Operadores Vectoriales. Gradiente y Divergencia

EyM 1a-1
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
Operadores vectoriales.
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas
Tema 1: Introducción
J.L. Fernández Jambrina
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1b-2
– se deben a cambios en la composición del medio.
– Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan
puntos ordinarios.
• Comentarios sobre las discontinuidades
– Expresiones integrales: circulaciones y flujos.
» son más intuitivas.
» permiten las discontinuidades de los campos.
» requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes
– Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales.
» son más manejables.
» requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campos.
» se basan en los operadores vectoriales.
• Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos:
• Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en
un entorno del punto en que se particularizan.
Operadores Vectoriales
J.L. Fernández Jambrina
» Y si el incremento es infinitesimal:
df
df ( x ) = f ( x + dx ) − f ( x ) =
dx
dx
EyM 1b-3
– En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele
llamar x y el punto en el que se aplica x+∆x:
∆f = f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ f ′( x )∆x
f (a + ∆x ) ≈ f (a ) + f ′(a )∆x ⇔ ∆f = f (a + ∆x ) − f (a ) ≈ f ′(a )∆x
– Si la diferencia ∆x=x-a es pequeña, se puede obtener una buena
aproximación con sólo los dos primeros términos:
– Para una función escalar de una variable:
2
( n −1)
f ′′(a )( x − a )
f (n −1) (a )( x − a )
f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) +
+ ⋅⋅⋅ +
+ ⋅⋅⋅
(n − 1)!
2!
• Conviene recordar como se aproxima una función en las
proximidades de un punto, x=a, siempre que la función y sus
derivadas sean continuas:
Desarrollos en serie de Taylor
1
2
u3
(2)
∂U
∂U
∂U
∆u1 +
∆u2 +
∆u
∂u1 P
∂u 2 P
∂ u3 P
∂U
∂U
∂U
du1 +
du2 +
du3
∂u1
∂u 2
∂ u3
1
2
u3
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1b-4
• En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada
componente como una función escalar sino que también los vectores
unitarios son susceptibles de cambio.
dU =
– Y si los incrementos son infinitesimales:
U ( P + ∆P ) ≈ U ( P ) +
– de forma más compacta:
1
2
u3
• Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e
incrementos pequeños alrededor de un punto P(u1,u2,u3):
∂U
∂U
∂U
U (u1 + ∆u1 , u2 + ∆u2 , u3 + ∆u3 ) ≈ U (u1 , u2 , u3 ) +
∆u1 +
∆u 2 +
∆u3
u
u
u
∂u1 u
∂u 2 u
∂u3 u
Desarrollos en serie de Taylor
∂U
∂U
∂U
du1 +
du2 +
du
∂u1
∂u 2
∂ u3 3
J.L. Fernández Jambrina
Gradiente de U
 1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U 
uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3  ⋅ (h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3 )
= 
42r44444
3
h
u
h
u
h
u
∂
∂
∂
2
2
3
3
 1 1
 14444
dl
– Y con un poco de habilidad:
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U
dU =
h1du1 +
h2 du2 +
h3du3 =
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
– Recordando la expresión del diferencial de longitud:
r
dl = h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3
dU =
EyM 1b-5
– Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y
suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto:
• El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en
el entorno de un punto.
• Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales:
Gradiente
∇U
(
)
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1b-6
El gradiente de un campo escalar es un campo
∂U
vectorial cuya componente en cualquier dirección
= ∇U ⋅ lˆ
∂l
es la derivada del escalar en esa dirección.
r
– De la transparencia anterior:
dU = ∇U ⋅ dl = ∇U ⋅ lˆ dl
– Por otro lado, si l es una coordenada definida
∂U
=
dl
dU
a propósito en la dirección del desplazamiento:
∂l
– Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza
para definir el gradiente:
• Definición:
– En estas transparencias se utilizará la segunda: ∇U
– ∇ es un símbolo denominado nabla.
grad(U )
• El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las
dos expresiones siguientes:
Definición de Gradiente
J.L. Fernández Jambrina
– Esféricas:
– Cilíndricas:
– Cartesianas:
– Curvilíneas:
∂U
∂U
∂U
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U
uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
∇U =
∂U
1 ∂U ˆ
1 ∂U
rˆ +
θ+
ϕˆ
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂ϕ
1 ∂U
∂U
∂U
ρˆ +
∇U =
ϕˆ +
zˆ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∇U =
∇U =
hr = 1

hθ = r
h = r sen θ
 ϕ
hρ = hz = 1

hϕ = ρ
EyM 1b-7
hx = hy = hz = 1
• Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:
Expresiones del Gradiente
 ∂U 
∇U = max 

 ∂l l
J.L. Fernández Jambrina
• Su sentido es el de máximo crecimiento del
campo escalar.
∂U
= ∇U ⋅ lˆ ⇒
∂l
• Su módulo coincide con la derivada
direccional máxima del campo escalar.
– Si el desplazamiento se realiza sobre una
superficie isotímica, dU=0 y:
r
r
0 = dU = ∇U ⋅ dl ⇒ ∇U⊥dl
• Es un campo vectorial.
• Es normal a las superficies isotímicas del
campo escalar.
Propiedades del gradiente
r
dl
U1 < U 2 < U 3
r
dl
∇U
EyM 1b-8
U1
U2
U3
P
r
Q
∇U ⋅ dl = ∫ dU = U (Q ) − U (P )
P
Q
Q
Q
J.L. Fernández Jambrina
– El escalar queda determinado excepto una constante aditiva:
r r
U = ∫ A ⋅ dl + K
O
EyM 1b-9
• Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es
independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que
el vector es su gradiente:
r
P r
– Escogiendo un punto de referencia, O: U (P ) − U (O ) = ∫ A ⋅ dl
C
– La circulación de un gradiente sólo depende
de los puntos extremos: Es independiente del
P
camino seguido.
– La circulación de un gradiente a lo largo
de un camino cerrado es nula.
P
r
r P
r
Q
∫ ∇U ⋅ dl = ∫ ∇U ⋅ dl + ∫ ∇U ⋅ dl = [U (Q ) − U (P )] + [U (P ) − U (Q )] = 0
P
∫
Q
• La circulación entre dos puntos P y Q del gradiente de un campo
escalar es el valor del campo escalar en Q menos su valor en P:
Circulación de un Gradiente
J.L. Fernández Jambrina
– El flujo de un vector a través
de una superficie cerrada
mide si las líneas de campo
tienen su origen o su fin en el
volumen encerrado:
• Interpretación:
S
r r
– Si la superficie es cerrada, el
∫∫SA ⋅ dS
flujo se representa como:
r
» Por convenio dS es saliente del volumen
encerrado por la superficie.
s r
∫∫ A ⋅ dS > 0
S
r
dS
S
s r
A
∫∫ ⋅ dS = 0
S
r r
– El flujo de un campo vectorial a
A ⋅ dS
∫∫
S
través de una superficie se define como:
r
» dS es un vector de módulo dS y dirección
normal a la superficie. Sentido por convenio.
• Definiciones:
EyM 1b-10
S
s r
A
∫∫ ⋅ dS < 0
r
dS
Flujo de un vector a través una superficie
()
S →0
V →0
r
r
div A = ∇ ⋅ A = lim
S
V
r r
∫∫ A ⋅ dS
J.L. Fernández Jambrina
EyM 1b-11
– Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.
– Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.
– Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.
• La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del
campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies
cerradas:
– V es el volumen encerrado por la superficie cerrada S.
– La normalización respecto de V es necesaria para obtener resultados
finitos.
• Definición:
Divergencia
J.L. Fernández Jambrina
S (u 3 + ∆u 3 2 )
r r
∫∫ A ⋅ dS
= A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)S3 (u3 + ∆u3 2 )
– Si la superficie es pequeña, se puede
suponer constante A3 sobre ella y tomando
el valor en su centro:
S (u 3 + ∆u 3 2 )
P
EyM 1b-12
∆u3
– Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a
u3=cte y nˆ ≡ uˆ3 , resulta que sólo
contribuye la componente A3:
n$ ≡ u$3
r r
r
∆u2
∆u
∫∫SA(u3⋅+d∆Su3 2 ) = ∫∫S (u3 + ∆u3 2 ) A ⋅ uˆ3dS3 =
∆u1
= ∫∫
A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)dS3
• Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipo
ui=cte y cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el
flujo será la suma del flujo a través de las caras.
Expresión en curvilíneas ...

∂A h h ∆u 
=  A3h1h2 + 3 1 2 3  ∆u1∆u2
2)
∂u3
2 P

∆u1
J.L. Fernández Jambrina
– Trabajando con la cara inferior se obtendría:
r r

∂A3h1h2 ∆u3 

∫∫SA(u3⋅−d∆Su3 2 ) = − A3h1h2 − ∂u3 2  ∆u1∆u2
P
– Y sumando estas dos contribuciones:
r r
r r
∂A3h1h2
A
⋅
d
S
+
A
⋅
d
S
=
∫∫S (u3 + ∆u3 2 ) ∫∫S (u3 − ∆u3 2 ) ∂u3 ∆u1∆u2∆u3
P
∆u1
donde todos los términos están particularizados en P.
S (u 3 + ∆u 3
r r
∫∫ A ⋅ dS
es posible realizar la siguiente aproximación:
S (u 3 )
∆u1
= A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2 )S3 (u3 + ∆u3 2 )
– Partiendo del valor del flujo a través de
la superficie u3=cte que contiene el punto P:
r r
∫∫ A ⋅ dS = A3 (u1, u2 , u3 )S3 (u3 ) = A3h1h2∆u1∆u2
S (u 3 + ∆u 3 2 )
r r
∫∫ A ⋅ dS
Expresión en curvilíneas ...
P
P
P
∆u3
∆u3
∆u3
EyM 1b-13
n$ ≡ − u$3
∆u2
∆u2
n$ ≡ u$3
∆u2
n$ ≡ u$3
(2)
S (u 2 − ∆u 2
r r
+ ∫∫ A ⋅ dS
∂A h h
= 2 3 1 ∆u1∆u2 ∆u3
2)
∂u2 P
J.L. Fernández Jambrina
S →0
V →0
r
∇ ⋅ A = lim
S
V
r r
∫∫ A ⋅ dS
• Y la divergencia:
=
∆u1
P
P
∆u2
∆u2
∆u3
∆u3
EyM 1b-14
∆V = h1 h2 h3 ∆u1∆u2 ∆u3
1  ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 


+
+
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3 
r r  ∂A h h ∂A h h ∂A h h 
1 2 3
2 3 1
3 1 2

 ∆u1∆u2 ∆u3
A
⋅
d
S
=
+
+
∫∫S
 ∂u
∂u2
∂u3  P
1

• Combinando los resultados:
S (u 2 + ∆u 2 2 )
r r
∫∫ A ⋅ dS
• Y con las dos restantes, u2=cte:
r r
r r
∂A1h2 h3
A
⋅
d
S
+
A
⋅
d
S
=
∫∫S (u1 + ∆u1 2 ) ∫∫S (u1 − ∆u1 2 ) ∂u1 ∆u1∆u2∆u3
P
• Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura,
∆u1
u1=cte:
Expresión en curvilíneas ...(3)
J.L. Fernández Jambrina
• Esféricas:
• Cilíndricas:
• Cartesianas:
• Curvilíneas:
1  ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 


+
+
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3 
EyM 1b-15
r 1 ∂r 2 A
1 ∂Aθ sen θ
1 ∂Aϕ
r
∇⋅ A = 2
+
+
r ∂r
r sen θ ∂θ
r sen θ ∂ϕ
r 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂A
∇⋅ A =
+
+ z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
r ∂A ∂A ∂A
∇⋅ A = x + y + z
∂x
∂y
∂z
r
∇⋅ A =
Expresiones de la Divergencia
J.L. Fernández Jambrina
S
V
r r
r
∫∫ A ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
S
V
r
dS
EyM 1b-16
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S
es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al
volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V
contenga únicamente puntos ordinarios.
• Enunciado:
Teorema de Gauss
i
Si
J.L. Fernández Jambrina
– Por tanto:
)
S
N →∞
i
V
N
r r
r
r
∫∫ A ⋅ dS = lim ∑ ∇ ⋅ AVi = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
i
(
– Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞),
a partir de la definición de divergencia:
r r
A ⋅ dS
r
r r
r
∫∫
S
∇ ⋅ A = lim
⇒ lim ∫∫ A ⋅ dS = ∇ ⋅ A Vi
Si
S →0
S →0
V
V →0
V →0
S
+
– El volumen se puede dividir en un número arbitrario,
N, de subvolúmenes.
– El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes
contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de
las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el
flujo a través de la superficie externa.
r r N
r r
∫∫ A ⋅ dS = ∑ ∫∫ A ⋅ dS
• Demostración:
Teorema de Gauss (2)
S
EyM 1b-17
=
V
n$