Integrales de superposici n del campo el ctrico

Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático.
– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace.
Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de
regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3b-1
J.L. Fernández Jambrina
Campo producido por un sistema de cargas
puntuales
• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.
– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada
una de ellas por separado, es decir:
r r'
r r
r r
qi
ˆ = ∑ qi (r − ri )
E (r ) = ∑ Ei (r ) = ∑
R
i
2
r r'
r r' 3
i
i 4 πε r − r
i 4 πε r − r
i
i
r r
siendo Ei (r ) el campo producido por la carga i-ésima qi.
q1
r
E
i
r
E
q2
r
r1
r
E
2
Total
=
∑
r
E
i
i
r
E1
r
r2
r
r
O
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
r
ri
qi
EyM 3b-2
EyM 3-b 1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Integrales de Superposición:
(Aportaciones infinitesimales)
r
r
r′
′
• Un elemento de volumen dV' situado
r r en tendrá una carga dq = ρr(r )dV
r
y producirá un campo eléctrico dE( r ) en el punto de observación
r r
d E (r )
que viene dado por:
r r dq(rr′) (rr − rr′) ρ (rr′)dV ′ (rr − rr′)
dE (r ) =
=
r r 3
r r
4πε rr − rr′ 3
4πε
r − r′
r − r′
r
r
• El campo total vendrá dado por la integral:
r r r
r r
(rr − rr′)dq = 1
1
ρ (r ′)(r − r ′)dV ′ O
E (r ) =
r
r
r r 3
3
∫∫∫
∫∫∫
4πε Q r − r ′
4πε V
r − r′
dq
V
dV’
r
r′
r
 ρ (r ′)dV
r
– Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales: dq =  ρ s (r ′)dS
 ρ (rr ′)dl
r r r
r r r
r r
r r
1
ρS (r ′)(r − r ′)dS ′
1
ρ L (r ′)(r − r ′)dl ′  l
E (r ) =
E (r ) =
r r3
r r3
4πε ∫∫S
4πε ∫C
r − r′
r − r′
– Estas expresiones permiten obtener el campo producido por
distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que
la ley de Gauss.
EyM 3b-3
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
Z
• Calcular el campo creado por un disco de carga
uniforme, ρ S = σ, de radio R en su eje.
– Se aplica:
r r r
r r
1
ρS (r ′)(r − r ′)dS '
σ
(rr − rr′)dS '
E (r ) =
=
r r3
r r
4πε ∫∫S
4πε ∫∫S r − r ′ 3
r − r′
r
r
R
r
r′
– Dada la geometría:
r r
r
ˆ + zzˆ
r = zzˆ   r − r ′ = −ρ′ρ′
1 dS ′ = ρ′dϕ′dρ′
r
 ⇒  r r′
2
′
′
ˆ
′
r
−
r
=
(
ρ′
+ z2 ) 2
r =ρρ 

r
σ R 
ρ′
−
E ( zzˆ ) =
∫
2
ρ′
=
0
4πε
 ρ′ + z 2

=
R
2πσ
ρ′dρ′
zzˆ ∫
ρ
=0
4πε
ρ′2 + z 2
(
X
z
2π
ˆ dϕ′ + zˆ
ρ′
) ∫14243 (ρ′
(
3
2
ϕ′ = 0
2
+ z2
0
)
3
2
=
σ
−1
zzˆ
2ε ρ′2 + z 2
(
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
)
3
2
)
=
2
ρ′ = 0


∫ϕ′=0 dϕ′ ρ′dρ′ =


2π
R
1
– Debido a la simetría solo hay componente z.
J.L. Fernández Jambrina
Y
σ  1
1
−
2ε  z
R2 + z 2

 zzˆ


EyM 3b-4
EyM 3-b 2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
(2)
+1
Líneas de campo
eléctrico de un disco
cargado con densidad
uniforme.
z/a 0
-1
-1
0
ρ/a
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
+1
EyM 3b-5
(3)
• Notas:
–
∫
2π
0
ρˆ dϕ = ∫
2π
0
(cos ϕxˆ + sen ϕyˆ )dϕ = 0
z2 = z ≠ z
– El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor σ/ε, como se
podría haber predicho a partir de la condición de interfase:
r


σ  1
1
 zzˆ = σ zˆ 
lim E ( zzˆ ) = lim
−


2
2
+
+
r
r
2ε 
z →0
z → 0 2ε
σ
R +z 
z
 ⇒ lim+ E ( zzˆ ) − lim− E ( zzˆ ) = zˆ
r


ε
z
→
0
z
→
0
σ 1
1
 zzˆ = − σ zˆ 
lim E ( zzˆ ) = lim  −

2
2
−
−

2ε 
z →0
z → 0 2ε
R +z 
z
– Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño,
el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la
del disco.
r



1
1
σ  1
 zˆ ≈
 zzˆ = σ z 1 −
 E ( zzˆ ) =
−
2
2 
2ε  z
2ε z 
R 2 + z 2 
1
+
R
z



z >> R ⇒ 

σ z  1 R2 
σR 2
QDISCO
QDISCO z
1 −
 zˆ =
≈
zˆ =
zˆ =
zˆ

2ε z  2 z 2 
4ε z z
4πε z z
4πε z 3 EyM 3b-6

J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
EyM 3-b 3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
(4)
• Representación gráfica de:
2εEz (z )  1
1
= −
2
σ
z
R
+ z2


z


1
0.5
2εE z , lej ( z )
σ
2
=
zR
2 z3
0
0.5
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
z R
4
5
EyM 3b-7
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
Z
• Sea ahora una línea de carga uniforme de
longitud L.
– Supongamos que está sobre el eje Z
y centrada en el origen:
r r
r
r = ρρˆ + zzˆ   r − r ′ = ρρˆ + ( z − z ′)zˆ
r
⇒ r r
2 dl ′ = dz ′
r ′ = z ′zˆ   r − r ′ = ρ 2 + ( z − z ′)
r r
1
E (r ) =
4πε
r r r
∫
ρ L (r ′)(r − r ′)
r r 3
r − r′
L
λ
dl ′ =
4πε
L2
∫
−L 2
ρρˆ − (z ′ − z )zˆ
[ρ
2
+ (z′ − z )
]
2 32
L/2
ρL = λ
Y
X
λ
dz ′ =
4πε
-L/2
L 2
 ρˆ ( z ′ − z ) ρ + zˆ 
=

12
 ρ 2 + ( z ′ − z )2  − L 2
[
]
1 
 
L 2− z
L 2+ z
 ρˆ + 
 
+
12
12
2
2
2
2

 
ρ

(
)
(
)
ρ
ρ
+
L
2
−
z
+
L
2
+
z
λ


=


4πε 


1
1
 zˆ
−


1
2
1
2
2
2
 2
ρ 2 + (L 2 + z ) 
 ρ + (L 2 − z )

[
[
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
] [
] [
]
]
EyM 3b-8
EyM 3-b 4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
(2)
• Representación del campo.
2
1
z L 0
-1
-2
-2
0
-1
2
1
ρ L
EyM 3b-9
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
(3)
• La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede
intentar obtener una:
– La componente radial
» Fuera de la distribución es nula.
» Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las
distribuciones lineales.
– La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita.
r
λ  1
1
E ( zzˆ ) =
−

4πε  L 2 − z L 2 + z

 zˆ


5
E z ( zzˆ )
4πε
λ
0
-5
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
-2L
-L
0
L
2L
EyM 3b-10
EyM 3-b 5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Distribuciones Invariantes en z
• Una distribución es invariante en z si ni su
geometría ni su densidad dependen de la
coordenada z.
S
– queda definida por su intersección con un
plano z=cte y su densidad.
dS
z$
• Cálculo del campo:
– Se pueden definir elementos de carga lineal
a partir de diferenciales de superficie:
r
r
r
r
r
ρ (r ′), dS ′(r ′) ⇒ dq′L (r ′) = ρ (r ′)dS ′(r ′)
r
r
r
r
r
ρ S (r ′), dl ′(r ′) ⇒ dq′L (r ′) = ρ S (r ′)dl ′(r ′)
r r
ρ
E (r ) = L
2πε
– Partiendo del campo creado por una línea de carga:
r r
r − r′ r
– Y sumando las contribuciones:  1
r
r
r
∫∫
 2πε S r − rr′ 2 ρ(r ′)dS ′
r r
r − r′
1

′
r r
E (r ) =
d
ρ
=
 1
L
r r
r
r − r′
2πε ∫qL r − r ′ 2

r r 2 ρ S (r ′)dl ′
∫
L
 2πε r − r ′
r r
r − r′
r r 2
r − r′
» Importante: Todos los vectores de posición implicados deben
pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales. EyM 3b-11
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad
superficial de carga constante en los puntos del eje Y.
– Se aplica:
r r
1
E (r ) =
2πε ∫L
Y
r r
r
r − r′
r r 2 ρ S (r ′)dl ′
r − r′
– De la geometría:
r r
r
r = yyˆ   r − r ′ = − x′xˆ + yyˆ
1
r
 ⇒  r r′
2
2 2
r ′ = x′xˆ   r − r = x′ + y
(
)
ρS = σ
w
dl′ = dx′
– Sustituyendo:
X
r
σ w / 2 − x′xˆ + yyˆ
E ( yyˆ + zzˆ ) =
dx′ =
2πε ∫− w / 2 x′2 + y 2
=
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
w/2
σ  − xˆ
x′ 
σ
w
ln x′2 + y 2 + yˆ arctg 
= yˆ arctg
2πε  2
y −w / 2
πε
2y
(
)
» La componente x se cancela por simetría.
J.L. Fernández Jambrina
Z
EyM 3b-12
EyM 3-b 6
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
(2)
• Existe una discontinuidad en y=0 de valor σ/ε como se podría haber
predicho a partir de la condición de interfase:
r
σ
w
σ 
lim E ( yyˆ ) = lim yˆ arctg
= yˆ
r
r
σ
πε
2y
2ε 
y →0 +
⇒ lim E ( yyˆ ) − lim E ( yyˆ ) = yˆ
r
σ
w
− σ  y →0 +
ε
y →0−

lim E ( yyˆ ) = lim yˆ arctg
= yˆ
πε
2y
2ε 
y →0−
y →0−
y →0+
0.5
Ey ( y )
σε
0
0.5
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
y/w
EyM 3b-13
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
(3)
• Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo
tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por
unidad de longitud que la línea:
r
σ
w
σ w
σw
q
y >> w ⇒ E ( yyˆ + zzˆ ) = yˆ arctg
≈ yˆ
= yˆ
= yˆ L
πε
2y
πε 2 y
2πεy
2πεy
10
E y ( y)
1
σ
E y .LJE ( y )
0.1
σ
0.01
0.1
1
10
y/w
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
EyM 3b-14
EyM 3-b 7
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis)
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad
superficial de carga constante en todos los puntos del espacio.
– Se aplica:
r r
1
E (r ) =
2πε ∫L
Y
r r
r
r − r′
r r 2 ρ S (r ′)dl ′
r − r′
ρS = σ
– De la geometría:
r r
r
r = xxˆ + yyˆ   r − r ′ = ( x − x′)xˆ + yyˆ
⇒
  r r′ 2
2
r
2
r ′ = x′xˆ
  r − r = ( x − x′ ) + y
– Sustituyendo:
w2
r r
(x − x′)xˆ + yyˆ dx′ =
σ
E (r ) =
∫
2πε x′=− w 2 ( x − x′)2 + y 2
{
w
X
Z
w2
}
=
σ
2πε
 xˆ
x′ − x 
2
2
=
− 2 ln ( x − x′) + y + yˆ arctan y 

 x′ = − w 2
=
σ
2πε
 xˆ ( x + w 2 )2 + y 2

w 2− x
w 2 + x 

+ yˆ  arctan
+ arctan
 ln
2
2
2
y
y 
(
)
−
+
x
w
2
y


J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
EyM 3b-15
(4)
• Representación del campo.
1
y/w 0
−1
−1
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición para el campo
electrostático
0
x/w
1
EyM 3b-16
EyM 3-b 8