Variaci n lenta: Introducci n y Ley de Faraday. Justificaci n de los Lemas de Kirchoff

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Variación Temporal Lenta
•
•
•
•
•
Definición
El campo magnético en variación temporal lenta
El campo eléctrico en variación temporal lenta
Expresión Integral de la Ley de Faraday
T. Circuitos versus T. Electromagnética
– Primer Lema de Kirchoff
– Segundo Lema de Kirchoff.
• Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente
– Fuerza de Lorentz
– Desplazamientos virtuales.
» Sin generadores
» Con generadores
– Fuerzas en campos casi constantes
J.L. Fernández Jambrina
EyM 6a-1
Definición.
• La variación temporal lenta se caracteriza porque
en las ecuaciones de Maxwell se desprecia el término:
r r
∂D(r , t )
∂t
– Las condiciones concretas que diferencian la variación lenta de la
variación arbitraria son difíciles de definir cuando sólo se conoce la
variación lenta:
Se pospone su explicación hasta que se aborde la variación arbitraria.
• Con la simplificación de la variación lenta las ecuaciones de Maxwell
quedan de la siguiente forma:
r r
r r
∂ B (r , t )
r r
∇ × E (r , t ) = −
r r
∂ B (r , t )
r r
∂t
(
)
∇
×
E
r
,
t
=
−
∂D(r , t )
r r
∂t
=0
r r
r r
∂D(r , t )
r r
r r
∂t
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∇
×
H
(
r
,
t
)
=
J
(
r
,t)
∂t
r r
r r
r r
r r
r
r
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
r
r
r
r r
r r
r r
r r
r r
r
r
r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
r r
r
r r
∂ρ (r , t )
∇ ⋅ J (r , t ) = 0
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0
∂t
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
EyM 6a-2
Eym 6a-1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
El campo magnético.
• El campo magnético queda definido como función únicamente de las
corrientes, se especifican su divergencia y su rotacional:
r r
r r
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) = J (r , t );∇ ⋅ B(r , t ) = 0;B(r , t ) = µH (r , t )
– Son las mismas ecuaciones que las del campo magnético estacionario:
Se pueden aplicar las mismas técnicas para resolverlas.
– La diferencia es que las corrientes y los campos son función del tiempo.
r
r
– Simplificando, donde antes se ponía ( r ) , ahora se pone: ( r , t )
• Como ejemplo la expresión del campo en función de la corriente para
un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido, queda de la
siguiente forma:
Situación estacionaria
r r
r r
r r
µ
J (r ′)× (r − r ′)
B(r ) =
dV ′
r
r
3
∫∫∫
4π V ′
r − r′
Variación lenta
r r
r r
r r
J (r ′, t ) × (r − r ′)
µ
B (r , t ) =
dV ′
r r 3
4π ∫∫∫
r − r′
V′
• Equivale a asumir que el efecto de un cambio en las fuentes se
transmite de forma instantánea a todo el espacio.
EyM 6a-3
J.L. Fernández Jambrina
El campo eléctrico.
• El campo eléctrico queda como función de las cargas y del campo
magnético:
r r
r r
r r
r r
r r r
∂B(r , t )
;∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t );D(r , t ) = εE (r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
– Ahora el rotacional del campo eléctrico no es nulo.
– Recordando la definición del potencial vector:
r r
r r
r r
∂ B (r , t ) 
r r (1)
r r
∇ × E (r , t ) = −
∂
∂A(r , t )

∂t ⇒ ∇ × E (r , t ) = − ∇ × A(r , t ) = − ∇ ×
r r
r r
∂t
∂t
B(r , t ) = ∇ × A(r , t ) 
– El paso (1) se puede hace siempre que se trate de puntos ordinarios.
r r
r r
∂A(r , t ) 
– Reordenando la última expresión: ∇ ×  E (r , t ) +
=0
∂t 

– Con lo que resulta posible definir
r r un potencial escalar de la forma:
r r
∂A(r , t )
r
E (r , t ) +
= −∇Φ (r , t )
EyM 6a-4
∂t
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
Eym 6a-2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
El campo eléctrico
(2)
– Este potencial escalar sigue recibiendo el nombre de potencial eléctrico.
» Aunque ahora el campo eléctrico es también función del potencial
vector magnético:
r r
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
∂t
– La ecuación que liga el potencial vector con las cargas es:
r r (1)
r r
 r
 ρ (r , t ) = ∇ ⋅ εE (r , t ) = ε∇ ⋅ E (r , t ) =
r r
r r
r r
r
∂A(r , t )  

r
∂A(r , t )
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
 
= −ε∇ ⋅ ∇Φ (r , t ) +
=
∂t  
∂t 
r r
r r

 
r r
D(r , t ) = εE (r , t )
⇒ 
∂A(r , t ) ( 2)
r
r r
r
 
(
)
ε
ε
=
−
∆Φ
r
,
t
−
∇
⋅
=
∇ ⋅ D (r , t ) = ρ (r , t )
 
∂t
r
r
 
( 2)
∂∇ ⋅ A(r , t )
r

= − ε∆Φ(r , t ) − ε
∂t

» El paso (1) requiere que el medio sea homogéneo.
» El paso (2) requiere que se trate de puntos ordinarios.
EyM 6a-5
J.L. Fernández Jambrina
El campo eléctrico
(3)
– Recordando que la divergencia del potencial vector se escogió como
nula:
¡¡¡ La ecuación
de Poisson !!!
r r
r
r
∂∇ ⋅ A(r , t ) 
r
ρ (r , t ) = −ε∆Φ(r , t ) − ε
r
ρ (r , t )

⇒ ∆Φ(r , t ) = −
∂t

r r
ε

∇ ⋅ A(r , t ) = 0

– A pesar de esta similitud, existe una diferencia substancial:
r r
r r
∂A(r , t )
r
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
∂t
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
EyM 6a-6
Eym 6a-3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Circulación del campo eléctrico en variación
temporal lenta.
• La circulación del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado
no es nula:
r
r
r
r r
r r

∂A  r
∂A r
∂A r
∂


E
⋅
d
l
=
−
∇
Φ
+
⋅
d
l
=
−
⋅
d
l
=
−
∇
×
⋅ dS = − ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
∫C
∫C 
∫
∫∫

∂t 
∂t
∂t
∂t
C
S
S
(
)
r
r
• Y recordando la definición del potencial vector: B = ∇ × A
r
r r
∂B r
∫ E ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ dS
C
r
– Expresión que se parece mucho a la ley de Faraday:
r
∫ E ⋅ dl
=−
C
r r
d
B ⋅ dS
dt ∫∫
S
– Para transformarla en la ley de Faraday hay que invertir el orden de la
derivada y de la integral, cosa que sólo se puede hacer en el caso de
que el contorno permaneciera fijo en el espacio.
» En negativo: que ni se desplace ni se deforme.
EyM 6a-7
J.L. Fernández Jambrina
Revisión del concepto Fuerza electromotriz.
r r
r r r
f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ (v × B ) ⋅ dl
C
C
• Considerando sólo fuerzas de origen electromagnético:
r
r
r r
r r r
F r r r
F r
= E + v × B ⇒ f .e.m.i. = ∫ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl
q
q
C
C
C
(
)
• Al admitir variación temporal, los dos términos de la f.e.m.i. pueden
ser no nulos:
– Si varía el campo magnético:
r
r r
∂B r
E
⋅
d
l
=
−
∫
∫∫S ∂t ⋅ dS
C
– Si varía el contorno (se mueve o cambia de forma):
» la velocidad transversal de las cargas respecto del contorno no es
nula.
r
r
r r r
r r r
v = vl lˆ + vt ⇒ ∫ v × B ⋅ dl = ∫ vt × B ⋅ dl
C
(
)
C
(
)
– El primer término refleja exclusivamente el efecto de la variación
temporal del campo.
– El segundo término refleja exclusivamente el efecto del movimiento.
EyM 6a-8
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
Eym 6a-4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Ley de Faraday
• Propuesta:
r
r r
r r
∂B r
∂
dΦ
E
⋅
d
l
=
−
∫C
∫∫S ∂t ⋅ dS = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS vr = 0 = − dt B
– ya que:
∫ (v × B )⋅ dl = −
r
– sería interesante comprobar si:
r
r
C
r
v =0
dΦ B
dt
r
∂B ∂t = 0
dΦ B
dt
r
∂B ∂t = 0
– ya que entonces:
(
)
r r
r r r
dΦ B
f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl = −
C
dt
C
−
r
v =0
=−
dΦ B
dt
– Expresión conocida como ley de Faraday:
f .e.m.i. = −
dΦ B
dt
EyM 6a-9
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Faraday
(2)
C (t )
• Demostración:
C (t + ∆t ) n$
– Partiendo de la posición de un contorno
variable (móvil) en los instantes t y t+∆t,
y considerando el campo magnético
independiente del tiempo, se va evaluar:
dΦ B
dt
r
∂B ∂t = 0
n$
S ( t + dt )
S (t )
r
dl
t + ∆t
r
∫ vdt
∂B ∂t = 0
– La superficie generada por los puntos del
contorno al moverse y las dos superficies
utilizadas para calcular Φ B (t ) y Φ (t + ∆t )
B
definen una superficie cerrada, S0:
r r
r r
r r
r r
0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS
S0
r
dl
n$
Φ (t + ∆t ) − Φ B (t )
= lim B
∆tr→ 0
∆t
t
S (t + ∆t )
Sl
S( t )
SL
» donde el cambio de signo procede de la relación entre la normal
saliente a la superficie cerrada y los definidos en la figura para cada
superficie por separado.
r r
r r
r r
– Por tanto: Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) =
B ⋅ dS − B ⋅ dS = − B ⋅ dS
∫∫
S ( t + dt )
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
∫∫
S (t )
∫∫
SL
EyM 6a-10
Eym 6a-5
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Ley de Faraday
(3)
r r
Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) = − ∫∫ B ⋅ dS
SL
– Observando la figura, el diferencial de superficie
de la superficie lateral puede definirse como:
r r
r
C (t + ∆t ) n$
dS = dl × v dt
– Con ello: r r
n$
∆Φ B = − ∫∫ B ⋅ dS =
SL
r
n$
dl
t + ∆t
t + ∆t
 r r r
 r r r
t + ∆t
= − ∫  ∫ B ⋅ dl × v dt = − ∫  ∫ v × B ⋅ dl dt
r
t C
t C


∫t v dt
– por tanto:
r r r
dΦ
∫C v × B ⋅ dl = − dt B dBr =0
(
(
)
(
C (t )
r
dl
)
)
S (t + ∆t )
dt
f .e.m.i. = −
∂Φ B
dΦ B
−
∂t vr = 0 dt
r
dB
=0
dt
=−
∂Φ B
∂t
EyM 6a-11
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Faraday:
• Expresiones: f .e.m.i. = −
(4)
r
r r
r r r
dΦ B
d
d r r
∂B r
= − ∫∫ B ⋅ dS = − ∫ A ⋅ dl = − ∫∫ ⋅ dS + ∫ v × B ⋅ dl
dt
dt S
dt C
∂t
S
C
– Los sentidos de la circulación y del flujo
se relacionan de la forma habitual:
La regla del tornillo.
• Interpretación:
S( t )
Sl
– Agrupando resultados:
(
r
B↑
I ind
)
∂Φ B
>0
∂t
n$
– Si se produce una variación del flujo del
campo magnético a través de un contorno,
C+
aparece una una f.e.m. sobre el mismo.
» A esta f.e.m. se la denomina f.e.m. inducida, f.e.m.i.
– El signo menos implica que, si dicho contorno permite la circulación de
una corriente, el sentido de la corriente inducida será el que se oponga a
la variación del flujo.
» La propia corriente inducida dará lugar a una nueva f.e.m.i.
» Si el contorno es un conductor perfecto, no pueden existir fuerzas
sobre sus cargas, so pena de corriente infinita, luego la corriente que
circulará por el mismo deberá ser tal que la f.e.m.i. sea nula
y por tanto no se produzca variación de flujo.
EyM 6a-12
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
Eym 6a-6
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
T. Circuitos versus T. Electromagnética
• Las relaciones de circuitos fueron postuladas y verificadas antes que
las relaciones de campo.
• Sin embargo, son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell.
• Son mucho más eficientes que las ecuaciones de Maxwell para
estudiar los circuitos, pero conviene conocer sus limitaciones.
• En las próximas transparencias se van a justificar los lemas de
Kirchoff a la luz de las ecuaciones de Maxwell particularizadas para
variación lenta.
Los Lemas de Kirchoff son un caso particular de las
ecuaciones de Maxwell para variación temporal lenta.
EyM 6a-13
J.L. Fernández Jambrina
Primer Lema de Kirchoff
• En una unión de varios conductores, nudo, no debe
producirse acumulación de cargas.
n
∑I
i
=0
i =1
– En general, si se rodea el nudo por una superficie cerrada S y aplicando
la forma integral de la ecuación de continuidad:
I1
r r dq
r r d
r r
0 = ∫∫ J ⋅ dS +
= J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS =
I2
S
dt ∫∫S
dt S
r
 r ∂D  r
 ⋅ dS = ∑ I i + I D
= ∫∫  J +
S
S
In
∂t 
i

Ii
– El primer lema de Kirchoff es una particularización de la ecuación
de continuidad válida cuando las corrientes de desplazamiento son
pequeñas frente a las de conducción.
r
– Ello depende de ∂D ∂t .
r
» En los casos habituales de la teoría de circuitos, D es muy pequeño
por la proximidad de los conductores.
» Si la variación es muy rápida o se aplica lejos del nudo puede dejar
de cumplirse el lema.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
EyM 6a-14
Eym 6a-7
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Segundo Lema de Kirchoff
L
1
• A lo largo de una malla cerrada, la
f.e.m. del generador es igual a la
suma de las caídas de tensión
f.e.m.
a lo largo de la ramas.
R
2
C
3
4
+ r
E′
I
– Suponiendo que los elementos del circuito son puros: r
r r
» El generador únicamente aporta energía: σ = ∞⇒ET = E ′ + E
r
» La inducción únicamente almacena
E=0
energía en forma de campo magnético:
r
» El condensador únicamente almacena
B=0
energía en forma de campo eléctrico:
r
r
» La resistencia únicamente convierte
J = σE
energía electromagnética en otro tipo:
» Las conexiones se realizan con hilo conductor perfecto.
– Suponiendo que el circuito no se desplaza:
r
r
r 3r r 4r r 1 r r
r
r
r r
2 r
∫C ET ⋅ dl = ∫C E + E′ ⋅ dl = ∫1 E ⋅ dl + ∫2 E ⋅ dl + ∫3 E ⋅ dl + ∫4 E + E′ ⋅ dl =
r r
r r
= ∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl
C
C
EyM 6a-15
J.L. Fernández Jambrina
(
)
(
)
Segundo Lema de Kirchoff
(2)
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ (E + E′)⋅ dl
2
C
C
1
3
4
1
2
3
4
– Los valores de los diferentes términos son:
r r
dΦ
dI
1
∫C E ⋅ dl = − dt B = − L dt
+ r
r r
E′
∫ E′ ⋅ dl = f .e.m.g.
L
2
r
r
3
1
4
r
r
∫ E ⋅ dl
3
+
=
t
Q
1
=
I
C C ∫0
r
r
∫ E ⋅ dl
R
3
C
4
I
C
σ = ∞⇒ ∫ E ⋅ dl = 0
2
= RI
2
(
)
r
r r
dt σ = ∞ ⇒∫ E + E ′ ⋅ dl = 0
– Sustituyendo y ordenando:
1
4
t
f .e.m.g . = + RI +
1
dI
I dt + L
C ∫0
dt
• Los elementos reales no son perfectos:
– puede que haya que utilizar circuitos equivalentes de los mismos.
– Esta necesidad se agudiza a medida que se sube en frecuencia y la
aproximación de variación lenta deja de ser válida.
EyM 6a-16
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6a: Variación Temporal Lenta
Introducción – Faraday - Kirchoff
Eym 6a-8