3d: Ecuacion de Laplace y Unicidad

Electromagnetismo
2012/2013
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición para el campo eléctrico
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
Elmg 3d-1
J.L. Fernández Jambrina
Ecuaciones de Poisson y Laplace
• Se puede ligar el potencial con las densidades de carga, así para
medios
isótropos:
r
∇⋅D = ρ 
r
r 
r
D = εE  ⇒ ∇ ⋅ (εE ) = ∇ ⋅ (− ε∇Φ ) = ρ ⇒ ∇ε ⋅ ∇Φ + ε∆Φ = − ρ
r
E = −∇Φ 
• La ecuación para medios homogéneos, lineales e isótropos recibe el
nombre de Ecuación de Poisson:
∆Φ = −
ρ
ε
• En el caso de regiones sin carga, la ecuación de Poisson se reduce a
la Ecuación de Laplace:
∆Φ = 0
• Todas estas ecuaciones son de segundo orden.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-2
1
Electromagnetismo
2012/2013
Soluciones generales con dependencia de una
única coordenada
• En muchas situaciones se puede suponer en primera aproximación
que el potencial sólo depende de una coordenada:
– Es interesante conocer las soluciones correspondientes.
Cartesianas:
r
r
∂Φ ∂Φ
∂ 2Φ
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
= 0 ⇒ Φ(r ) = Ax + B E = − Axˆ
2
∂y ∂z
∂x
Cilíndricas:
r
1 ∂  ∂Φ 
r
A
∂Φ ∂Φ
 ρ
 = 0 ⇒ Φ(r ) = A ln ρ + B E = − ρˆ ;ρ ≠ 0
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
∂ϕ ∂z
ρ ∂ρ  ∂ρ 
ρ
r
r
1 ∂ 2Φ
A
∂Φ ∂Φ
=
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
=0
⇒ Φ ( r ) = Aϕ + B
E = − ϕˆ ;ρ ≠ 0
∂ρ ∂z
ρ
ρ ∂ϕ 2
r
r
∂Φ ∂Φ
∂ 2Φ
r
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
=0
⇒ Φ(r ) = Az + B
E = − Az
2
∂ρ ∂ϕ
∂z
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3d-3
Soluciones generales con dependencia de una
única coordenada
(2)
• Esféricas
 r A
Φ(r ) = r + B
⇒ 
r≠0
r
 E = A rˆ

r2
 r
 θ
Φ(r ) = A ln tg 2  + B
1
∂ 
∂Φ 



= 0 ⇒ ∆Φ = 2
rsenθ ≠ 0
 senθ
=0 ⇒ 
ˆ
r
r senθ ∂θ 
∂θ 
− Aθ

 E = rsenθ
r
Φ(r ) = Aϕ + B
1 ∂ 2Φ

rsenθ ≠ 0
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
=0
⇒ r
Aϕˆ
r senθ ∂ϕ2
 E = − rsenθ
∂Φ ∂Φ
1 ∂  2 ∂Φ 
=
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
r
=0
∂θ ∂ϕ
r ∂r  ∂r 
∂Φ ∂Φ
=
∂r ∂ϕ
∂Φ ∂Φ
=
∂r
∂θ
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-4
2
Electromagnetismo
2012/2013
Condiciones de interfase del Potencial
• La ecuación de Poisson, por ser una
ecuación diferencial, sólo se puede
aplicar en puntos ordinarios del espacio:
– no se puede aplicar en las interfases
entre medios.
ε2 ,σ2
r r
E 2 , D2 , Φ 2
n$
ε1 , σ1
r r
E1 , D1 , Φ1
Medio 2
• Es necesario obtener las condiciones
de interfase:
Medio 1
r
– A partir de la condición para la componente normal de D :
r
r
∂Φ 2 
 ∂Φ 1
− ε2
nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ s ⇒ (ε 2 E 2 n − ε 1 E1n ) S = ρ s ⇒  ε 1
 = ρs
S
∂n  S
 ∂n
r
– A partir de la condición para las componentes tangenciales de E :
r
r
r
r
 ∂ Φ 2 ∂Φ 1 
nˆ × E 2 − E1 = E 2 t − E1t =  −
+
 = 0 ⇒ (− Φ 2 + Φ 1 ) S = cte
S
S
∂t  S
 ∂t
(
)
(
) (
)
– No obstante, esta última condición puede mejorarse substancialmente:...
Elmg 3d-5
J.L. Fernández Jambrina
Condiciones de interfase del Potencial
• Utilizando la idea de una zona de
transición continua entre medios cuyo
espesor ∆n se hace tender a cero,
– Se escogen sendos puntos A y C, uno
en cada medio y en el límite de la zona
de transición, de forma que se cumpla:
∆n → 0 ⇒ A → B ; C → B
– En estas condiciones:
(2)
ε2 ,σ2
Medio 2
r r
E2 , D2 , Φ 2
n$
C
B
ε1 , σ1 Medio 1
r r
E1 , D1 , Φ1
∆n
A
r Br r
C r
Φ 2 (C ) − Φ 1 ( A) = [Φ 2 (C ) − Φ 2 (B )] + [Φ 1 (B ) − Φ 1 ( A)] = − ∫ E 2 ⋅ dl − ∫ E1 ⋅ dl
B
A
– y puesto que los campos no se hacen infinitos:
r
r
C r
Br
lim (Φ 2 (C ) − Φ 1 ( A)) = − lim ∫ E 2 ⋅ dl − lim ∫ E1 ⋅ dl = 0
∆n → 0
∆n → 0 B
∆n → 0 A
• En resumen, el potencial es continuo en las interfases:
– Equivalencias entre condiciones de interfase:
r
r
∂Φ 2 
 ∂Φ 1
nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ s ⇔  ε 1
− ε2
 = ρs
S
∂n  S
 ∂n
r
r
(Φ 1 − Φ 2 ) S = 0
nˆ × E 2 − E1 = 0 ⇐
(
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
)
(
)
S
(Φ 2 − Φ1 ) S
=0
Elmg 3d-6
3
Electromagnetismo
2012/2013
Condiciones de Regularidad en el Infinito.
• Se ha ido haciendo hincapié en todos ejemplos con distribuciones
de dimensiones finitas en que el potencial tiende al de una carga
puntual a medida que el punto de cálculo se aleja de la distribución.
r
1
dq′
1
lim Φ (r ) = lim
r r =
r
r
r → ∞ 4 πε ∫Q r − r ′
4πε r
r
r →∞
∫
Q′
dq′ =
Q
r
4πε r
• Esto lleva a la llamada Condición de Regularidad en el Infinito:
r r
lim
r Φ (r ) = K
r
r →∞
• Puede expresarse una condición similar para el campo eléctrico:
r r
(rr − rr ′)dq ′ = rr
1
lim
E (r ) = lim
r
r
r r 3
r3
∫
r →∞
r →∞ 4πε Q
r − r′
4πε r
r2 r r
lim
r E (r ) = Krˆ
r
∫
Q′
dq ′ =
Qrˆ
r2
4πε r
r →∞
– Las condiciones de regularidad en el infinito del campo y del potencial
son equivalentes.
– Son aplicables siempre que el medio en el infinito sea
homogéneo, lineal e isótropo.
Elmg 3d-7
J.L. Fernández Jambrina
Ejercicio: potencial y campo de una
distribución esférica
• Sea una distribución esférica de carga de densidad ρ 0 y radio a.
Determinar el potencial y el campo producidos.
• Método de Gauss:
– Campo en la región exterior:
De ,r (r )4πr 2 = 43 πa 3 ρ 0
(e)
3
a
(i)
r
πa ρ 0
ρ a
q
Ee ,r (r ) =
rˆ = 0 2 rˆ =
rˆ
2
4πε 0 r
3ε 0 r
4πε 0 r 2
4
3
3
ρ0
– Campo en la región interior:
r
ρ
4
Di ,r (r )4πr 2 = πr 3 ρ 0 ⇒ Ei (r ) = 0 rrˆ
3
3ε
– El potencial en la región exterior:
r
ρ a3 r 1
ρ a3
q
Φ e (r ) = − ∫ Ee (r )rˆ ⋅ rˆdr = − 0 ∫ 2 dr = 0 =
∞
3ε 0 ∞ r
3ε 0 r 4πε 0 r
– El potencial en la región interior:
r
ρ a2 ρ r
ρ a2 ρ a2 − r 2
Φ i (r ) = Φ i (a ) − ∫ Ei (r )dr = 0 − 0 ∫ rdr = 0 + 0
a
a
3ε 0
3ε
3ε 0
6ε
(
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
ε
ε0
)
Elmg 3d-8
4
Electromagnetismo
2012/2013
Ejercicio: potencial y campo de una
distribución esférica
• Por integración directa de la ecuación de Poisson.
(2)
∆Φ = −
– El potencial sólo depende de r:
ρ
ε
– Región exterior:
» Ecuación homogénea => Solución general:
∆Φ e =
dΦ e
dΦ e Ae
A
1 d  2 dΦ e 
= Ae ⇒
= 2 ⇒ Φ e = − e + Be
r
 = 0 ⇒ r2
dr 
dr
dr
r
r 2 dr 
r
– Región interior:
» Ecuación no homogénea => Solución general + particular:
ρ
ρ
1 d  2 dΦ i 
 dΦ i 
∆Φ i = 2
r
 = − 0 ⇒ d r 2
 = − 0 r 2 dr ⇒
dr 
dr 
ε
ε
r dr 

d
Φ
d
Φ
A
A
ρ
ρ
ρ
i
i
⇒ r2
= − 0 r 3 + Ai ⇒
= − 0 r + 2i ⇒ Φ i = − 0 r 2 − i + Bi
dr
3ε
dr
3ε
6ε
r
r
excepto en el origen de coordenadas.
– Hay cuatro constantes a determinar con las condiciones de contorno.
Elmg 3d-9
J.L. Fernández Jambrina
Ejercicio: potencial y campo de una
distribución esférica
(3)
• Condiciones de contorno:
– Regularidad en el infinito: potencial nulo en el infinito.
A
 A

=  − e + Be 
= Be = 0 ⇒ Φ e = − e
r
 r
 r →∞
– El origen es un punto ordinario: no tiene que haber singularidades.
 ρ r2 A

ρ r2
Φ i r =0 = − 0 − i + Bi 
≠ ∞ ⇒ Ai = 0 ⇒ Φ i = − 0 + Bi
r
6ε
 6ε
 r =0
Φe
r →∞
– No hay densidades de carga en r=a: continuidad de la derivada
0 = ρ S = −ε 0
dΦ e
dr
+ε
r =a
dΦ i
dr
⇒ −ε 0
r =a
Ae ρ 0
ρ a3
ρ a3 1
a = 0 ⇒ Ae = − 0 ⇒ Φ e = 0
−
2
3
3ε 0
3ε 0 r
a
– Potencial continuo en r=a.
A
ρ a2
ρ a2
ρ a2 ρ a2
Φ i r =a = − 0 + Bi = Φ e r =a = − e = 0 ⇒ Bi = 0 + 0
6ε
a
3ε 0
3ε 0
6ε
Φe = −
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Ae ρ0 a 3
=
r
3ε 0 r
Φi = −
(
)
ρ0 r 2
ρ a 2 − r 2 ρ0 a 2
+ Bi = 0
+
6ε
6ε
3ε 0
Elmg 3d-10
5
Electromagnetismo
2012/2013
Ejercicio: potencial y campo de una
distribución esférica
(4)
• Método de aportaciones infinitesimales.
– En principio no es válido: requiere medio homogéneo.
– Suponiendo medio homogéneo el potencial en cualquier punto se
obtiene mediante la expresión:
r
r
ρ (r ′ )
1
Φ (r ) =
r r dV ′
4πε ∫∫∫V r − r ′
– Restringiendo el cálculo al eje Z. (Que puede ir en cualquier dirección)
r
1
r = r rˆ θ =0 
r r
2
2
2
z
r
 ⇒ r − r ′ = r + r ′ − 2rr ′ cosθ ′
r ′ = r ′rˆ′ 
(
(e)
r r
r − r′
r
r
(i)
dV ′ = r ′ 2 sen θ ′dr ′dθ ′dϕ ′
r
r′
ρ
r
Φ (r ) = 0
4πε
y
ρ
a
ε
=
x
)
ε
ρ0
2ε
π
a
2π
∫ ∫θ ∫ϕ (r
r ′= 0
a
′ =0
′= 0
r ′= 0
′= 0
+ r ′ 2 − 2rr ′ cosθ ′
r ′ 2 sen θ ′dr ′dθ ′
π
∫ ∫θ (r
r ′ 2 sen θ ′dr ′dθ ′dϕ ′
2
2
+ r ′ 2 − 2rr ′ cosθ ′
)
1
)
1
=
2
=L
2
Elmg 3d-11
J.L. Fernández Jambrina
Ejercicio: potencial y campo de una
distribución esférica
ρ
r
Φ (r ) = 0
2ε
r ′ 2 sen θ ′dr ′dθ ′
π
a
∫ ∫θ (r
=
ρ0
2ε
(5)
(
1
r ′ r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cosθ ′
r ′ =0
r
∫
a
+ r ′ − 2rr ′ cosθ ′)
ρ0 a 
ρ a
2
=
r ′ (r + r ′) − (r − r ′)  dr ′ = 0 ∫ r ′[(r + r ′) − r − r ′ ]dr ′

2εr ∫r ′=0 
2εr r′=0
• En la región exterior r ′ ≤ a ≤ r ⇒ r − r ′ = r − r ′
a
ρ a
ρ a
ρ r ′3
ρ a3
r
Φ e (r ) = 0 ∫ r ′[(r + r ′) − (r − r ′)]dr ′ = 0 ∫ r ′ 2 dr ′ = 0
= 0
2εr r′=0
εr r ′=0
3εr r ′=0
3εr
• En la región interior hay que descomponer
la integral en dos tramos [0,r] y [r,a]:
r ′ =0
′=0
2
2
1
2
)
1
π
2
0
 ′
 dr =

r′ ≤ r ≤ a ⇒ r − r′ = r − r′
r ≤ r′ ≤ a ⇒ r − r′ = r′ − r
r
ρ r
ρ a
Φ i (r ) = 0 ∫ r ′[(r + r ′) − (r − r ′)]dr ′ + 0 ∫ r ′[(r + r ′) + (r − r ′)]dr ′ =
′
r
=
0
2εr
2εr r ′ = r
=
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
ρ0
εr
∫
r
r ′2 dr ′ +
r ′=0
ρ0 a
ρ r ′3
r ′dr ′ = 0
∫
′
r
=
r
ε
3εr
r
+
r ′=0
ρ0 r ′2
2ε
a
=
r′=r
(
ρ 0 r 2 ρ0 a 2 − r 2
+
3ε
2ε
)
Elmg 3d-12
6
Electromagnetismo
2012/2013
Condiciones para la unicidad de la solución de
la ecuación de Poisson
• ¿Qué condiciones hay que aplicar a la ecuación de Poisson para que
su solución sea única?
– Esquema:
» Supongamos dos soluciones de un mismo problema que en principio
se consideran diferentes:
ρ

 Φ 1 : ∆Φ 1 = − ε 
C.C.
ε
V
⇒
;Φ ≠ Φ2
ρ 1
ρ
Φ 2 : ∆Φ 2 = − 
ε

» Construyamos el escalar auxiliar U = Φ 2 − Φ 1 ∆U = ∆Φ 2 − ∆Φ 1 = 0
» Si logramos determinar bajo que condiciones U=0, entonces, bajo
esas mismas condiciones: Φ 1 = Φ 2
• En algunos casos habrá que conformarse con U = cte ⇒ Φ 1 = Φ 2 + cte
• Esta ambigüedad no afecta a la unicidad del campo.
r
r
U = cte ⇒ Φ 1 = Φ 2 + cte ⇒ E1 = −∇Φ 1 = −∇(Φ 2 + cte) = −∇Φ 2 = E 2
Elmg 3d-13
J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (2)
• Considerando medios lineales, homogéneos e isótropos:
2
– Punto de partida: ∇ ⋅ [(εU )∇U ] = ε∇U ⋅ ∇U + εU∇ ⋅ (∇U ) = ε ∇U + εU∆U
– Por la definición de U, ∆U=0:
∇ ⋅ (εU∇U ) = ε ∇U
2
r
– Aplicando Gauss:
∫∫∫ ∇ ⋅ (εU∇U )dV = ∫∫ εU∇U ⋅ dS = ∫∫∫ ε ∇U
V
S
2
V
dV ≥ 0
r
∂U
– Si se consigue demostrar
εU∇U ⋅ dS = ∫∫ εU
dS = 0
∫∫
S
S
∂n
que bajo ciertas condiciones:
– Entonces, en esas mismas condiciones
∫∫∫ ε ∇U
V
2
dV = 0
 ⇒ ∇U = 0 ⇒ Φ 2 = Φ 1 + cte
ε > 0
Objetivo:
Buscar las condiciones de contorno de Φ que hagan que:
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
∫∫ εU
S
∂U
dS = 0
∂n
Elmg 3d-14
7
Electromagnetismo
2012/2013
Unicidad (3): Dirichlet y Neumann.
∂U
dS = 0
∂n
• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar el
potencial:
∫∫ εU
S
ε
V
S
ΦS
ρ
D ⊂S
 Φ 1
= F (u1 , u 2 ) ⇒ 
Φ 2
SD ⊂S
SD ⊂S
= F (u1 , u 2 )
 ⇒ U
= F (u1 , u 2 )

SD ⊂S
=0
– Este es el caso de conductores a potencial conocido.
• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar la
derivada del potencial:
ε
V
S
∂Φ
∂n
ρ
= G (u1 , u 2 )
S N ⊂S
 ∂Φ 1
 ∂n

⇒ 
 ∂Φ 2
 ∂n
SN ⊂S
SN ⊂S

= G (u1 , u 2 )
∂U

 ⇒
∂n
= G (u1 , u 2 )

=0
S N ⊂S
Elmg 3d-15
J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (4):
Regularidad en el infinito.
∫∫ εU
S
∂U
dS = 0
∂n
• Si parte de la superficie que limita la región de estudio es la
superficie del infinito y en ella se verifica la condición de regularidad:
S∞
S
Ω
r
rlim r Φ 1 = cte1 
r →∞

⇒
r

rlim r Φ 2 = cte2 
r →∞

r 2 ∂Φ 1

rlim − r ∂ rr = cte1 
r →∞

 ⇒
r 2 ∂Φ 2

lim
−
r
=
cte
r
2
r
∂r

r →∞

r
2
2
dS = r sen θdθdϕ = r dΩ
r
rlim r U = cteU
r →∞
r 2 ∂U
rlim − r ∂ rr = cteU
r →∞
cteU r 2
∂U
rlim ∫∫S∞ U ∂n dS = rlim r 3 r Ω = 0
r →∞
r →∞ r
2
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-16
8
Electromagnetismo
2012/2013
Unicidad (5):
Conductor cargado y aislado.
∫∫ εU
S
∂U
dS = 0
∂n
• Si parte de la superficie es un conductor aislado y de carga conocida:
S
ρ
ε
n$
= V1 
⇒

Φ 2 S = V2 
C

∂Φ 1 
q = ∫∫ ε
dS 
SC
∂n
⇒
∂Φ 2 
q = ∫∫ ε
dS 
SC
∂n

Φ1
SC
SC
q
σ




∂U
∂U
dS = U 1 ∫∫ ε
dS = 0
 ⇒ ∫∫S εU
SC
∂
n
∂n
C
∂U

∫∫SC ε ∂n dS = 0


U
SC
= U1
Elmg 3d-17
J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (6): Conclusiones.
• Si en todos los puntos de la superficie que limita el recinto se impone
una y sólo una de las condiciones:
»
»
»
»
Dirichlet.
Neumann.
Regularidad en el infinito.
Conductor de carga conocida.
• entonces:
∫∫ εU
S
∂U
dS = 0 ⇒ ∇U = 0 ⇒ U = cte ⇒ Φ 2 = Φ1 + cte
∂n
• Y la solución del potencial será única salvo una constante aditiva.
• Si alguna de las condiciones es del tipo Dirichlet o Regularidad en
el infinito, entonces la constante es nula.
• Si se impone más de una condición en un punto, puede que el
problema no tenga solución.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-18
9
Electromagnetismo
2012/2013
Problema 2. Junio 1993 (Conv. Ordinaria)
•
•
•
•
•
¿Cuándo hay solución única?
a) Con los datos anteriores.
b) Cuando el interior está
descargado.
c) Cuando la carga total es nula.
d) Cuando la carga total es nula y
el interior está a tierra.
e) Cuando el conductor interior
está puesto a tierra y descargado.
•
c
Sistema de dos conductores esféricos.
El interior es macizo y el exterior hueco.
Exterior a tierra.
Dieléctrico interior cargado.
b
a
ε
ρ0
Resolver lo que se pueda.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3d-19
Teorema del Valor Medio.
• Enunciado: En una región homogénea sin cargas el valor medio del
potencial en una superficie esférica es igual al potencial en su centro.
– Escogiendo el origen de coordenadas en el centro de la esfera se
calcula el valor medio del potencial sobre la esfera de radio R:
1
1 2π π
1 2π π
Φ =
ΦdS =
ΦR 2 sen θdθdϕ =
Φ sen θdθdϕ
4πR 2 ∫∫S
4πR 2 ∫ϕ = 0 ∫ϑ = 0
4π ∫ϕ = 0 ∫ϑ = 0
– Se deriva respecto de R y resulta que la derivada es nula:
d Φ
1 2π π dΦ
1 2π π dΦ 2
1
sen θdθ dϕ =
R sen θdθ dϕ =
∫
∫
ϕ
ϑ
=
0
=
0
dR
4π
dR
4πR 2 ∫ϕ =0 ∫ϑ =0 dR
4πR 2
r
r r
r r
1
−1
−1
−q
=
∇Φ ⋅ dS =
E ⋅ dS =
D ⋅ dS =
=0
2 ∫∫S
2 ∫∫S
2 ∫∫S
4πR
4πR
4πεR
4πεr 2
=
∫∫
S
dΦ
dS =
dR
» La carga encerrada por la esfera, q, es 0 ya que se trata de una
región sin cargas.
– El valor medio es independiente del radio de la esfera.
– Como para R=0 la esfera degenera en su centro, el valor medio coincide
con el valor del potencial en el punto y queda demostrado el teorema.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-20
10
Electromagnetismo
2012/2013
Teorema del valor medio.
Aplicaciones
• El potencial en una región sin cargas no puede tener ni máximos ni
mínimos:
– Si en un punto el potencial tuviera un máximo (mínimo) entonces:
» El potencial en dicho punto es mayor (menor) que en su entorno.
» Existiría una esfera centrada en ese punto tal que el valor medio del
potencial sobre ella sería menor (mayor) que en su centro.
– Lo que contradice el teorema de la media: Luego es falso que exista un
máximo o un mínimo.
• Si no hay cargas en el interior de una superficie equipotencial, el
potencial es constante en su interior.
– Si no fuera constante, habría al menos un máximo o un mínimo.
– Pero, para no contradecir el teorema de la media, no puede haber ni
máximos ni mínimos.
– Luego el potencial debe ser constante.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 3d-21
11