Cilíndricas (2)
Vectores unitarios y factores de escala
r
r = ρ cosϕ xˆ + ρ sin ϕ yˆ + zzˆ
123
123
x
y
r
∂r ∂ρ
= 1 ρˆ =
= cosϕxˆ + sin ϕyˆ
hρ
r
∂r ∂ϕ
= ρ ϕˆ =
= − sin ϕxˆ + cos ϕyˆ
hρ
• De momento el vector de posición es:
• Trabajando un poco:
r
r
∂r
∂r
hρ =
= cos ϕxˆ + sin ϕyˆ
∂ρ
∂ρ
r
r
∂r
∂r
= ρ (− sin ϕxˆ + cos ϕyˆ ) hϕ =
ϕ:
∂ϕ
∂ϕ
r
r
∂r
∂r
z:
hz =
= zˆ
=1
∂z
∂z
ρ:
 ρˆ   cos ϕ
ϕˆ  =  − sin ϕ
  
 zˆ   0
sin ϕ
0   xˆ 
0   yˆ 
1   zˆ 
cos ϕ
0
hρ = 1 hϕ = ρ
zˆ = zˆ
 xˆ   cos ϕ
 yˆ  =  sin ϕ
  
 zˆ   0
− sin ϕ
cos ϕ
0
0   ρˆ 
0  ϕˆ 
1   zˆ 
hz = 1
112 -3
J.L. Fernández Jambrina
Cilíndricas (3)
Vector de posición y diferenciales
• Vector de posición:
r
r
r = ρ cos ϕ (cos ϕρˆ − sin ϕϕˆ ) + ρ sin ϕ (sin ϕρˆ + cos ϕϕˆ ) + zzˆ
r = ρρˆ + zzˆ
123 1442443 123 1442443
x
y
xˆ
yˆ
r
– La dependencia con ϕ está implícita dentro de ρ$ : r ( ρ , ϕ , z ) = ρρˆ (ϕ ) + zzˆ
• Diferencial de longitud (vector):
r
dl = dρρˆ + ρdϕϕˆ + dzzˆ
• Diferencial de longitud (escalar):
dl = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz 2
• Diferencial de volumen:
dV = ρdρdϕdz
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
112 -4
2
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Esféricas (2)
Vectores unitarios y factores de escala
• De momento el vector de posición res:
r = r sin θ cos ϕ xˆ + r sin θ sin ϕ yˆ + r1cos
θ zˆ
23
14243
14243
z
x
y
• Trabajando un poco:
r
∂r
r:
= sin θ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ
hr = 1
rˆ = sin θ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ
∂rr
∂r
θ:
= r [cosθ (cos ϕxˆ + sin ϕyˆ ) − senθzˆ ] hθ = r
θˆ = cosθ (cosϕxˆ + sin ϕyˆ ) − sin θzˆ
∂θr
∂r
ϕ:
= r sin θ (− sin ϕxˆ + cos ϕyˆ )
hϕ = r sin θ ϕˆ = − sin ϕxˆ + cos ϕyˆ
∂ϕ
 rˆ   sin θ cosϕ sin θ sin ϕ
θˆ  = cosθ cos ϕ cosθ sin ϕ
  
ϕˆ   − sin ϕ
cosϕ
cosθ   xˆ 
− sin θ   yˆ 
0   zˆ 
hr = 1 hθ = r
 xˆ  senθ cos ϕ
 yˆ  = sen θ sen ϕ
  
 zˆ   cosθ
cosθ cos ϕ
cosθ sen ϕ
− sen θ
− sen ϕ   rˆ 
cos ϕ  θˆ 
0  ϕˆ 
hϕ = r sen θ
112 -5
J.L. Fernández Jambrina
Esféricas (3)
Vector de posición y diferenciales
• Vector de posición:
r
r = r [sin θ (cosϕxˆ + sin ϕyˆ ) + cosθzˆ ]
1444442444443
r
r = rrˆ
rˆ
– La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de r$
• Diferencial de longitud (vector):
r
dl = drrˆ + rdθθˆ + r sin θdϕϕˆ
• Diferencial de longitud (escalar):
dl = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2
• Diferencial de volumen:
dV = r 2 sin θdrdθdϕ
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
112 -6
3
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones del Gradiente
• Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:
– Curvilíneas:
– Cartesianas:
– Cilíndricas:
∇U =
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U
uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
∇U =
∂U
∂U
∂U
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z
hx = hy = hz = 1
∇U =
∂U
∂U
1 ∂U
ρˆ +
ϕˆ +
zˆ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
hρ = hz = 1

hϕ = ρ
∇U =
∂U
1 ∂U ˆ
1 ∂U
rˆ +
ϕˆ
θ+
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
hr = 1

hθ = r
h = r sen θ
 ϕ
– Esféricas:
112 -7
J.L. Fernández Jambrina
Expresiones de la Divergencia
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
r
∇⋅ A=
1  ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 


+
+
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3 
r ∂A ∂A ∂A
∇⋅ A= x + y + z
∂x
∂y
∂z
r 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂A
∇⋅ A=
+
+ z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
r 1 ∂r 2 A
1 ∂Aθ sin θ
1 ∂Aϕ
r
∇⋅ A= 2
+
+
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
112 -8
4
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones del rotacional
• Curvilíneas:
r
∇× A =
h1uˆ1
1
∂
h1h2h3 ∂u1
A1h1
h2uˆ2
h3uˆ3
A2 h2
A3h3
∂
∂u 2
∂
∂u3
• Cartesianas:
xˆ
r ∂
∇× A =
∂x
Ax
yˆ
zˆ
∂  ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax 
 xˆ + 
 zˆ
=
−
−
−
 yˆ + 
∂z  ∂y ∂z   ∂z
∂x   ∂x ∂y 
∂
∂y
Ay
Az
• Cilíndricas
ρˆ
r 1 ∂
∇× A =
ρ ∂ρ
Aρ
Esféricas
ρϕˆ
∂
∂ϕ
ρAϕ
zˆ
∂
∂z
r
∇× A =
Az
rˆ
1
∂
r 2 sin θ ∂r
Ar
rθˆ
∂
∂θ
rAθ
r sin θϕˆ
∂
∂ϕ
r sin θAϕ
112 -9
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana de un escalar:
Definición y expresiones
• Es la divergencia del gradiente del escalar: ∇ ⋅ (∇U ) = ∇ 2U = ∆U
• Curvilíneas:
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U

uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3

h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
1  ∂ h2h3 ∂U
∂ h3h1 ∂U
∂ h1h2 ∂U 



⇒ ∆U =
+
+
r
1  ∂A1h2h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 
∂
∂
∂
∂
∂
h
h
h
u
h
u
u
h
u
u3 h3 ∂u3 
1
2
3

1
1
1
2
2
2


∇⋅ A =
+
+
∂u2
∂u3 
h1h2h3  ∂u1
∇U =
• Cartesianas: ∆U = ∂ U2 + ∂ U2 + ∂ U2
• Cilíndricas:
• Esféricas:
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
2
2
2
∂x
∂y
∂z
1  ∂  ∂U  1 ∂ 2U
∂ 2U
∆U =   ρ
 +
+
ρ
ρ  ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ2
∂z 2
 1 ∂  ∂U  1 ∂ 2U ∂ 2U
=
 ρ ∂ρ  ρ ∂ρ  + ρ2 ∂ϕ2 + ∂z 2



∆U =
∂U  ∂ 
∂U 
1 ∂  2
1 ∂ 2U
  r sin θ
+
 sin θ
+
∂r  ∂θ 
∂θ  sin θ ∂ϕ 2
r sin θ  ∂r 
=
∂ 
∂U 
∂ 2U
1 ∂  2 ∂U 
1
1
r
+ 2
 sin θ
+ 2 2
2
r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂ϕ 2
2

 =

112 -10
5
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Laplaciana de un vector.
• Definición:
(
)
r
r
r
∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:
r
∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ
112 -11
J.L. Fernández Jambrina
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
r
∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas
componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son
las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.
• Interpretación: complicada.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
112 -12
6
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones varias
r r
r r
A × B = −B × A
r r r
r r r r r r
A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B )
r v r
r r v
v r r
A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
r r r r
r r r r
r r r r
( A × B ) ⋅ (C × D ) = (A ⋅ C )(B ⋅ D ) − (A ⋅ D )(B ⋅ C )
∇ ⋅ ∇ U = ∆U
∇ × ∇U = 0
r
r
r
r
∇ ⋅∇× A = 0
∇ × ∇ × A = ∇∇ ⋅ A − ∆A
∇(U + V ) = ∇U + ∇V
∇UV = V∇U + U∇V
r r
r
r r
r
r
r
∇ ⋅ (A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B
∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
r
r
r
r
r
r
∇ ⋅ (UA) = ∇U ⋅ A + U∇ ⋅ A
∇ × (UA) = ∇U × A + U∇ × A
r r
r
r r
r
r r
r
r
∇( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ )B + A × (∇ × B ) + (B ⋅ ∇ )A + B × (∇ × A)
r r
r r
r
r
∇ ⋅ (A × B ) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B
r r
r
r
r r
r r
r
r
∇ × ( A × B ) = A(∇ ⋅ B ) − B(∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇ )A − ( A ⋅ ∇ )B
r
r
r
r
r
( A ⋅ ∇ )B = Ax ∂B + Ay ∂B + Az ∂B
∂x
∂y
∂z
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
112 -13
7