Electromagnetismo Curso 2012/2013 Electrostática • • • • • • Definición Los conductores en electrostática. Campo de una carga puntual. Aplicaciones de la Ley de Gauss Integrales de superposición para el campo eléctrico Potencial electrostático. – Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio. • Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ... • Polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas. Elmg 3b-1 J.L. Fernández Jambrina Campo producido por un sistema de cargas puntuales • Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío. – El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir: r r' r r r r qi ˆ = ∑ qi (r − ri ) E (r ) = ∑ Ei (r ) = ∑ R i 2 r r' r r' 3 i i 4 πε r − r i 4 πε r − r i i r r siendo Ei (r ) el campo producido por la carga i-ésima qi. q1 r E i r E q2 r r1 r E 2 Total = ∑ r E i i r E1 r r2 r r O J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 r ri qi Elmg 3b-2 Elmg 3-b 1 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Integrales de Superposición: (Aportaciones infinitesimales) r r r′ ′ • Un elemento de volumen dV' situado r r en tendrá una carga dq = ρr(r )dV r y producirá un campo eléctrico dE( r ) en el punto de observación r r d E (r ) que viene dado por: r r dq(rr′) (rr − rr′) ρ (rr′)dV ′ (rr − rr′) dE (r ) = = r r 3 r r 4πε rr − rr′ 3 4πε r − r′ r − r′ r r • El campo total vendrá dado por la integral: r r r r r (rr − rr′)dq = 1 ρ (r ′)(r − r ′)dV ′ O 1 E (r ) = r r r r 3 3 ∫∫∫ ∫∫∫ 4πε Q r − r ′ 4πε V r − r′ dq V dV’ r r′ r ρ (r ′)dV r – Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales: dq = ρ s (r ′)dS ρ (rr ′)dl r r r r r r r r r r ρS (r ′)(r − r ′)dS ′ ρ L (r ′)(r − r ′)dl ′ l 1 1 E (r ) = E (r ) = r r3 r r3 4πε ∫∫S 4πε ∫C r − r′ r − r′ – Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss. Elmg 3b-3 J.L. Fernández Jambrina Integrales de Superposición: Ejemplo 1 Z • Calcular el campo creado por un disco de carga uniforme, ρ S = σ, de radio R en su eje. – Se aplica: r r r r r ρS (r ′)(r − r ′)dS ' σ (rr − rr′)dS ' 1 E (r ) = = r r3 r r 4πε ∫∫S 4πε ∫∫S r − r ′ 3 r − r′ r r R r r′ – Dada la geometría: r r r r = zzˆ r − r ′ = −ρ′ρˆ ′ + zzˆ 1 ′ r ⇒ r r′ 2 2 2 dS = ρ′dϕ′dρ′ r ′ = ρ′ρˆ ′ r − r = (ρ′ + z ) r σ R ρ′ − E ( zzˆ ) = ∫ 2 ρ′ = 0 4πε ρ′ + z 2 = R 2πσ ρ′dρ′ zzˆ ∫ ρ =0 4πε ρ′2 + z 2 ( X z 2π ˆ dϕ′ + zˆ ρ′ ) ∫14243 (ρ′ ( 3 2 ϕ′ = 0 2 + z2 0 ) 3 2 = σ −1 zzˆ 2ε ρ′2 + z 2 ( Grupo 25.1 ) 3 2 ) = 2 ρ′ = 0 ∫ϕ′=0 dϕ′ ρ′dρ′ = 2π R 1 – Debido a la simetría solo hay componente z. J.L. Fernández Jambrina Y σ 1 1 − 2ε z R2 + z 2 zzˆ Elmg 3b-4 Elmg 3-b 2 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (2) +1 Líneas de campo eléctrico de un disco cargado con densidad uniforme. z/a 0 -1 -1 0 ρ/a +1 Elmg 3b-5 J.L. Fernández Jambrina Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (3) • Notas: – ∫ 2π 0 ρˆ dϕ = ∫ 2π 0 (cos ϕxˆ + sen ϕyˆ )dϕ = 0 z2 = z ≠ z – El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor σ/ε, como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase: r σ 1 1 zzˆ = σ zˆ lim E ( zzˆ ) = lim − 2 2 + + r r 2ε z →0 z → 0 2ε σ R +z z ⇒ lim+ E ( zzˆ ) − lim− E ( zzˆ ) = zˆ r ε z → 0 z → 0 σ 1 1 zzˆ = − σ zˆ lim E ( zzˆ ) = lim − 2 2 − − 2ε z →0 z → 0 2ε R +z z – Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño, el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la del disco. r 1 1 σ 1 zˆ ≈ zzˆ = σ z 1 − E ( zzˆ ) = − 2 2 2ε z 2ε z R 2 + z 2 1 + R z z >> R ⇒ QDISCO QDISCO z σ z 1 R2 σR 2 1 − zˆ = ≈ zˆ = zˆ = zˆ 2ε z 2 z 2 4ε z z 4πε z z 4πε z 3 Elmg 3b-6 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3-b 3 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (4) • Representación gráfica de: 2εEz (z ) 1 1 = − 2 σ z R + z2 z 1 0.5 2εEz , lej ( z ) σ 2 = zR 2 z3 0 0.5 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 z R Elmg 3b-7 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. Z • Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L. – Supongamos que está sobre el eje Z y centrada en el origen: r r r r = ρρˆ + zzˆ r − r ′ = ρρˆ + ( z − z ′)zˆ r ⇒ r r 2 dl ′ = dz ′ r ′ = z ′zˆ r − r ′ = ρ 2 + ( z − z ′) r r 1 E (r ) = 4πε r r r ∫ ρ L (r ′)(r − r ′) r r 3 r − r′ L λ dl ′ = 4πε L2 ∫ −L 2 ρρˆ − (z ′ − z )zˆ [ρ 2 + (z′ − z ) ] 2 32 L/2 /2 ρL = λ Y X λ dz ′ = 4πε -L/2 /2 L 2 ρˆ ( z ′ − z ) ρ + zˆ = 12 ρ 2 + ( z ′ − z )2 − L 2 [ ] 1 L 2− z L 2+ z ρˆ + + 12 12 2 2 2 2 ρ ( ) ( ) + − + + L 2 z L 2 z ρ ρ λ = 4πε 1 1 zˆ − 1 2 1 2 2 2 2 ρ 2 + (L 2 + z ) ρ + (L 2 − z ) [ [ J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ] [ ] [ ] ] Elmg 3b-8 Elmg 3-b 4 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (2) • Representación del campo. 2 1 z L 0 -1 -2 -2 0 -1 2 1 ρ L Elmg 3b-9 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (3) • La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede intentar obtener una: – La componente radial » Fuera de la distribución es nula. » Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las distribuciones lineales. – La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita. r 1 λ 1 E ( zzˆ ) = − 4πε L 2 − z L 2 + z zˆ 5 E z ( zzˆ ) 4πε λ 0 -5 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 -2L -L 0 L 2L Elmg 3b-10 Elmg 3-b 5 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Distribuciones Invariantes en z • Una distribución es invariante en z si ni su geometría ni su densidad dependen de la coordenada z. S – queda definida por su intersección con un plano z=cte y su densidad. dS z$ • Cálculo del campo: – Se pueden definir elementos de carga lineal a partir de diferenciales de superficie: r r r r r ρ (r ′), dS ′(r ′) ⇒ dq′L (r ′) = ρ (r ′)dS ′(r ′) r r r r r ρ S (r ′), dl ′(r ′) ⇒ dq′L (r ′) = ρ S (r ′)dl ′(r ′) r r ρ E (r ) = L 2πε – Partiendo del campo creado por una línea de carga: r r r − r′ r – Y sumando las contribuciones: 1 r r r ∫∫ 2πε S r − rr′ 2 ρ(r ′)dS ′ r r 1 r − r′ ′ r r E (r ) = d ρ = 1 L r r r r − r′ 2πε ∫qL r − r ′ 2 r r 2 ρ S (r ′)dl ′ ∫ L 2πε r − r ′ r r r − r′ r r 2 r − r′ » Importante: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales. Elmg 3b-11 J.L. Fernández Jambrina Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo • Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y. – Se aplica: r r 1 E (r ) = 2πε ∫L – De la geometría: r r r r = yyˆ r − r ′ = − x′xˆ + yyˆ 1 r ⇒ r r′ 2 2 2 r ′ = x′xˆ r − r = x′ + y ( Y r r r r − r′ r r 2 ρ S (r ′)dl ′ r − r′ ) ρS = σ w dl′ = dx′ – Sustituyendo: X r σ w / 2 − x′xˆ + yyˆ E ( yyˆ + zzˆ ) = dx′ = 2πε ∫− w / 2 x′2 + y 2 Z w/2 = σ − xˆ x′ σ w ln (x′2 + y 2 ) + yˆ arctg = yˆ arctg 2πε 2 y −w / 2 πε 2y » La componente x se cancela por simetría. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3b-12 Elmg 3-b 6 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (2) • Existe una discontinuidad en y=0 de valor σ/ε como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase: r σ σ w = yˆ lim E ( yyˆ ) = lim yˆ arctg r r σ πε 2y 2ε y →0 + ⇒ lim E ( yyˆ ) − lim E ( yyˆ ) = yˆ r σ w − σ y →0 + ε y →0− lim E ( yyˆ ) = lim yˆ arctg = yˆ πε 2y 2ε y →0− y →0− y →0+ 0.5 Ey ( y ) σε 0 0.5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y/w Elmg 3b-13 J.L. Fernández Jambrina Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (3) • Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por unidad de longitud que la línea: r σ σ w σw w q y >> w ⇒ E ( yyˆ + zzˆ ) = yˆ arctg ≈ yˆ = yˆ = yˆ L πε 2y πε 2 y 2πεy 2πεy 10 E y ( y) 1 σ E y .LJE ( y ) 0.1 σ 0.01 0.1 1 10 y/w J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 Elmg 3b-14 Elmg 3-b 7 Electromagnetismo Curso 2012/2013 Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis) • Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en todos los puntos del espacio. – Se aplica: r r 1 E (r ) = 2πε ∫L r r r r − r′ r r 2 ρ S (r ′)dl ′ r − r′ Y – De la geometría: r r r r = xxˆ + yyˆ r − r ′ = ( x − x′)xˆ + yyˆ ⇒ r r′ 2 2 r 2 r ′ = x′xˆ r − r = ( x − x′ ) + y – Sustituyendo: w2 r r (x − x′)xˆ + yyˆ dx′ = σ E (r ) = ∫ 2πε x′=− w 2 ( x − x′)2 + y 2 { ρS = σ w X w2 } Z = σ 2πε xˆ x′ − x 2 2 = − 2 ln ( x − x′) + y + yˆ arctan y x′ = − w 2 = σ 2πε xˆ ( x + w 2 )2 + y 2 w 2− x w 2 + x + yˆ arctan + arctan ln 2 2 y y 2 ( ) x − w 2 + y Elmg 3b-15 J.L. Fernández Jambrina Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (4) • Representación del campo. 1 y/w 0 −1 −1 J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 0 x/w 1 Elmg 3b-16 Elmg 3-b 8