form mec t5

Relatividad Especial
Manel Bosch Aguilera
Noviembre 2010
1. Postulados
4. Dinámica Relativista
i. Todas las leyes fı́sicas, mecánicas o electromagnéticas,
son las mismas en todos los sistemas de referencia inceriales.
ii. La velocidad de la luz es una constante c en todos los
sistemas de referencia inerciales.
“Todas las leyes fı́sicas tienen que ser invariantes
por una transformación de Lorentz.”
Espacio de Minkowsky: (x, y, z, ict) = (x, y, z, τ )
−ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (dτ )2
2. Transformación de Lorentz
γ(v) = q
x0 = γ(x − vt);
“Una rotación en el espacio de Minkowsky es una
transformación de Lorentz.”
1
1−
v 2
c
y 0 = y;
Definiciones:
Cuadrivector posición:
z 0 = z;
r = (rx , ry , rz , rτ ) = (x, y, z, τ )
→
−
v t0 = γ t − 2 x
c
Tiempo propio:
1
dt0 = ds = dt
c
3. Cinemática relativista Efectos relativistas:
a) Contracción de longitudes:
r
1−
v2
c2
Cuadrivector velocidad:
r
L = L0
v2
1 − 2 < L0
c
d−
r
u = →
→
−
dt0
b) Dilatación de tiempos:
T0
T =q
1−
v2
c2
i. |→
u |2 = −c2
−
d→
u
−
ii. →
u
·
− dt0 = 0
> T0
Ley relativista de la dinámica: determinadas por su masa
invariante o masa en reposo m (es un invariante relativista).
c) Relatividad de la simultaneidad:
t0a − t0b = γ
v
(xa − xb )
c2
a) Cuadrimomento
d ) Ley relativista de la adición de velocidades:
vx 0 + v
vx =
1 + vxc0 2+v
p = m→
u;
−
→
−
pα = γ(mvα ) α ∈ {x, y, z};
pτ = γimc
p~ = γm~v
e) Efecto Doppler Relativista:
b) Acción externa
r
νO = νE
c+v
;
c−v
r
νO = νE
c−v
c+v
dp
→
− = (K , K , K , K )
K
=
x
y
z
τ
→
−
dt0
f ) Invariancia del intervalo relativista
(Kx , Ky , Kz ):
∆s =
p

c2 (tb − ta )2 − [(xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2 ]
∆s = ∆s0
Kα =
Kτ
dpα
1
=q
dt0
1−
v2
c2

d  mvx 
q
2
dt
1− v
c2
p
→ Fτ = Kτ 1 − v 2 /c2
i
d
Fτ = F~ ·~v → F~ ·~v =
c
dt
mc2
p
1 − v 2 /c2
!
=
dE
dt
c) Energı́a cinética relativista
E=p
mc2
1
≈ mc2 + mv 2 = E0 +Ec
2
2
2
1 − v /c
mc2
−mc2
T =p
1 − v 2 /c2
d ) Algunas relaciones y expresiones útiles
pτ = p
imc
1−
v 2 /c2
=i
E
c
px + i Ec pτ
E − i vc
px0 = p
pτ 0 = p
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
p
p~
E = p~2 c2 + m2 c4
~v = c2
E