Campos Cuasiestacionarios

Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Electrodinámica
Variación temporal lenta
Variación temporal lenta
Las situaciones de variación temporal lenta se caracterizan porque
en las ecuaciones de Maxwell se puede despreciar el término:
r r
r r
∂D(r , t )
<< J (r , t )
∂t
r r
∂D(r , t )
∂t
Las condiciones concretas que diferencian la variación lenta de la variación arbitraria
son aquellas que implican un retardo despreciable: tamaño de fuentes pequeños y
distancias de los puntos de observación pequeños frente a la longitud de onda.
Con la simplificación de la variación lenta las ecuaciones de Maxwell quedan de
la siguiente forma: r
r r
r
r r
r r
∂B(r , t )
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∇ × E (r , t ) = −
∂D(r , t )
∂t
∂t
=0
r r
r r
r r
∂
t
r r
r r
∇ × H (r , t ) = J (r , t )
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
r r
r r
r
∂t
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
r r
r r
r
r r
r r
r r
r r
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
r r
r r
r r
r r
r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
r r
∂ρ (r , t )
r
(
)
∇
⋅
J
r
,
t
+
=0
r r
∂ρ (r , t )
∂t
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0
∂t
16/01/2008
EyM 7-1
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
El campo Magnético en Variación Temporal Lenta
En las ecuaciones anteriores puede verse que el campo magnético queda definido
como función únicamente de las corrientes de conducción, se especifican su
divergencia y su rotacional:
r r
r r
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) ; ∇ ⋅ B(r , t ) = 0 ; B(r , t ) = µH (r , t )
Además estas ecuaciones son las mismas que las del campo magnético
estacionario: se pueden aplicar las mismas técnicas para resolverlas.
La única diferencia consiste
r r r en que las corrientes son función del tiempo, y también
los campos
B, H y A
Pero como el retardo es despreciable el campo varia instantáneamente de la misma
forma que las fuentes.
r
r
Dicho de otra forma, donde antes se ponía (r ) ahora se pone: (r , t )
Como ejemplo la expresión del campo en función de la corriente para un medio
lineal, isótropo, homogéneo e indefinido, queda de la siguiente forma:
Situación estacionaria
r r
r r
r r
J (r ′)× (r − r ′)
µ
B(r ) =
dV ′
r
r
3
4π ∫∫∫
r − r′
V′
Variación lenta
r r
µ
B(r , t ) =
4π
r r
r r
J (r ′, t )× (r − r ′)
dV ′
r r 3
∫∫∫
r − r′
V′
El campo eléctrico en variación temporal lenta
El campo eléctrico queda como función de las cargas y del campo magnético:
r r
r r
r r
r r
r r
r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
; ∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t ) ; D(r , t ) = εE (r , t )
∂t
Recordando la definición del potencial vector:
r r
r r
r r
∂B(r , t ) ⎫
r r (1)
r r
∇ × E (r , t ) = −
∂
∂A(r , t )
⎪
∂t ⎬ ⇒ ∇ × E (r , t ) = − ∇ × A(r , t ) = − ∇ ×
r r
r r
∂t
∂t
B(r , t ) = ∇ × A(r , t ) ⎪⎭
El paso (1) se puede hace siempre que se trate de puntos ordinarios.
r r
⎡r r
∂A(r , t ) ⎤
(
)
∇
×
E
r
t
+
,
⎢
⎥=0
Reordenando la última expresión:
∂t ⎦
⎣
Con lo que resulta posible definir un potencial escalar de la forma:
r r
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) +
= −∇Φ (r , t )
∂t
16/01/2008
EyM 7-2
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
El campo eléctrico en variación temporal lenta (2)
Este potencial escalar sigue recibiendo el nombre de potencial eléctrico, aunque
ahora el campo eléctrico es también función del potencial vector magnético:
r r
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) = −∇Φ(r , t ) −
∂t
La ecuación que liga el potencial escalar con las cargas es la misma de
electrostática:
r r (1)
r
⎧ r
ρ
ε
(
)
(r , t ) = ε∇ ⋅ E (rr, t ) =
=
∇
⋅
,
r
t
E
⎪
r r
r r
r r
r
∂A(r , t ) ⎫ ⎪
⎡
r
∂A(r , t ) ⎤
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
⎪ ⎪
= −ε∇ ⋅ ⎢∇Φ (r , t ) +
⎥=
∂t ⎪ ⎪
∂t ⎦
r r
r r
⎣
⎪ ⎪
r r
D(r , t ) = εE (r , t )
⎬⇒⎨
r
∂A(r , t ) ( 2)
r r
r
⎪ ⎪
(
)
ε
ε
,
r
t
=
−
∆Φ
−
∇
⋅
=
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
⎪ ⎪
∂t
r
r
⎭⎪ ⎪
( 2)
r
∂∇ ⋅ A(r , t )
⎪
= − ε∆Φ(r , t ) − ε
∂t
⎩⎪
El paso (1) requiere que el medio sea homogéneo, y el paso (2) que se trate de
puntos ordinarios.
El campo eléctrico en variación temporal lenta (3)
Recordando que la divergencia del potencial vector se escogió
como nula:
r r
r
r
∂∇ ⋅ A(r , t ) ⎫
r
ρ (r , t ) = −ε∆Φ(r , t ) − ε
r
ρ (r , t )
⎪
∂t
⎬ ⇒ ∆Φ (r , t ) = −
r r
ε
⎪
∇ ⋅ A(r , t ) = 0
⎭
¡¡¡ La ecuación de Laplace !!!
A pesar de esta similitud, existe una diferencia substancial:
r r
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
∂t
16/01/2008
EyM 7-3
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Circulación del campo eléctrico en variación lenta
Ahora la circulación del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado no es
nula:
r
r
r
r r
r r
⎛
A r
A r
A⎞ r
∂
∂
∂
∂
∫C E ⋅ dl = −C∫ ⎜⎜⎝ ∇Φ + ∂t ⎟⎟⎠ ⋅ dl = −C∫ ∂t ⋅ dl = − ∫∫S ∇ × ∂t ⋅ dS = − ∫∫S ∂t ∇ × A ⋅ dS
(
Y recordando la definición del potencial vector:
)
r
r
B = ∇× A
r
r r
∂B r
∫ E ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ dS
C
Expresión que se parece mucho a la ley de Faraday: para transformarla en ella
habría que invertir el orden de la derivada y de la integral, cosa que sólo se puede
hacer en el caso de que el contorno permaneciera fijo.
Expresión Integral de la Ley de Faraday
La ley de Faraday en su forma integral establece que si se produce una variación
del flujo del campo magnético a través de un contorno, aparece una una f.e.m.
sobre el mismo. A esta f.e.m. se la denomina f.e.m. inducida, f.e.m.i. La expresión
matemática de la Ley de Faraday es la siguiente:
f .e.m.i. = −
r r
∂Φ B
∂
∂ r r
= − ∫∫ B ⋅ dS = − ∫ A ⋅ dl
∂t
∂t S
∂t C
Donde los sentidos de la circulación y el fujo se relacionan de la foma
r
habitual: regla del sacacorchos.
∂Φ B
B↑
I ind
>0
El signo menos implica que, si dicho
∂t
contorno permite la circulación de una
corriente como consecuencia de la f.e.m.i.,
el sentido la corriente será el que se
oponga a la variación del flujo.
n̂
+
C
Debe tenerse en cuenta que la propia
corriente que circule por el contorno dará
lugar a una nueva f.e.m.i. En el caso de que dicho contorno sea un conductor
perfecto no pueden existir fuerzas sobre sus cargas, so pena de que se produjese
una corriente infinita, luego la corriente que circulará por el mismo deberá ser tal
que la f.e.m.i. sea nula y por tanto no se producirá variación adicional de flujo.
16/01/2008
EyM 7-4
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Expresión Integral de la Ley de Faraday (2)
Para obtener la expresión integral de la Ley de Fadaray conviene recordar que la
f.e.m. es la circulación a lo largo de un contorno de la fuerza que se ejerce una
carga unitaria.
r
F r r r
= E+v×B
q
r
r r r
r r r
∂B r
v × B ⋅ dl = − ∫∫ ⋅ dS + ∫ v × B ⋅ dl
∂t
S
C
En este caso esta fuerza es la fuerza de Lorentz:
Luego la f.e.m.i. será:
(
)
r r r r
r r
f .e.m.i. = ∫ E + v × B ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫
C
C
(
C
)
(
)
Si el contorno permanece quieto (v=0) y el campo varía, el segundo término se
r
anula y queda:
r r
∂B r
∂
∂Φ
f .e.m.i. vr = 0 = − ∫∫
S
∂t
⋅ dS = −
B ⋅ dS = −
∂t ∫∫
B
∂t vr = 0
S
Si por el contrario es el campo el que permanece constante y el contorno se
mueve:
r r r
(
)
f .e.m.i. ∂Br =0 = ∫ v × B ⋅ dl
∂t
C
A continuación se va a proceder a desarrollar esta expresión.
Expresión Integral de la Ley de Faraday (3)
La figura muestra un contorno móvil en dos
instantes muy próximos en el tiempo: t y t+dt.
Los puntos del contorno al moverse definen
una superficie, Sl.
C (t + dt )
C (t )
n̂
Si se completa esta superficie con dos
cualesquiera que se apoyen en el contorno en
los instantes t y t+dt, S(t) y S(t+dt)
respectivamente, en gris en la figura, se
obtiene una superficie cerrada.
S (t )
S0
r r
B
∫∫ ⋅ dS −
S (t )
r
dl
n̂
r
dl
Llamando a esta superficie cerrada, S0:
r r
0 = ∫∫ B ⋅ dS =
n$
r
v dt
S (t + dt )
r r
r r
B
⋅
d
S
+
B
∫∫
∫∫ ⋅ dS
S ( t + dt )
SL
donde el cambio de signo procede de la relación entre la
normal saliente a la superficie cerrada y los definidos para
cada superficie por separado.
Φ B (t + dt ) − Φ B (t ) =
r
S ( t + dt )
16/01/2008
r
r
r
r
r
∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS
S (t )
SL
EyM 7-5
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Expresión Integral de la Ley de Faraday (4)
dΦ B = Φ B (t + dt ) − Φ B (t ) =
r
r
r
r
r
r
∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS
S ( t + dt )
S (t )
C (t + dt )
SL
C (t )
Observando la figura, el diferencial de superficie
de la superficie lateral puede definirse como:
r
r r
dS = (v dt )× dl
Con ello:
(
n̂
n$
)
S (t )
r r ⎛ r r r⎞
⎛ r r r⎞
dΦ B = ∫∫ B ⋅ dS = ⎜⎜ ∫ B ⋅ v × dl ⎟⎟dt = −⎜⎜ ∫ v × B ⋅ dl ⎟⎟dt
SL
⎠
⎝C
⎠
⎝C
r r r
dΦ
por tanto:
∫C v × B ⋅ dl = − dt B dBr =0
(
(
n̂
)
r
dl
r
dl
r
v dt
S (t + dt )
)
dt
Y agrupando resultados:
f .e.m.i. = −
∂Φ B
dΦ B
−
r
∂t v = 0 dt
r
dB
=0
dt
=−
∂Φ B
∂t
Ejercicio
Una varilla metálica de longitud L gira entorno a uno de sus extremos, y en un plano z
constante, con velocidad angular constante en el seno de un campo magnético
uniforme dirigido según z como muestra la figura. Determinar la fem inducida entre
sus extremos.
ω
r
v
B0 zˆ
ρ
L
ω
B0 zˆ
R
16/01/2008
Cada punto a distancia ρ del eje se mueve a velocidad
r
v = ωρϕˆ
La fuerza por unidad
de carga en el punto es
r
F r r
= v × B = ωρϕˆ × B0 zˆ = ωB0 ρρˆ
q
Por tanto a lo largo de la varilla se induce una fem de valor:
r
r
L F
L
L2
femi = ∫
⋅ dl = ∫ ωB0 ρρˆ ⋅ ρˆdρ =ωB0
ρ =o q
ρ =o
2
Con el mismo principio de funcionamiento se puede
implementar un generador usando un disco en lugar de la
varilla como se muestra en la figura-
EyM 7-6
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Ejercicio
Una varilla metálica de longitud se desplaza sobre dos barras paralelas separadas d
con una velocidad constante v0 en el seno de un campo magnético uniforme dirigido
según z como muestra la figura. Determinar la fem inducida entre los bornes
indicados.
B0 zˆ
d
x̂
r
v
x
Cada punto de la varilla se mueve a velocidad
r
v = v0 xˆ
La fuerza por runidad de carga en los puntos de la varilla es
F r r
= v × B = v0 xˆ × B0 zˆ = v0 B0 (− yˆ )
q
Por tanto a lo largo de la varilla se induce una fem de valor:
r
r
d F
d
⋅ dl = ∫ v0 B0 (− yˆ ) ⋅ yˆdy = − v0 B0 d
femi = ∫
y =o q
y =o
Sobre las barras fijas no hay fuerza y por tanto no se induce fem. Obsérvese que se
produce una acumulación de carga + en el borne inferior, lo que también puede
observarse por el sentido de la fuerza producida.
Ejercicio
El mismo resultado puede obtenerse aplicando la ley de inducción de Faraday
teniendo en cuenta que el flujo sobre la espira formada por la varilla y las barras fijas
va creciendo al desplazarse la varilla.
Si la varilla está en la posición de los bornes en t=0 su
posición en función de t será:
B0 zˆ
d
x̂
x
r
v
x(t ) = v0t
El flujo de B en función de t será:
Φ(t ) =
d x (t )
∫ ∫ B zˆ ⋅ zˆdxdy = B x(t )d = dv B t
0
0
0
0
y =0 x =0
Por tanto a lo largo de la espira se induce una fem de valor:
dΦ
femi = −
= −v0 B0 d
dt
Por la ley de Lenz la corriente inducida circularía creando un campo B que se
opusiera a la variación del flujo de B (en este caso aumento). Este B debería ir según
–z y la corriente en sentido horario por lo que se produce una acumulación de carga
+ en el borne inferior.
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EyM 7-7
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
Ejercicio
Repita el ejercicio anterior si el campo B varía con el tiempo con cosωt.
Al igual que antes si la varilla está en la posición de los bornes
en t=0 su posición en función de t será:
x(t ) = v0t
El flujo de B en función de t será:
B0 cos ωtzˆ
d
x̂
r
v
Φ(t ) =
x
d x (t )
∫ ∫B
0
cos ωtzˆ ⋅ zˆdxdy = B0 cos ωt x(t )d = dv0 B0t cos ωt
y =0 x =0
Por tanto a lo largo de la espira se induce una fem de valor:
dΦ
femi = −
= −v0 B0 d cos ωt + v0 B0 dωt senωt
dt
También se robtiene el mismo resultado aplicando la expresión general
d x (t )
d
r r r
∂B r
femi = − ∫∫
⋅ dS + ∫ v × B ⋅ dl = − ∫ ∫ (− ωB0 senωtzˆ ) ⋅ zˆdxdy + ∫ (v0 xˆ × B0 cos ωtzˆ ) ⋅ ( yˆdy ) =
∂t
C
y =0 x =0
y =0
(
)
= + v0 B0 dωt senωt − v0 dB0 cos ωt
Campo Eléctrico debido a un Campo Magnético
Variable
Un campo magnético variable con el tiempo produce siempre un campo eléctrico
también variable con el tiempo. Como ejemplo se va a considerar un campo magnético
constante (espacialmente hablando) en un cilindro de radio a y cero en el exterior. La
variación temporal se va a considerar sinusoidal. (El ejemplo representa el campo en
el interior de un solenoide cilíndrico indefinido excitado con una corriente sinusoidal).
r
z
B = B0 senωtzˆ r ≤ a
a
r
B=0
r>a
r
B
Este campo magnético no depende de z ni de ϕ por la que el
campo eléctrico tampoco dependerá ni de z ni de ϕ y solo de r.
y
Por tanto:
r
⎛ 1 ∂E z ∂Eϕ ⎞ ⎛ ∂Er ∂E z ⎞
∂E ⎞
∂B
1⎛ ∂
x
⎟⎟ + ϕˆ ⎜
∇ × E = rˆ⎜⎜
−
−
zˆ
⎟ + zˆ ⎜⎜ (rEϕ ) − r ⎟⎟ = −
r
z
z
r
r
r
∂ϕ
∂
∂
∂
∂
∂ϕ
∂t
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
que conduce a las siguientes ecuaciones escalares:
ωB
1∂
Eϕ = − 0 r cos ωt
r≤a
(rEϕ ) = −ωB0 cos ωt r ≤ a
2
r ∂r
2
1∂
ωB a
Cte
(rEϕ ) = 0
r>a
Eϕ =
= − 0 cos ωt r > a
r ∂r
2r
r
16/01/2008
EyM 7-8
Electricidad y Magnetismo
Variación temporal lenta
El resultado anterior muestra como un campo magnético variable con el tiempo crea
un campo eléctrico, pero además esta relación no es necesariamente local: el campo
magnético estaba confinado en una región del espacio mientras que el campo eléctrico
se extiende a todo el espacio.
La circulación del campo eléctrico sobre un circuito que encierre flujo variable con el
tiempo (fem inducida) será distinta de cero, pero será cero si no se encierra flujo.
Bz
Bz
0
V
¿Qué ocurre si se coloca un conductor en el seno del campo eléctrico anterior?
Las cargas libres se moverán debido a este campo reordenán_
++
dose para cancelar el campo eléctrico en el conductor tal como
E
+
se indica en la figura.
+
Bz
--
Aparece por tanto un campo eléctrico adicional debido
r
r a estas
cargas Ec. Este campo es irrotacional por lo que: ∫ Ec ⋅ dl = 0
y no interfiere con el campo asociado a las variaciones de flujo
r
r
∫ E ⋅ dl = −
16/01/2008
∂Φ B
∂t
EyM 7-9